Равнораспределенная последовательность

редактировать

В математике последовательность (s1, s 2, s 3,...) вещественных чисел называется равнораспределенным, или равномерно распределенным, если доля членов в подынтервале пропорциональна длине этого подинтервала. Такие последовательности изучаются в теории диофантова приближения и имеют приложения к интегрированию Монте-Карло.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Расхождение
- 1.2 Интегральный критерий Римана для равнораспределения
2 Равнораспределение по модулю 1
- 2.1 Примеры
- 2.2 Критерий Вейля
  - 2.2.1 Обобщения
  - 2.2.2 Пример использования
- 2.3 Разностная теорема Ван дер Корпута
- 2.4 Метрические теоремы
3 Хорошо распределенная последовательность
4 Последовательности, равнораспределенные относительно произвольной меры
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Дополнительная литература
9 Внешние ссылки

Определение

Последовательность (s 1, s 2, s 3,...) действительных чисел называется быть равнораспределенным на невырожденном интервале [a, b], если для любого подынтервала [c, d] из [a, b] выполняется

lim n → ∞ | {s 1,…, s n} ∩ [c, d] | п = г - с б - а. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ left | \ {\, s_ {1}, \ dots, s_ {n} \, \} \ cap [c, d] \ right | \ over n} = {dc \ over ba}.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ left | \ {\, s_ {1}, \ dots, s_ {n} \, \} \ cap [c, d] \ right | \ over n} = {d-c \ over b-a}.}

(Здесь обозначение | {s 1,..., s n } ∩ [c, d ] | обозначает количество элементов из первых n элементов последовательности, которые находятся между c и d.)

Например, если последовательность равнораспределена в [0, 2], поскольку интервал [0,5, 0,9] занимает 1/5 длины интервала [0, 2], так как n становится большим, доля первых n членов последовательности, которые попадают между 0,5 и 0,9, должна приближаться к 1/5. Грубо говоря, можно сказать, что каждый член последовательности с одинаковой вероятностью попадет в любую точку своего диапазона. Однако это не означает, что (s n) является последовательностью случайных величин ; скорее, это определенная последовательность действительных чисел.

Несоответствие

Мы определяем несоответствие DNдля последовательности (s 1, s 2, s 3,...) относительно интервала [a, b] как

DN = sup a ≤ c ≤ d ≤ b | | {s 1,…, s N} ∩ [c, d] | Н - г - с б - а |. {\ Displaystyle D_ {N} = \ sup _ {a \ leq c \ leq d \ leq b} \ left \ vert {\ frac {\ left | \ {\, s_ {1}, \ dots, s_ {N} \, \} \ cap [c, d] \ right |} {N}} - {\ frac {dc} {ba}} \ right \ vert.}

{\ displaystyle D_ {N} = \ sup _ {a \ leq c \ leq d \ leq b} \ left \ верт {\ frac {\ left | \ {\, s_ {1}, \ dots, s_ {N} \, \} \ cap [c, d] \ right |} {N}} - {\ frac {dc} {ba}} \ right \ vert.}

Таким образом, последовательность является равнораспределенной, если невязка D N стремится к нулю, когда N стремится к бесконечности.

Равнораспределение - это довольно слабый критерий для выражения того факта, что последовательность заполняет сегмент без пропусков. Например, изображения случайной величины, однородной по сегменту, будут равномерно распределены в сегменте, но будут большие промежутки по сравнению с последовательностью, которая сначала перечисляет кратные ε в сегменте для некоторого малого ε соответствующим образом выбранным способом., а затем продолжает делать это для все меньших и меньших значений ε. Для более строгих критериев и для построения последовательностей, которые более равномерно распределены, см. последовательность с низким расхождением.

интегральный критерий Римана для равнораспределения

Напомним, что если f является функцией, имеющей a интеграл Римана в интервале [a, b], тогда его интеграл является пределом сумм Римана, взятых путем выборки функции f в наборе точек выбирается из мелкого разбиения интервала. Следовательно, если некоторая последовательность равнораспределена в [a, b], ожидается, что эту последовательность можно использовать для вычисления интеграла от интегрируемой по Риману функции. Это приводит к следующему критерию для равнораспределенной последовательности:

Предположим (s 1, s 2, s 3,...) последовательность, содержащаяся в интервале [a, b]. Тогда следующие условия эквивалентны:

Последовательность равнораспределена на [a, b].
Для любой интегрируемой по Риману (комплекснозначной ) функции f: [a, b ] → ℂ, выполняется следующий предел:

lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N f (sn) = 1 b - a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty } {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f \ left (s_ {n} \ right) = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a } ^ {b} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty } {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f \ left (s_ {n} \ right) = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a } ^ {b} f (x) \, dx}

