Преобразование Y-Δ

Преобразование Y-Δ, также записывается как звезда-дельта, а также известный под многими другими названиями, это математический метод, упрощающий анализ электрической сети. Название происходит от формы принципиальных схем, которые выглядят соответственно как буква Y и греческая заглавная буква Δ. Эта теория преобразования цепей была опубликована Артуром Эдвином Кеннелли в 1899 году. Она широко используется при анализе трехфазных электрических цепей.

Преобразование Y-Δ можно рассматривать как частный случай преобразования «звезда-сетка» для трех резисторов. В математике преобразование Y-Δ играет важную роль в теории.

Содержание

• 1 Имена
• 2 Базовое преобразование Y-Δ
  • 2.1 Уравнения для преобразования из Δ в Y
  • 2.2 Уравнения для преобразования из Y в Δ
• 3 Доказательство существования и уникальности преобразования
• 4 Упрощение сетей
• 5 Теория графов
• 6 Демонстрация
  • 6.1 Δ-нагрузка на Y- уравнения преобразования нагрузки
  • 6.2 Уравнения преобразования нагрузки Y в Δ
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Имена

Иллюстрация преобразования в его представление T-.

Преобразование Y-Δ известно под множеством других имен, в основном основанных на двух задействованных формах, перечисленных в любом порядке. Y, обозначаемый как звезда, также может называться T или звездой ; Δ, обозначенный как дельта, также может называться треугольником, Π (обозначается как pi ) или сеткой . Таким образом, общие имена для преобразования включают звезда-треугольник или дельта-звезда, звезда-дельта, звезда-сетка или T-Π .

Базовое преобразование Y-Δ

Цепи Δ и Y с метками, которые используются в этой статье.

Преобразование используется для установления эквивалентности для сетей с тремя терминалами. Если три элемента оканчиваются в общем узле и ни один из них не является источником, узел удаляется путем преобразования импедансов. Для обеспечения эквивалентности импеданс между любой парой клемм должен быть одинаковым для обеих сетей. Приведенные здесь уравнения действительны как для сложных, так и для реальных сопротивлений.

Уравнения для преобразования из Δ в Y

Общая идея заключается в вычислении импеданса $RY\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Y\}\}\}$в оконечном узле цепи Y с импедансами $R\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; R\text{'}\}$, $R\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \text{'}\text{'}\}$до соседних узлов в цепи Δ на

$RY\; =\; R\; \prime \; R\; ″\; \sum \; R\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\text{'}R\; \text{'}\text{'}\}\; \{\backslash \; sum\; R\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\}\}\}$

где $R\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\}$- все импедансы в цепи Δ. Это дает определенные формулы

$R\; 1\; =\; R\; b\; R\; c\; R\; a\; +\; R\; b\; +\; R\; c\; R\; 2\; =\; R\; a\; R\; c\; R\; a\; +\; R\; b\; +\; R\; c\; R\; 3\; =\; R\; a\; R\; b\; R\; a\; +\; R\; b\; +\; R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; R\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\; \}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Уравнения для преобразования Y в Δ

Общая идея состоит в том, чтобы вычислить импеданс $R\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\}$в цепи Δ по

$R\; \Delta \; =\; RPR\; напротив\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{P\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{напротив\}\}\}\}\}$

где $RP\; =\; R\; 1\; R\; 2\; +\; R\; 2\; R\; 3\; +\; R\; 3\; R\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{P\}\; =\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{3\}\; R\_\; \{1\}\}$равно сумма произведений всех пар импедансов в цепи Y и $R\; напротив\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Again\}\}\}$- это полное сопротивление узла в цепи Y, которое op расположите край с помощью $R\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\}$. Таким образом, формулы для отдельных ребер:

$R\; a\; =\; R\; 1\; R\; 2\; +\; R\; 2\; R\; 3\; +\; R\; 3\; R\; 1\; R\; 1\; R\; b\; =\; R\; 1\; R\; 2\; +\; R\; 2\; R\; 3\; +\; R\; 3\; R\; 1\; R\; 2\; R\; с\; знак\; равно\; R\; 1\; R\; 2\; +\; R\; 2\; R\; 3\; +\; R\; 3\; R\; 1\; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{3\}\; R\_\; \{1\}\}\; \{R\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{1\}\; R\_\; \{\; 2\}\; +\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{3\}\; R\_\; \{1\}\}\; \{R\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{1\; \}\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{3\}\; R\_\; \{1\}\}\; \{R\_\; \{3\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Или, если используется проводимость вместо сопротивления:

$Y\; a\; =\; Y\; 3\; Y\; 2\; \sum \; YYY\; b\; =\; Y\; 3\; Y\; 1\; \sum \; YYY\; c\; =\; Y\; 1\; Y\; 2\; \sum \; YY\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\_\; \{3\}\; Y\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sum\; Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Y\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\_\; \{3\}\; Y\_\; \{1\}\; \}\; \{\backslash \; sum\; Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Y\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\_\; \{1\}\; Y\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sum\; Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; Y\}\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что общая формула для вычисления Y к Δ с использованием проводимости аналогична формуле от Δ к Y с использованием сопротивления.

