Стабильный многочлен

редактировать

В контексте характеристического полинома дифференциального уравнения или разностного уравнения, многочлен называется стабильным, если:

все его корни лежат в открытой левой полуплоскости, либо
все его корни лежат в открытом единичном диске.

Первое условие обеспечивает стабильность для линейных систем с непрерывным временем, а второй случай относится к устойчивости линейных систем с дискретным временем. Многочлен с первым свойством иногда называется многочленом Гурвица, а со вторым свойством - многочленом Шура. Стабильные полиномы возникают в теории управления и в математической теории дифференциальных и разностных уравнений. Линейная инвариантная во времени система (см. теория систем LTI ) называется стабильной BIBO, если каждый ограниченный вход производит ограниченный выход. Линейная система является BIBO-устойчивой, если ее характеристический многочлен устойчив. Знаменатель должен быть устойчивым по Гурвицу, если система находится в непрерывном времени, и устойчивым по Шуру, если она находится в дискретном времени. На практике стабильность определяется путем применения любого из нескольких критериев стабильности.

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Свойства

Теорема Рауса – Гурвица предоставляет алгоритм для определения того, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу, который реализован в Рауса – Гурвица и Льенара – Шипарта. tests.
Чтобы проверить, является ли данный многочлен P (степени d) устойчивым по Шуру, достаточно применить эту теорему к преобразованному многочлену

Q (z) = (z - 1) d п (z + 1 z - 1) {\ displaystyle Q (z) = (z-1) ^ {d} P \ left ({{z + 1} \ over {z-1}} \ right)}

Q (z) = (z-1) ^ d P \ left ({{z + 1} \ over {z-1}) } \ right)

, полученное после преобразования Мёбиуса $z ↦ z + 1 z - 1 {\ displaystyle z \ mapsto {{z + 1} \ over {z-1}}}$ $z \ mapsto {{z + 1} \ over {z-1 }}$ который отображает левую полуплоскость в открытый единичный диск: P стабильно по Шуру тогда и только тогда, когда Q стабильно по Гурвицу и $P (1) ≠ 0 {\ displaystyle P (1) \ neq 0}$ $P (1) \ neq 0$ . Для полиномов более высокой степени дополнительных вычислений, связанных с этим отображением, можно избежать, проверяя стабильность Шура с помощью теста Шура-Кона, теста Жюри или теста Бистрица.

Необходимое условие: критерий Гурвица стабильный многочлен (с действительными коэффициентами) имеет коэффициенты одного знака (все положительные или все отрицательные).
Достаточное условие: многочлен $f (z) = a 0 + a 1 z + ⋯ + anzn {\ displaystyle f (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}$ $f (z) = a_0 + a_1 z + \ cdots + a_n z ^ n$ с (действительными) коэффициентами такими, что:

an>an - 1>⋯>a 0>0, {\ displaystyle a_ {n}>a_ {n-1}>\ cdots>a_ {0}>0,}

a_n>a_ {n-1}>\ cdots>a_0>0,

является стабильным по Шуру.

Правило произведения: два многочлена f и g стабильны (одного типа) тогда и только тогда, когда произведение fg стабильно.
Произведение Адамара: произведение Адамара (по коэффициенту) произведение двух стабильных политик Гурвица ynomials снова стабильна по Гурвицу.

Примеры

$4 z 3 + 3 z 2 + 2 z + 1 {\ displaystyle 4z ^ {3} + 3z ^ {2} + 2z + 1}$ $4z ^ 3 + 3z ^ 2 + 2z + 1$ стабильно по Шуру, поскольку удовлетворяет достаточному условию;
$z 10 {\ displaystyle z ^ {10}}$ $z ^ {10}$ устойчиво по Шуру (поскольку все его корни равны 0), но не удовлетворяет достаточному условию;
$z 2 - z - 2 {\ displaystyle z ^ {2} -z-2}$ $z ^ 2-z-2$ не является стабильным по Гурвицу (его корни равны -1,2), потому что он нарушает необходимое условие;
$z 2 + 3 z + 2 {\ displaystyle z ^ {2} + 3z + 2}$ $z ^ 2 + 3z + 2$ стабильно по Гурвицу (его корни равны -1, -2).
Многочлен $z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 {\ displaystyle z ^ {4} + z ^ {3} + z ^ {2} + z + 1}$ $z ^ 4 + z ^ 3 + z ^ 2 + z + 1$ (с положительными коэффициентами) не является ни стабильным по Гурвицу, ни по Шуру. Его корни - это четыре примитивных пятых корня из единицы

z k = cos ⁡ (2 π k 5) + i sin ⁡ (2 π k 5), k = 1,…, 4. {\ Displaystyle Z_ {к} = \ соз \ влево ({{2 \ пи к} \ более 5} \ вправо) + я \ грех \ влево ({{2 \ пи к} \ более 5} \ вправо), \, k = 1, \ ldots, 4 \.}

z_k = \ cos \ left ({{2 \ pi k} \ over 5} \ right) + i \ sin \ left ({{2 \ pi k} \ over 5} \ справа), \, k = 1, \ ldots, 4 \.

Обратите внимание, что

cos ⁡ (2 π / 5) = 5 - 1 4>0. {\ displaystyle \ cos ({{2 \ pi} / 5}) = {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4}>0.}

\ cos ({{2 \ pi} / 5}) = {{\ sqrt {5} -1} \ over 4}>0.

Это" пограничный случай "для устойчивости по Шуру, потому что ее корни лежат на единичной окружности. Пример также показывает, что указанные выше необходимые условия (положительности) для устойчивости по Гурвицу недостаточны.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Страница Mathworld