Доказательство
Прежде всего отметим, что определение равнораспределенной последовательности эквивалентно интегральному критерию, когда f является индикаторной функцией интервала : Если f = 1[c, d], то левая часть представляет собой долю точек последовательности, попадающих в интервал [c, d], а правая часть - точно $d - cb - а. {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {d-c} {b-a}}.}$ $\ textstyle { \ frac {dc} {ba}}.$ Это означает 2 ⇒ 1 (поскольку индикаторные функции интегрируются по Риману) и 1 ⇒ 2, если f является индикаторной функцией интервала. Осталось предположить, что интегральный критерий выполняется для индикаторных функций, и доказать, что он верен и для общих функций, интегрируемых по Риману. Обратите внимание, что обе части уравнения интегрального критерия линейны по f, и поэтому критерий выполняется для линейных комбинаций интервальных индикаторов, то есть ступенчатых функций. Для покажите, что это верно для f, являющейся общей интегрируемой по Риману функцией, сначала предположим, что f вещественнозначна. Затем, используя определение интеграла Дарбу, мы имеем для каждого ε>0 две ступенчатые функции f 1 и f 2 такие, что f 1 ≤ f ≤ f 2 и $∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx ≤ ε (b - a). {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {a} ^ {b} (f_ {2} (x) -f_ {1} (x)) \, dx \ leq \ varepsilon (ba).}$ $\ textstyle \ int_a ^ b (f_2 (x) - f_1 (x)) \, dx \ le \ varepsilon (ba).$ Обратите внимание, что: $1 b - a ∫ abf 1 (x) dx = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N f 1 (sn) ≤ lim inf N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N f (sn) {\ displaystyle {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f_ {1} (x) \, dx = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1 } {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f_ {1} (s_ {n}) \ leq \ liminf _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ сумма _ {n = 1} ^ {N} f (s_ {n})}$ $\ frac {1} {ba} \ int_a ^ b f_1 (x) \, dx = \ lim_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f_1 (s_n) \ le \ liminf_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f ( s_n)$ $1 b - a ∫ abf 2 (x) dx = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N f 2 (sn) ≥ lim sup N → ∞ 1 N ∑ N = 1 N е (sn) {\ displaystyle {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f_ {2} (x) \, dx = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f_ {2} (s_ {n}) \ geq \ limsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f (s_ {n})}$ $\ frac {1} {ba} \ int_a ^ b f_2 (x) \, dx = \ lim_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f_2 (s_n) \ ge \ limsup_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f (s_n)$ Вычитая, мы видим, что предел выше и ограничить нижний из $1 N ∑ N = 1 N f (sn) {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f ( s_ {n})}$ $\ textstyle {\ frac 1N} \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} f (s_ {n})$ отличаются не более чем на ε. Поскольку ε произвольно, мы имеем существование предела и, согласно определению интеграла Дарбу, это правильный предел. Наконец, для комплекснозначных функций, интегрируемых по Риману, результат снова следует из линейности и из того факта, что каждая такая функция может быть записана как f = u + vi, где u, v являются действительными значениями. и интегрируема по Риману. ∎

Доказательство

Прежде всего отметим, что определение равнораспределенной последовательности эквивалентно интегральному критерию, когда f является индикаторной функцией интервала : Если f = 1[c, d], то левая часть представляет собой долю точек последовательности, попадающих в интервал [c, d], а правая часть - точно

d - cb - а. {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {d-c} {b-a}}.}

\ textstyle { \ frac {dc} {ba}}.

Это означает 2 ⇒ 1 (поскольку индикаторные функции интегрируются по Риману) и 1 ⇒ 2, если f является индикаторной функцией интервала. Осталось предположить, что интегральный критерий выполняется для индикаторных функций, и доказать, что он верен и для общих функций, интегрируемых по Риману.

Обратите внимание, что обе части уравнения интегрального критерия линейны по f, и поэтому критерий выполняется для линейных комбинаций интервальных индикаторов, то есть ступенчатых функций.