Доказательство существования и уникальности преобразования

Возможность преобразования может быть показана как следствие теоремы суперпозиции для электрических цепей. Краткое доказательство, а не доказательство, полученное как следствие более общего преобразования звездчатой ​​сетки, может быть представлено следующим образом. Эквивалентность заключается в утверждении, что для любых внешних напряжений ($V\; 1,\; V\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\},\; V\_\; \{2\}\}$и $V\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{\; 3\}\}$), применяемые в трех узлах ($N\; 1,\; N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{1\},\; N\_\; \{2\}\}$и $N\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; N\_\; \{3\}\}$), соответствующие токи ($I\; 1,\; I\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\},\; I\_\; \{2\}\}$и $I\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{3\}\}$) абсолютно одинаковы как для схемы Y, так и для Δ, и наоборот. В этом доказательстве мы начнем с заданных внешних токов в узлах. Согласно теореме суперпозиции, напряжения могут быть получены путем изучения суперпозиции результирующих напряжений в узлах следующих трех задач, применяемых в трех узлах с током:

1. $1\; 3\; (I\; 1\; -\; I\; 2),\; -\; 1\; 3\; (I\; 1\; -\; I\; 2),\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (I\_\; \{1\}\; -I\_\; \{2\}\; \backslash \; right),\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (I\_\; \{1\}\; -I\_\; \{2\}\; \backslash \; right),\; 0\}$
2. $0,\; 1\; 3\; (I\; 2\; -\; I\; 3),\; -\; 1\; 3\; (I\; 2\; -\; I\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (I\_\; \{2\}\; -I\_\; \{3\}\; \backslash \; right),\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (I\_\; \{2\}\; -I\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \}$и
3. $-\; 1\; 3\; (I\; 3\; -\; I\; 1),\; 0,\; 1\; 3\; (I\; 3\; -\; I\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (\; I\_\; \{3\}\; -I\_\; \{1\}\; \backslash \; right),\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (I\_\; \{3\}\; -I\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}$

Можно легко показать эквивалентность используя законы схем Кирхгофа, что $I\; 1\; +\; I\; 2\; +\; I\; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\; +\; I\_\; \{2\}\; +\; I\_\; \{3\}\; =\; 0\}$. Теперь каждая проблема относительно проста, поскольку включает только один идеальный источник тока. Чтобы получить точно такие же выходные напряжения в узлах для каждой задачи, эквивалентные сопротивления в двух цепях должны быть одинаковыми, это можно легко найти, используя основные правила последовательных и параллельных цепей :

$R\; 3\; +\; R\; 1\; =\; (R\; c\; +\; R\; a)\; R\; b\; R\; a\; +\; R\; b\; +\; R\; c,\; R\; 3\; R\; 1\; =\; R\; a\; R\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\}\; \{\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{3\}\}\; \{R\_\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\}.\}$

Хотя обычно шести уравнений более чем достаточно для выражения трех переменных ($R\; 1,\; R\; 2,\; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\},\; R\_\; \{2\},\; R\_\; \{3\}\}$) в терминах трех других переменных ($R\; a,\; R\; b,\; R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{\; \backslash \; text\; \{a\}\},\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\},\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}$), здесь просто показать, что эти уравнения действительно приводят к разработанным выше выражениям.

Фактически теорема суперпозиции устанавливает взаимосвязь между значениями сопротивлений, теорема единственности гарантирует уникальность такого решения.

Упрощение сетей

Резистивные цепи между двумя выводами теоретически могут быть упрощены до одного эквивалентного резистора (в более общем смысле то же самое верно и для импеданса). Последовательные и параллельные преобразования являются основными инструментами для этого, но для сложных сетей, таких как мост, показанный здесь, их недостаточно.

Преобразование Y-Δ может использоваться для исключения одного узла за раз и создания сети, которая может быть дополнительно упрощена, как показано.

