Критерий устойчивости Рауса – Гурвица

В теории систем управления критерием устойчивости Рауса – Гурвица является математический тест, который является необходимым и достаточным условием для устойчивости линейной системы управления, не зависящей от времени (LTI) . Тест Рауса - это эффективный рекурсивный алгоритм, который английский математик Эдвард Джон Раус предложил в 1876 году, чтобы определить, все ли корни характеристического полинома линейная система имеет отрицательные действительные части. Немецкий математик Адольф Гурвиц независимо предложил в 1895 году упорядочить коэффициенты многочлена в квадратную матрицу, названную матрицей Гурвица, и показал, что многочлен устойчив тогда и только тогда, когда последовательность определителей его главных подматриц все положительны. Эти две процедуры эквивалентны, причем тест Рауса обеспечивает более эффективный способ вычисления определителей Гурвица, чем их вычисление напрямую. Многочлен, удовлетворяющий критерию Рауса – Гурвица, называется многочленом Гурвица.

. Важность критерия состоит в том, что корни p характеристического уравнения линейной системы с отрицательные действительные части представляют решения e системы, которые являются стабильными (ограниченными ). Таким образом, критерий обеспечивает способ определить, имеют ли уравнения движения линейной системы только устойчивые решения без непосредственного решения системы. Для дискретных систем соответствующий тест на стабильность может быть обработан с помощью критерия Шура – ​​Кона, теста Жюри и теста Бистрица. С появлением компьютеров этот критерий стал менее широко использоваться, поскольку альтернативой является решение полинома численно, получая приближения к корням напрямую.

Тест Рауса может быть получен с помощью алгоритма Евклида и теоремы Штурма при вычислении индексов Коши. Гурвиц вывел свои условия по-другому.

Содержание

• 1 Использование алгоритма Евклида
• 2 Использование матриц
  • 2.1 Пример
  • 2.2 Критерий Рауса – Гурвица для полиномов второго и третьего порядка
  • 2.3 Пример более высокого порядка
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Использование алгоритма Евклида

Критерий связан с теоремой Рауса – Гурвица. Из утверждения этой теоремы имеем $p\; -\; q\; =\; w\; (+\; \infty )\; -\; w\; (-\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; pq\; =\; w\; (+\; \backslash \; infty)\; -w\; (-\; \backslash \; infty)\}$где:

• $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- количество корней многочлена $f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$с отрицательным вещественная часть;
• $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$- количество корней многочлена $f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$с положительным вещественным числом часть (согласно теореме предполагается, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$не имеет корней, лежащих на мнимой прямой);
• w (x) - количество вариантов из обобщенной цепочки Штурма, полученной из $P\; 0\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (y)\}$и $P\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; (y)\}$(последовательными евклидовыми делениями ), где $f\; (iy)\; =\; P\; 0\; (y)\; +\; i\; P\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (iy)\; =\; P\_\; \{0\}\; (y)\; +\; iP\_\; \{1\}\; (y)\}$для действительного y.

Согласно основной теореме алгебры каждый многочлен степени n должно иметь n корней в th комплексная плоскость (т.е.для an без корней на мнимой прямой p + q = n). Таким образом, у нас есть условие, что ƒ является (гурвицевым) стабильным многочленом тогда и только тогда, когда p - q = n (доказательство приведено ниже). Используя теорему Рауса – Гурвица, мы можем заменить условие на p и q условием на обобщенную цепь Штурма, что, в свою очередь, даст условие на коэффициенты.

Использование матриц

Пусть f (z) - комплексный многочлен. Процесс выглядит следующим образом:

1. Вычислить многочлены $P\; 0\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (y)\}$и $P\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; (y)\}$такой, что $f\; (iy)\; =\; P\; 0\; (y)\; +\; i\; P\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (iy)\; =\; P\_\; \{0\}\; (y)\; +\; iP\_\; \{1\}\; (y)\}$, где y - действительное число.
2. Вычислить матрицу Сильвестра, связанную с $P\; 0\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (y)\}$и $P\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; (y)\}$.
3. Переставьте каждую строку таким образом, чтобы нечетная строка и следующие имеют такое же количество начальных нулей.
4. Вычислить каждый главный минор этой матрицы.
5. Если хотя бы один из младших миноров отрицательный (или ноль), то многочлен f нестабилен.