Для покажите, что это верно для f, являющейся общей интегрируемой по Риману функцией, сначала предположим, что f вещественнозначна. Затем, используя определение интеграла Дарбу, мы имеем для каждого ε>0 две ступенчатые функции f 1 и f 2 такие, что f 1 ≤ f ≤ f 2 и $∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx ≤ ε (b - a). {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {a} ^ {b} (f_ {2} (x) -f_ {1} (x)) \, dx \ leq \ varepsilon (ba).}$ $\ textstyle \ int_a ^ b (f_2 (x) - f_1 (x)) \, dx \ le \ varepsilon (ba).$ Обратите внимание, что:

1 b - a ∫ abf 1 (x) dx = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N f 1 (sn) ≤ lim inf N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N f (sn) {\ displaystyle {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f_ {1} (x) \, dx = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1 } {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f_ {1} (s_ {n}) \ leq \ liminf _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ сумма _ {n = 1} ^ {N} f (s_ {n})}

\ frac {1} {ba} \ int_a ^ b f_1 (x) \, dx = \ lim_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f_1 (s_n) \ le \ liminf_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f ( s_n)

1 b - a ∫ abf 2 (x) dx = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N f 2 (sn) ≥ lim sup N → ∞ 1 N ∑ N = 1 N е (sn) {\ displaystyle {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f_ {2} (x) \, dx = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f_ {2} (s_ {n}) \ geq \ limsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f (s_ {n})}

\ frac {1} {ba} \ int_a ^ b f_2 (x) \, dx = \ lim_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f_2 (s_n) \ ge \ limsup_ {N \ to \ infty} \ frac 1 N \ sum_ {n = 1} ^ N f (s_n)

Вычитая, мы видим, что предел выше и ограничить нижний из $1 N ∑ N = 1 N f (sn) {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f ( s_ {n})}$ $\ textstyle {\ frac 1N} \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} f (s_ {n})$ отличаются не более чем на ε. Поскольку ε произвольно, мы имеем существование предела и, согласно определению интеграла Дарбу, это правильный предел.

Наконец, для комплекснозначных функций, интегрируемых по Риману, результат снова следует из линейности и из того факта, что каждая такая функция может быть записана как f = u + vi, где u, v являются действительными значениями. и интегрируема по Риману. ∎

Этот критерий приводит к идее интегрирования Монте-Карло, где интегралы вычисляются путем выборки функции по последовательности случайных величин, равнораспределенных в интервале.

Невозможно обобщить интегральный критерий на класс функций, больший, чем просто интегрируемые по Риману. Например, если рассматривается интеграл Лебега, а f берется в L, то этот критерий не выполняется. В качестве контрпримера возьмем f как индикаторную функцию некоторой равнораспределенной последовательности. Тогда в критерии левая часть всегда равна 1, тогда как правая часть равна нулю, потому что последовательность счетно, поэтому f равно нулю почти всюду.

Фактически, Теорема де Брейна – Поста утверждает обратное приведенному выше критерию: если f - такая функция, что указанный выше критерий выполняется для любой равнораспределенной последовательности в [a, b], то f интегрируема по Риману в [a, b].

Равнораспределение по модулю 1

Последовательность (a 1, a 2, a 3,...) действительных чисел называется равнораспределенным по модулю 1 или равномерно распределенным по модулю 1, если последовательность дробных частей числа n, обозначенный (a n) или a n - ⌊a n ⌋, равнораспределен в интервале [0, 1].

Примеры

Иллюстрация заполнения единичного интервала (ось x) с использованием первых n членов последовательности Ван дер Корпута для n от 0 до 999 (ось y). Градация цвета обусловлена алиасингом.

Теорема об эквидистрибуции : последовательность всех кратных иррационального α,

0, α, 2α, 3α, 4α,...

равнораспределено по модулю 1.

В более общем смысле, если p является многочленом с хотя бы одним коэффициентом, отличным от постоянного члена иррационального, тогда последовательность p (n) равномерно распределена по модулю 1.

Это было доказано Вейлем и является приложением разностной теоремы Ван дер Корпута.

Последовательность log (n) не распределена равномерно по модулю 1. Этот факт связан с законом Бенфорда.
Последовательность всех кратное иррациональному α последовательным простым числам,

2α, 3α, 5α, 7α, 11α,...

равнораспределено по модулю 1. Это известная теорема аналитической теории чисел, опубликовано И. М. Виноградов в 1948 году.

Последовательность ван дер Корпута равнораспределена.

критерий Вейля

критерий Вейля утверждает, что последовательность a n равнораспределено по модулю 1 тогда и только тогда, когда для всех ненулевых целых чисел ℓ,

lim n → ∞ 1 n ∑ j = 1 ne 2 π i ℓ aj = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} e ^ {2 \ pi i \ ell a_ {j}} = 0.}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{j = 1}} ^ {{n}} e ^ {{2 \ pi i \ ell a_ {j}}} = 0.

Критерий назван в честь и был впервые сформулирован Германом Вейлем. Это позволяет свести вопросы о равнораспределении к пределам экспоненциальных сумм, фундаментального и общего метода.

