Теорема Тевенина

Любой черный ящик, содержащий только сопротивления и источники напряжения и тока, может быть заменен эквивалентной схемой Тевенина, состоящей из эквивалентного источника напряжения, включенного последовательно с эквивалентным сопротивлением.

Как первоначально сформулирован в терминах постоянного тока резистивных схем только, теорема тевенин гласит, что «Для любой линейной электрической сети, содержащей только напряжений источников, источники тока и сопротивления могут быть заменены на клеммы A-B посредством эквивалентной комбинации V источника напряжения я в последовательном соединении с сопротивлением R th. "

• Эквивалентное напряжение V - й является напряжение, полученное на клеммах A-B сети с клеммами А-В разомкнута.
• Эквивалентное сопротивление R th - это сопротивление, которое имела бы цепь между выводами A и B, если бы все идеальные источники напряжения в цепи были заменены коротким замыканием, а все идеальные источники тока были бы заменены разомкнутой цепью.
• Если клеммы A и B соединены друг с другом, ток, протекающий от A к B, будет V th / R th. Это означает, что R th в качестве альтернативы можно рассчитать как V th, деленное на ток короткого замыкания между A и B, когда они соединены вместе.

С точки зрения теории схем, теорема позволяет свести любую однопортовую сеть к одному источнику напряжения и одному сопротивлению.

Теорема также применима к цепям переменного тока в частотной области, состоящим из реактивного и резистивного сопротивлений. Это означает, что теорема применима к переменному току точно так же, как и к постоянному току, за исключением того, что сопротивления обобщаются на импедансы.

Теорема была независимо выведена в 1853 году немецким ученым Германом фон Гельмгольцем и в 1883 году Леоном Шарлем Тевенином (1857–1926), инженером-электриком из национальной телекоммуникационной организации Франции Postes et Télégraphes.

Теорема Тевенина и двойственная ей теорема Нортона широко используются для упрощения анализа схем и изучения начального и установившегося отклика схемы. Теорема Тевенина может использоваться для преобразования источников и импедансов любой схемы в эквивалент Тевенина ; использование теоремы в некоторых случаях может быть более удобным, чем использование схем Кирхгофа.

• 1 Вычисление эквивалента Тевенина
  • 1.1 Пример
• 2 Преобразование в эквивалент Norton
• 3 Практические ограничения
• 4 Доказательство теоремы
• 5 В трехфазных цепях
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение
• 9 Внешние ссылки

Эквивалентная схема представляет собой источник напряжения с напряжением V Th, последовательно соединенный с сопротивлением R Th.

Напряжение, эквивалентное Тевенину, V Th - это напряжение холостого хода на выходных клеммах исходной схемы. При расчете напряжения, эквивалентного Тевенину, часто бывает полезен принцип делителя напряжения, когда одна клемма объявляется как выход V, а другая клемма - в точке заземления.

Сопротивление, эквивалентное Тевенину, R Th - это сопротивление, измеренное в точках A и B, «оглядываясь назад» на схему. Сопротивление измеряется после замены всех источников напряжения и тока их внутренними сопротивлениями. Это означает, что идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока заменяется разомкнутой цепью. Затем можно рассчитать сопротивление между клеммами, используя формулы для последовательных и параллельных цепей. Этот метод действителен только для цепей с независимыми источниками. Если в цепи есть зависимые источники, необходимо использовать другой метод, такой как подключение тестового источника между A и B и вычисление напряжения или тока через тестовый источник.

В качестве мнемоники замену Thevenin для источников напряжения и тока можно вспомнить, когда мы переводим значения источников (то есть их напряжение или ток) в ноль. Источник напряжения с нулевым значением создавал бы разность потенциалов в ноль вольт между своими выводами, как это было бы при идеальном коротком замыкании при соприкосновении двух выводов; поэтому заменяем источник на короткое замыкание. Точно так же как источник тока с нулевым значением, так и разомкнутая цепь пропускают нулевой ток.

Пример

1. Оригинальная схема
2. Эквивалентное напряжение
3. Эквивалентное сопротивление
4. Эквивалентная схема

В примере расчет эквивалентного напряжения:

${\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ mathrm {Th}} amp; = {R_ {2} + R_ {3} \ over (R_ {2} + R_ {3}) + R_ {4}} \ cdot V _ {\ mathrm {1}} \\ amp; = {1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ over (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega) +2 \, \ mathrm {k} \ Omega} \ cdot 15 \, \ mathrm {V} \\ amp; = {1 \ over 2} \ cdot 15 \, \ mathrm {V } = 7,5 \, \ mathrm {V} \ end {выровнено}}}$

(Обратите внимание, что R 1 не принимается во внимание, поскольку вышеупомянутые расчеты выполняются в условиях разомкнутой цепи между A и B, поэтому ток не течет через эту часть, что означает отсутствие тока через R 1 и, следовательно, отсутствие падения напряжения вдоль эта часть.)