Пример

• Пусть $f\; (z)\; =\; az\; 2\; +\; bz\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; az\; ^\; \{2\}\; +\; bz\; +\; c\}$(для простоты мы берем действительные коэффициенты), где $c\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; neq\; 0\}$(чтобы избежать нулевого корня, чтобы мы могли использовать Теорема Рауса – Гурвица). Сначала мы должны вычислить действительные многочлены $P\; 0\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (y)\}$и $P\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; (y)\}$:

$f\; (iy)\; =\; -\; ay\; 2\; +\; iby\; +\; c\; =\; P\; 0\; (y)\; +\; i\; P\; 1\; (y)\; =\; -\; ay\; 2\; +\; c\; +\; i\; (by).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (iy)\; =\; -\; ay\; ^\; \{2\}\; +\; iby\; +\; c\; =\; P\_\; \{0\}\; (y)\; +\; iP\_\; \{1\}\; (y)\; =\; -\; ay\; ^\; \{2\}\; +\; c\; +\; i\; (by).\}$

Затем мы делим эти многочлены, чтобы получить обобщенную цепочку Штурма:

• $P\; 0\; (y)\; =\; ((-\; a\; /\; b)\; y)\; P\; 1\; (y)\; +\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (\; y)\; =\; ((-\; a\; /\; b)\; y)\; P\_\; \{1\}\; (y)\; +\; c,\}$дает $P\; 2\; (y)\; =\; -\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\; (\; y)\; =\; -\; c,\}$
• $п\; 1\; (y)\; =\; ((-\; b\; /\; c)\; y)\; P\; 2\; (y),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; (y)\; =\; ((-\; b\; /\; c)\; y)\; P\_\; \{2\}\; (y),\}$дает $P\; 3\; (y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{3\}\; (y)\; =\; 0\}$и Евклидово деление прекращается.

Обратите внимание, что мы должны были предположить, что b отличное от нуля в первом делении. Обобщенная цепочка Штурма в этом случае имеет вид $(P\; 0\; (y),\; P\; 1\; (y),\; P\; 2\; (y))\; =\; (c\; -\; ay\; 2,\; by,\; -\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\_\; \{0\}\; (y),\; P\_\; \{1\}\; (y),\; P\_\; \{2\}\; (y))\; =\; (c-ay\; ^\; \{2\},\; by,\; -c)\}$. Положив $y\; =\; +\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; +\; \backslash \; infty\}$, знак $c\; -\; ay\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c-ay\; ^\; \{2\}\}$- это знак, противоположный знаку a, а знак by - знак b. Когда мы помещаем $y\; =\; -\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; -\; \backslash \; infty\}$, знак первого элемента цепочки снова будет противоположным знаком a, а знак by будет противоположным признак б. Наконец, -c всегда имеет противоположный знак c.

Предположим теперь, что f устойчиво по Гурвицу. Это означает, что $вес\; (+\; \infty )\; -\; w\; (-\; \infty )\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (+\; \backslash \; infty)\; -w\; (-\; \backslash \; infty)\; =\; 2\}$(степень f). По свойствам функции w это то же самое, что и $w\; (+\; \infty )\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (+\; \backslash \; infty)\; =\; 2\}$и $w\; (-\; \infty ).\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; ш\; (-\; \backslash \; infty)\; =\; 0\}$. Таким образом, a, b и c должны иметь одинаковый знак. Таким образом, мы нашли необходимое условие устойчивости для многочленов степени 2.

Критерий Рауса – Гурвица для многочленов второго и третьего порядка

• Многочлен второй степени, $P\; (s)\; =\; s\; 2\; +\; a\; 1\; s\; +\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\; =\; s\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{1\}\; s\; +\; a\_\; \{0\}\}$имеет оба корня в открытом виде левая полуплоскость (и система с характеристическим уравнением $P\; (s)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\; =\; 0\}$устойчива) тогда и только тогда, когда оба коэффициента удовлетворяют $ai>0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}>0\}$.
• Многочлен третьего порядка $P\; (s)\; =\; s\; 3\; +\; a\; 2\; s\; 2\; +\; a\; 1\; s\; +\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\; =\; s\; ^\; \{3\}\; +\; a\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{1\}\; s\; +\; a\_\; \{0\}\}$имеет все корни в открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда $a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\}$, $a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\}$положительны, а $a\; 2\; a\; 1>a\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\; \}\; а\_\; \{1\}>а\_\; \{0\; \}.\}$
• В целом критерий устойчивости Рауса утверждает, что все корни многочлена находятся в открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда все элементы первого столбца массива Рауса имеют одинаковый знак.

