Полином Гурвица

В математике, Гурвица многочлен, названный в честь Адольфа Гурвица, является многочленом, чьи корни (нули) расположены в левой полуплоскости в комплексной плоскости или на мнимой оси, то есть, то действительная часть каждого корня равна нулю или отрицательный. Такой многочлен должен иметь коэффициенты, которые являются положительными действительными числами. Этот термин иногда ограничивается полиномами, корни которых имеют строго отрицательные действительные части, за исключением мнимой оси (т. Е. Устойчивый полином по Гурвицу).

Полиномиальная функция P ( s ) комплексной переменной s называется гурвицевой, если выполняются следующие условия:

1. P ( s ) реально, когда s реально.

2. Корни P ( s ) имеют действительные части, которые равны нулю или отрицательны.

Гурвица многочлены играют важную роль в теории систем управления, так как они представляют собой характеристические уравнения из устойчивых линейных систем. Является ли многочлен Гурвицем, можно определить, решив уравнение для нахождения корней, или из коэффициентов без решения уравнения по критерию устойчивости Рауса – Гурвица.

Примеры

Простой пример полинома Гурвица:

${\ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1.}$

Единственное реальное решение - -1, потому что оно множится как

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2}.}$

В общем, все квадратичные многочлены с положительными коэффициентами гурвицевы. Это следует непосредственно из формулы корней квадратного уравнения :

${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}.}$

где, если дискриминант b ² −4 ac меньше нуля, то многочлен будет иметь два комплексно-сопряженных решения с вещественной частью - b / 2 a, которая отрицательна для положительных a и b. Если дискриминант равен нулю, будут два совпадающих вещественных решения при - b / 2 a. Наконец, если дискриминант больше нуля, будет два действительных отрицательных решения, потому что для положительных a, b и c. ${\ displaystyle {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} lt;b}$

Свойства

Чтобы многочлен был гурвицевым, необходимо, но недостаточно, чтобы все его коэффициенты были положительными (за исключением квадратичных многочленов, что также не означает достаточности). Необходимым и достаточным условием гурвицевости полинома является его соответствие критерию устойчивости Рауса – Гурвица. Данный многочлен может быть эффективно протестирован на соответствие Гурвицу или нет, используя метод разложения непрерывной дроби Рауса.

Рекомендации

• Уэйн Х. Чен (1964) Проектирование и синтез линейных сетей, стр. 63, McGraw Hill.