Расчет эквивалентного сопротивления ( это общее сопротивление двух параллельных резисторов ): ${\ Displaystyle R_ {x} \ | R_ {y}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} R _ {\ mathrm {Th}} amp; = R_ {1} + \ left [\ left (R_ {2} + R_ {3} \ right) \ | R_ {4} \ right ] \\ amp; = 1 \, \ mathrm {k} \ Omega + \ left [\ left (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ right) \ | 2 \, \ mathrm {k} \ Omega \ right] \\ amp; = 1 \, \ mathrm {k} \ Omega + \ left ({1 \ over (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega)} + {1 \ over (2 \, \ mathrm {k} \ Omega)} \ right) ^ {- 1} = 2 \, \ mathrm {k} \ Omega. \ end {выравнивается} }}$ Основная статья: теорема Нортона Преобразование Нортона-Тевенина

Нортон эквивалентная схема связана с эквивалентной Thevenin по

${\ displaystyle {\ begin {align} R _ {\ mathrm {Th}} amp; = R _ {\ mathrm {No}} \! \\ V _ {\ mathrm {Th}} amp; = I _ {\ mathrm {No}} R_ {\ mathrm {No}} \! \\ I _ {\ mathrm {No}} amp; = {\ frac {V _ {\ mathrm {Th}}} {R _ {\ mathrm {Th}}}} \! \ end { выровнено}}}$

• Многие схемы являются линейными только в определенном диапазоне значений, поэтому эквивалент Тевенина действителен только в этом линейном диапазоне.
• Эквивалент Тевенина имеет эквивалентную ВАХ только с точки зрения нагрузки.
• Рассеивание мощности эквивалента Тевенина не обязательно идентично рассеиваемой мощности реальной системы. Однако мощность, рассеиваемая внешним резистором между двумя выходными клеммами, одинакова независимо от того, как реализована внутренняя схема.

Доказательство состоит из двух шагов. Первый шаг - использовать теорему суперпозиции для построения решения. Затем используется теорема единственности, чтобы показать единственность полученного решения. Отмечено, что второй шаг обычно подразумевается в литературе.

Используя суперпозицию определенных конфигураций, можно показать, что для любой линейной схемы «черного ящика», содержащей источники напряжения и резисторы, ее напряжение является линейной функцией соответствующего тока следующим образом:

${\ displaystyle V = V _ {\ mathrm {Eq}} -Z _ {\ mathrm {Eq}} I.}$

Здесь первый член отражает линейное суммирование вкладов от каждого источника напряжения, а второй член измеряет вклады всех резисторов. Вышеприведенное выражение получено с использованием того факта, что напряжение черного ящика для данного тока идентично линейной суперпозиции решений следующих задач: (1) оставить черный ящик открытым, но активировать отдельный источник напряжения. за один раз и, (2) закоротить все источники напряжения, но питать цепь определенным идеальным источником напряжения, чтобы результирующий ток точно считывался (в качестве альтернативы можно использовать идеальный источник тока). Более того, несложно показать, что и являются рассматриваемым одиночным источником напряжения и одиночным последовательным резистором. ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle V _ {\ mathrm {Eq}}}$${\ Displaystyle Z _ {\ mathrm {Eq}}}$

Фактически, указанная выше связь между и устанавливается путем наложения некоторых конкретных конфигураций. Теперь теорема единственности гарантирует общий результат. Чтобы быть конкретным, существует одно и только одно значение, когда задано значение. Другими словами, указанное выше соотношение сохраняется независимо от того, к чему подключен «черный ящик». ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle I}$

В 1933 году А.Т. Старр опубликовал обобщение теоремы Тевенина в статье журнала Institute of Electrical Engineers Journal под названием «Новая теорема для активных сетей», в которой говорится, что любую активную линейную сеть с тремя выводами можно заменить тремя источниками напряжения с соответствующими параметрами. импедансы, соединенные звездой или треугольником.

• Теорема Миллмана
• Преобразование источника
• Теорема суперпозиции
• Теорема Нортона
• Теорема о передаче максимальной мощности
• Теорема о дополнительных элементах

• Веннер, Франк (1926). «Принцип распределения тока в системах линейных проводников». Труды физического общества. Вашингтон, округ Колумбия: Бюро стандартов. 39 (1): 124–144. Bibcode : 1926PPS.... 39..124W. DOI : 10.1088 / 0959-5309 / 39/1/311. hdl : 2027 / mdp.39015086551663. Научная статья S531.
• Фильтры первого порядка: ярлык через эквивалентный источник Тевенина - показан на стр. 4 комплексная схема, построенная на упрощении теоремы Тевенина до фильтра нижних частот первого порядка и соответствующего делителя напряжения, постоянной времени и коэффициента усиления.

• СМИ, связанные с теоремой Тевенина на Викискладе?