Эскиз доказательства
Если последовательность равнораспределена по модулю 1, то мы можем применить интегральный критерий Римана (описанный выше) к функции $f (x) = e 2 π i ℓ x, {\ displaystyle \ textstyle f (x) = e ^ {2 \ pi i \ ell x},}$ $\ textstyle f (x) = e ^ {{2 \ pi i \ ell x}},$ с целым нулем на интервале [0, 1]. Это сразу дает критерий Вейля. Наоборот, предположим, что критерий Вейля выполняется. Тогда интегральный критерий Римана выполняется для функций f, как указано выше, и в силу линейности критерия он выполняется для любого тригонометрического полинома. Согласно теореме Стоуна – Вейерштрасса и аргументу аппроксимации, это распространяется на любую непрерывную функцию f. Наконец, пусть f будет индикаторной функцией интервала. Можно ограничить f сверху и снизу двумя непрерывными на отрезке функциями, интегралы которых отличаются на произвольное ε. С помощью рассуждений, аналогичных доказательству интегрального критерия Римана, можно распространить результат на любую интервальную индикаторную функцию f, тем самым доказав эквираспределение по модулю 1 данной последовательности. ∎

Эскиз доказательства

Если последовательность равнораспределена по модулю 1, то мы можем применить интегральный критерий Римана (описанный выше) к функции

f (x) = e 2 π i ℓ x, {\ displaystyle \ textstyle f (x) = e ^ {2 \ pi i \ ell x},}

\ textstyle f (x) = e ^ {{2 \ pi i \ ell x}},

с целым нулем на интервале [0, 1]. Это сразу дает критерий Вейля.

Наоборот, предположим, что критерий Вейля выполняется. Тогда интегральный критерий Римана выполняется для функций f, как указано выше, и в силу линейности критерия он выполняется для любого тригонометрического полинома. Согласно теореме Стоуна – Вейерштрасса и аргументу аппроксимации, это распространяется на любую непрерывную функцию f.

Наконец, пусть f будет индикаторной функцией интервала. Можно ограничить f сверху и снизу двумя непрерывными на отрезке функциями, интегралы которых отличаются на произвольное ε. С помощью рассуждений, аналогичных доказательству интегрального критерия Римана, можно распространить результат на любую интервальную индикаторную функцию f, тем самым доказав эквираспределение по модулю 1 данной последовательности. ∎

Обобщения

Количественная форма критерия Вейля задается неравенством Эрдеша – Турана.
критерий Вейля естественным образом распространяется на более высокие измерения, предполагая естественное обобщение определения равнораспределения по модулю 1:

Последовательность v n векторов в R равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для любого ненулевого вектора ℓ ∈ Z,

lim n → ∞ 1 n ∑ J знак равно 0 N - 1 е 2 π я ℓ ⋅ vj = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} e ^ {2 \ pi i \ ell \ cdot v_ {j}} = 0.}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {1} {n }} \ sum _ {{j = 0}} ^ {{n-1}} e ^ {{2 \ pi i \ ell \ cdot v_ {j}}} = 0.

Пример использования

Критерий Вейля можно использовать для простого доказательства равнораспределения теорема, утверждающая, что последовательность кратных 0, α, 2α, 3α,... некоторого действительного числа α равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда α иррационально.

Предположим, что α иррационально и обозначим нашу последовательность как a j = jα (где j начинается с 0, чтобы позже упростить формулу). Пусть ℓ ≠ 0 целое число. Поскольку α иррационально, ℓα никогда не может быть целым числом, поэтому $e 2 π i ℓ α {\ textstyle e ^ {2 \ pi i \ ell \ alpha}}$ ${\ textstyle e ^ {2 \ pi i \ ell \ alpha}}$ никогда не может быть 1. Использование формула суммы конечного геометрического ряда,

| J = 0 n - 1 e 2 π i ℓ j α | = | ∑ j = 0 n - 1 (e 2 π i ℓ α) j | = | 1 - e 2 π i ℓ n α 1 - e 2 π i ℓ α | ≤ 2 | 1 - е 2 π i ℓ α |, {\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} e ^ {2 \ pi i \ ell j \ alpha} \ right | = \ left | \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ left (e ^ {2 \ pi i \ ell \ alpha} \ right) ^ {j} \ right | = \ left | {\ frac {1-e ^ {2 \ pi i \ ell n \ alpha}} {1-e ^ {2 \ pi i \ ell \ alpha}}} \ right | \ leq {\ frac {2} {\ left | 1-e ^ {2 \ pi i \ ell \ alpha} \ right |}},}