Преобразование мостовой резисторной сети с использованием преобразования Y-Δ для исключения узла D дает эквивалентную сеть, которую можно легко упростить дополнительно.

Обратное преобразование Δ-Y, которое добавляет узел, часто бывает удобно, чтобы подготовить почву для дальнейшего упрощения.

Преобразование мостовой резистивной сети с использованием преобразования Δ-Y также дает эквивалентную сеть, которую можно легко еще больше упростить.

Каждая двухконтактная сеть, представленная плоским графом, может быть сводится к одному эквивалентному резистору последовательностью последовательных, параллельных преобразований Y-Δ и Δ-Y. Однако существуют неплоские сети, которые нельзя упростить с помощью этих преобразований, например, правильная квадратная сетка, обернутая вокруг тора , или любого члена семейства Петерсена.

Теория графов

В теории графов преобразование Y-Δ означает замену подграфа Y графа на эквивалентный подграф Δ. Преобразование сохраняет количество ребер в графе, но не количество вершин или количество циклов. Два графика называются Y-Δ эквивалентными, если один может быть получен из другого посредством серии преобразований Y-Δ в любом направлении. Например, семейство Петерсена является классом эквивалентности Y-Δ .

Демонстрация

Уравнения преобразования Δ-нагрузки в Y-нагрузку

Δ и схемы Y с ярлыки, которые используются в этой статье.

Для связи $\{R\; a,\; R\; b,\; R\; c\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\},\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\},\; R\; \_\; \{\backslash \; текст\; \{c\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$от Δ до $\{R\; 1,\; R\; 2,\; R\; 3\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{R\_\; \{1\},\; R\_\; \{\; 2\},\; R\_\; \{3\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$от Y, сравнивается импеданс между двумя соответствующими узлами. Импеданс в любой конфигурации определяется так, как будто один из узлов отключен от цепи.

Импеданс между N 1 и N 2 с N 3 отключенным в Δ:

$R\; \Delta \; (N\; 1,\; N\; 2)\; Знак\; равно\; р\; с\; \parallel \; (р\; a\; +\; р\; б)\; знак\; равно\; 1\; 1\; р\; с\; +\; 1\; р\; а\; +\; р\; б\; =\; р\; с\; (р\; а\; +\; р\; б)\; р\; а\; +\; р\; б\; +\; р\; с\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; R\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\; \backslash \; left\; (N\_\; \{1\},\; N\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; \backslash \; parallel\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\; \})\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\})\; \}\; \backslash \; right)\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для упрощения пусть $RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}$быть суммой $\{R\; a,\; R\; b,\; R\; c\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\; \}\},\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\},\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

$RT\; =\; R\; a\; +\; R\; b\; +\; R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}$

Таким образом,

$R\; \Delta \; (N\; 1,\; N\; 2)\; =\; R\; c\; (R\; a\; +\; R\; b)\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\; \backslash \; left\; (N\_\; \{1\},\; N\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\})\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\})\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\}$

Соответствующий im Педанс между N 1 и N 2 в Y прост:

$RY\; (N\; 1,\; N\; 2)\; =\; R\; 1\; +\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Y\; \}\}\; \backslash \; left\; (N\_\; \{1\},\; N\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{2\}\}$

, следовательно:

$R\; 1\; +\; R\; 2\; =\; R\; c\; (R\; a\; +\; R\; b)\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\})\}\; \{R\_\; \{\; \backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\}$(1)

Повторение для $R\; (N\; 2,\; N\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (N\_\; \{2\},\; N\_\; \{3\})\}$:

$R\; 2\; +\; R\; 3\; =\; R\; a\; (R\; b\; +\; R\; c)\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\})\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\}$(2)

и для $R\; (N\; 1,\; N\; 3)\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; \backslash \; влево\; (N\_\; \{1\},\; N\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$:

$R\; 1\; +\; R\; 3\; =\; R\; b\; (R\; a\; +\; R\; c)\; RT.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}.\}$(3)

Отсюда значения $\{R\; 1,\; R\; 2,\; R\; 3\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\; R\_\; \{1\},\; R\_\; \{2\},\; R\_\; \{3\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$могут быть определены линейной комбинацией (сложением и / или вычитанием).