Пример более высокого порядка

Табличный метод может использоваться для определения устойчивости, когда трудно получить корни характеристического полинома более высокого порядка. Для многочлена n-й степени

• $D\; (s)\; =\; ansn\; +\; an\; -\; 1\; sn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; s\; +\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (s)\; =\; a\_\; \{n\}\; s\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; s\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; s\; +\; a\_\; \{0\}\}$

таблица имеет n + 1 строк и следующую структуру:

$an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	$an\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n-2\}\}$	$an\; -\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n-4\}\}$	$\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dots\}$
$an\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n-1\}\}$	$an\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n-3\}\}$	$an\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n-5\}\}$	$\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dots\}$
$b\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\}$	$b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\}$	$b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{3\}\}$	$\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; точек\}$
$c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$	$c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$	$c\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{3\}\}$	$\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; точек\}$
$⋮\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vdots\}$	$⋮\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vdots\}$	$⋮\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vdots\}$	$\ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ddots\}$

где элементы $bi\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\}$и $ci\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\}$можно вычислить следующим образом:

• $б\; я\; знак\; равно\; А\; N\; -\; 1\; \times \; А\; N\; -\; 2\; Я\; -\; А\; N\; \times \; А\; N\; -\; (2\; я\; +\; 1)\; А\; N\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n-1\}\; \backslash \; times\; \{a\_\; \{n-2i\}\}\; -\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; times\; \{a\_\; \{n-\; (2i\; +\; 1)\}\}\}\; \{a\_\; \{n-1\}\}\}.\}$
• $ci\; =\; b\; 1\; \times \; an\; -\; (2\; i\; +\; 1)\; -\; an\; -\; 1\; \times \; bi\; +\; 1\; b\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \{a\_\; \{n-\; (2i\; +\; 1)\}\}\; -\; a\_\; \{n-1\}\; \backslash \; times\; \{b\_\; \{i\; +\; 1\}\}\}\; \{b\_)\; \{1\}\}\}.\}$

По завершении количество изменений знака в первом столбце будет количеством неотрицательных корней.

В первом столбце есть два изменения знака (0,75 → −3 и −3 → 3), таким образом, есть два неотрицательных корня, где система нестабильна..

Характеристическое уравнение сервосистемы:

• $b\; 0\; s\; 4\; +\; b\; 1\; s\; 3\; +\; b\; 2\; s\; 2\; +\; b\; 3\; s\; +\; b\; 4\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{0\}\; s\; ^\; \{4\}\; +\; b\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; b\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; b\_\; \{3\}\; s\; +\; b\_\; \{4\}\; =\; 0\}$

$b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{0\; \}\}$	$b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\}$	$b\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{4\}\}$	0
$b\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\}$	$b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{3\}\}$	0	0
$b\; 1\; b\; 2\; -\; b\; 0\; b\; 3\; b\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; -b\_\; \{0\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; over\; b\_\; \{1\}\}$	$b\; 1\; b\; 4\; -\; b\; 0\; \times \; 0\; b\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{4\}\; -b\_\; \{0\}\; \backslash \; times\; 0\; \backslash \; over\; b\_\; \{1\}\}$=$b\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{4\}\}$	0	0
$(b\; 1\; b\; 2\; -\; b\; 0\; b\; 3)\; b\; 3\; -\; b\; 1\; 2\; b\; 4\; b\; 1\; b\; 2\; -\; b\; 0\; b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; (b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; -b\_\; \{0\}\; b\_\; \{3\})\; b\_\; \{3\}\; -b\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; b\_\; \{4\}\; \backslash \; over\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; -b\_\; \{0\}\; b\_\; \{3\}\}$	0	0	0
$b\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{4\}\; \}$	0	0	0

для стабильности все элементы в первом столбце массива Рауса должны быть положительными. Итак, условия, которые должны быть выполнены для устойчивости данной системы, следующие:

$b\; 1>0,\; b\; 1\; b\; 2\; -\; b\; 0\; b\; 3>0,\; (b\; 1\; b\; 2\; -\; b\; 0\; b\; 3)\; b\; 3\; -\; b\; 1\; 2\; b\; 4>0,\; b\; 4>0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}>0,\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; -b\_\; \{0\}\; b\_\; \{3\}>0,\; (b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\; \}\; -b\_\; \{0\}\; b\_\; \{3\})\; b\_\; \{3\}\; -b\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; b\_\; \{4\}>0,\; b\_\; \{4\}>0\}$