\ left | \ sum _ {{j = 0}} ^ {{n-1}} e ^ {{2 \ pi i \ ell j \ alpha}} \ right | = \ left | \ sum _ {{j = 0}} ^ {{n-1}} \ left (e ^ {{2 \ pi i \ ell \ alpha}} \ right) ^ {j} \ right | = \ left | {\ frac {1-e ^ {{2 \ pi i \ ell n \ alpha}}} {1-e ^ {{2 \ pi i \ ell \ alpha}}} } \ right | \ leq {\ frac 2 {\ left | 1-e ^ {{2 \ pi i \ ell \ alpha}} \ right |}},

конечная оценка, не зависящая от n. Следовательно, после деления на n и стремления n к бесконечности левая часть стремится к нулю, и критерий Вейля удовлетворяется.

И наоборот, обратите внимание, что если α рационально, то эта последовательность не является равнораспределенной по модулю 1, потому что существует только конечное число вариантов для дробной части j = jα.

разностная теорема ван дер Корпута

Теорема Йоханнес ван дер Корпут утверждает, что если для каждого h последовательность s n + h - s n равномерно распределен по модулю 1, тогда s n.

A набор Ван дер Корпута является набором H целых чисел, таким что если для каждого h в H последовательность s n + h - s n равномерно распределен по модулю 1, тогда как s n.

Метрические теоремы

Метрические теоремы описывают поведение параметризованной последовательности для почти всех значений некоторого параметра α: то есть для значений α, не лежащих в некотором исключительном множестве меры Лебега ноль.

Для любой последовательности различных целых чисел b n последовательность (b n α) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α.
Последовательность (α) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α>1.

Неизвестно, являются ли последовательности (e) или (π) равнораспределенными по модулю 1. Однако известно, что последовательность (α) не является равнораспределенный модуль 1, если α - номер PV.

Хорошо распределенная последовательность

Последовательность (s 1, s 2, s 3,...) действительных чисел называется хорошо распределенным на [a, b], если для любого подынтервала [c, d] из [a, b] мы имеем

lim n → ∞ | {s k + 1,…, s k + n} ∩ [c, d] | п = d - cb - a {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ left | \ {\, s_ {k + 1}, \ dots, s_ {k + n} \, \} \ cap [c, d] \ право | \ over n} = {d-c \ over b-a}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ left | \ {\, s_ {k + 1}, \ dots, s_ {k + n} \, \} \ cap [c, d] \ right | \ over n} = {dc \ over ba}}

равномерно по k. Ясно, что каждая хорошо распределенная последовательность распределена равномерно, но обратное неверно. Определение хорошо распределенного по модулю 1 аналогично.

Последовательности, равнораспределенные относительно произвольной меры

Для произвольного пространства вероятностной меры $(X, μ) {\ displaystyle (X, \ mu)}$ $(X, \ mu)$ , последовательность точек $(xn) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_ {n})$ называется равнораспределенной относительно $μ {\ displaystyle \ mu }$ $\ mu$ , если среднее точечных измерений слабо сходится к $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ :

∑ k = 1 n δ xkn ⇒ μ. {\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ delta _ {x_ {k}}} {n}} \ Rightarrow \ mu \.}

{ \ гидроразрыва {\ сумма _ {{к = 1}} ^ {n} \ delta _ {{x_ {k}}}} {n}} \ Rightarrow \ mu \.

В любом Borel вероятностная мера на отделимом, метризуемом пространстве, существует равнораспределенная последовательность относительно меры; действительно, это сразу следует из того факта, что такое пространство стандартно.

Общее явление равнораспределения часто возникает для динамических систем, связанных с группами Ли, например, в решении Маргулиса для гипотеза Оппенгейма.

См. также

Примечания

Ссылки

Kuipers, L.; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Равномерное распределение последовательностей. Dover Publications. ISBN 0-486-45019-8.
Kuipers, L.; Niederreiter, H. (1974). Равномерное распределение последовательностей. John Wiley Sons Inc. ISBN 0-471-51045-9. Zbl 0281.10001.
Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа. Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001.

Дополнительная литература

Гранвиль, Эндрю; Рудник, Зеев, ред. (2007). Равное распределение в теории чисел, введение. Труды Института перспективных исследований НАТО по равнораспределению в теории чисел, Монреаль, Канада, 11–22 июля 2005 г. Серия научных исследований НАТО II: математика, физика и химия. 237 . Дордрехт: Спрингер-Верлаг. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1121.11004.
Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка. Аспирантура по математике. 142 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl 1277.11010.

Внешние ссылки