Например, сложение (1) и (3) с последующим вычитанием (2) дает

$R\; 1\; +\; R\; 2\; +\; R\; 1\; +\; R\; 3\; -\; R\; 2\; -\; R\; 3\; =\; R\; c\; (R\; a\; +\; R\; b)\; RT\; +\; R\; b\; (R\; a\; +\; R\; c)\; RT\; -\; R\; a\; (R\; b\; +\; R\; c)\; RT\; \Rightarrow \; 2\; R\; 1\; =\; 2\; R\; b\; R\; c\; RT\; \Rightarrow \; R\; 1\; =\; R\; b\; R\; c\; RT.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{3\}\; -R\_\; \{2\}\; -R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c)\; \}\}\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\})\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\})\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\})\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; \{\}\; \backslash \; Rightarrow\; 2R\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\_\; \{\; \backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; \{\}\; \backslash \; Rightarrow\; R\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для полноты:

$R\; 1\; =\; R\; b\; R\; c\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\}$(4)

$R\; 2\; =\; R\; a\; R\; c\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\}$(5)

$R\; 3\; =\; R\; a\; R\; b\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; \}\}\}$(6)

Уравнения преобразования Y-нагрузки в Δ-нагрузки

Пусть

$RT\; =\; R\; a\; +\; R\; b\; +\; R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}$.

Мы можем записать Δ в уравнения Y как

$R\; 1\; =\; R\; b\; R\; c\; RT\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; R\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\}$(1)

$R\; 2\; =\; R\; a\; R\; c\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\}$(2)

$R\; 3\; =\; R\; a\; R\; b\; RT.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}.\}$(3)

Умножение пар уравнений дает

$R\; 1\; R\; 2\; =\; R\; a\; R\; b\; R\; c\; 2\; RT\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\; \}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$(4)

$R\; 1\; R\; 3\; знак\; равно\; R\; a\; R\; b\; 2\; R\; c\; RT\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; ^\; \{2\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$(5)

$R\; 2\; R\; 3\; =\; R\; a\; 2\; R\; b\; R\; c\; RT\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; ^\; \{2\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; текст\; \{T\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$(6)

и сумма этих уравнений составляет

$R\; 1\; R\; 2\; +\; R\; 1\; R\; 3\; +\; R\; 2\; R\; 3\; =\; R\; a\; р\; б\; р\; с\; 2\; +\; р\; a\; р\; б\; 2\; р\; с\; +\; р\; а\; 2\; р\; б\; р\; с\; RT\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; b\}\}\; ^\; \{2\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; ^\; \{2\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$(7)

Фактор $R\; a\; R\; b\; R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\; \}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}$от t правая сторона, оставляя $RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}$в числителе, отменяя с помощью $RT\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}$в знаменателе.

$R\; 1\; R\; 2\; +\; R\; 1\; R\; 3\; +\; R\; 2\; R\; 3\; =\; (R\; a\; R\; b\; R\; c)\; (R\; a\; +\; R\; b\; +\; R\; c)\; RT\; 2\; =\; R\; a\; R\; b\; R\; c\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{align\}\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\; \}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$(8)

Обратите внимание на сходство между (8) и {(1), (2), ( 3)}

Разделить (8) на (1)

$R\; 1\; R\; 2\; +\; R\; 1\; R\; 3\; +\; R\; 2\; R\; 3\; R\; 1\; =\; R\; a\; R\; b\; R\; c\; RTRTR\; b\; R\; c\; =\; R\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\}\; \{R\_\; \{1\}\}\}\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{c\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

который является уравнением для $R\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\}$. Деление (8) на (2) или (3) (выражения для $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{2\}\}$или $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{3\}\}$) дает остальные уравнения.

См. Также

• Преобразование звездообразной сетки
• Анализ сети (электрические цепи)
• Электрическая сеть, трехфазное питание, многофазные системы примеры соединений Y и Δ
• двигатель переменного тока для обсуждения техники пуска Y-Δ

Примечания

1. ^Kennelly, AE (1899). «Равнозначность треугольников и трехконечных звезд в проводящих сетях». Электрический мир и инженер. 34 : 413–414.
2. ^Curtis, E.B.; Ингерман, Д.; Морроу, Дж. (1998). «Круговые планарные графы и резисторные схемы». Линейная алгебра и ее приложения. 283 (1–3): 115–150. doi : 10.1016 / S0024-3795 (98) 10087-3.
3. ^Трюмпер, К. (1989). «О редукции дельта-звезда для плоских графов». Журнал теории графов. 13 (2): 141–148. doi : 10.1002 / jgt.3190130202.

Ссылки

• Уильям Стивенсон, Элементы анализа энергосистемы, 3-е изд., МакГроу Хилл, Нью-Йорк, 1975, ISBN 0-07-061285-4

Внешние ссылки

• Преобразование звезда-треугольник : знания об резистивных сетях и резисторах
• Калькулятор преобразования звезда-треугольник