Мы видим, что если

$(b\; 1\; b\; 2\; -\; b\; 0\; b\; 3)\; b\; 3\; -\; b\; 1\; 2\; b\; 4\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; -\; b\_\; \{0\}\; b\_\; \{3\})\; b\_\; \{3\}\; -b\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; b\_\; \{4\}\; \backslash \; geq\; 0\}$

, затем

$b\; 1\; b\; 2\; -\; b\; 0\; b\; 3>0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; -b\_\; \{0\}\; b\_\; \{3\}>0\}$

Доволен.

• $s\; 4\; +\; 6\; s\; 3\; +\; 11\; s\; 2\; +\; 6\; s\; +\; 200\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{4\}\; +\; 6s\; ^\; \{3\}\; +\; 11s\; ^\; \{2\}\; +\; 6s\; +\; 200\; =\; 0\}$

У нас есть следующая таблица:

есть два изменения знака. Система неустойчива, так как имеет два полюса правой полуплоскости и два полюса левой полуплоскости. В системе не может быть полюсов jω, поскольку в таблице Рауса не было ряда нулей.

Иногда наличие полюсов на мнимой оси создает ситуацию предельной устойчивости. В этом случае коэффициенты «массива Рауса» во всей строке становятся равными нулю, и, таким образом, дальнейшее решение полинома для обнаружения изменений знака невозможно. Затем в игру вступает другой подход. Строка многочлена, которая находится непосредственно над строкой, содержащей нули, называется «вспомогательным многочленом».

• $s\; 6\; +\; 2\; s\; 5\; +\; 8\; s\; 4\; +\; 12\; s\; 3\; +\; 20\; s\; 2\; +\; 16\; s\; +\; 16\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{6\}\; +\; 2s\; ^\; \{5\}\; +\; 8s\; ^\; \{4\}\; +\; 12s\; ^\; \{3\}\; +\; 20s\; ^\; \{2\}\; +\; 16s\; +\; 16\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

У нас есть следующая таблица:

В этом случае вспомогательный многочлен $A\; (\; s)\; =\; 2\; s\; 4\; +\; 12\; s\; 2\; +\; 16.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (s)\; =\; 2s\; ^\; \{4\}\; +\; 12s\; ^\; \{2\}\; +16.\; \backslash ,\}$который снова равен нулю. Следующим шагом является дифференцирование приведенного выше уравнения, которое дает следующий полином. $B\; (s)\; =\; 8\; с\; 3\; +\; 24\; с\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (s)\; =\; 8s\; ^\; \{3\}\; +\; 24s\; ^\; \{1\}.\; \backslash ,\}$. Коэффициенты строки, содержащей ноль, теперь становятся «8» и «24». Процесс массива Рауса продолжается с использованием этих значений, которые дают две точки на мнимой оси. Эти две точки на мнимой оси являются первопричиной предельной устойчивости.

См. Также

• Техника управления
• Вывод массива Рауса
• Критерий устойчивости Найквиста
• Теорема Рауса – Гурвица
• Корневой годограф
• Передаточная функция
• Критерий устойчивости Жюри
• Критерий устойчивости Бистрица
• Теорема Харитонова
• Критерий Льенара – Шипара

Литература

• Феликс Гантмахер (переводчик Дж.Л. (1959) Applications of theory of Matrix, pp 177–80, New York: Interscience.
• Pippard, AB; Дике, Р. Х. (1986). «Отклик и стабильность, введение в физическую теорию». Американский журнал физики. 54(11): 1052. Bibcode : 1986AmJPh..54.1052P. doi : 10,1119 / 1,14826. Архивировано с оригинального 14 мая 2016 года. Проверено 7 мая 2008 г.
• Ричард К. Дорф, Роберт Х. Бишоп (2001). Современные системы управления (9-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-030660-6.
• Rahman, Q. I.; Шмайссер, Г. (2002). Аналитическая теория многочленов. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 26 . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.
• Вайсштейн, Эрик У. «Теорема Рауса-Гурвица». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.

Внешние ссылки

• Сценарий MATLAB, реализующий тест Рауса-Гурвица
• Онлайн-реализация критерия Рауса-Гурвица