В топологии и родственных разделах математики T1пространство является топологическим пространство, в котором для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другую точку. Пространство R0- это пространство, в котором это выполняется для каждой пары топологически различимых точек. Свойства T 1 и R 0 являются примерами аксиом разделения.
Содержание
- 1 Определения
- 2 Свойства
- 3 Примеры
- 4 Обобщения на другие виды пространств
- 5 Ссылки
Определения
Пусть X будет топологическим пространством и пусть x и y будут точками в X. Мы говорим, что x и y могут быть разделенными, если каждый из них находится в окрестности, не содержащей другой точки.
- X - это T1пробел, если любые две различных точки в X разделены.
- X - это R0пробел, если любые два топологически различимые точки в X разделены.
пространство AT 1 также называется доступным пространством или тихоновским пространством, или пробелом с топологией Фреше и пространством R 0 также называется симметричным пространством . (Термин пространство Фреше также имеет совершенно другое значение в функциональном анализе. По этой причине термин T 1 пространство является предпочтительным. Существует также понятие пространства Фреше – Урысона как типа последовательного пространства. Термин «симметричное пространство» имеет другое значение.)
Свойства
Если X является топологическим пространством, следующие условия эквивалентны:
- X - это пространство T 1.
- X - это T0пространство и R 0 пробел.
- Точки замкнуты в X; т.е. для любого x ∈ X одноэлементное множество {x} является замкнутым множеством.
- Каждое подмножество X является пересечением всех содержащих его открытых множеств.
- Каждое конечное множество закрыт.
- Каждый cofinite набор X открыт.
- Фиксированный ультрафильтр в точке x сходится только к x.
- Для любого подмножества S множества X и каждой точки x ∈ X, x является предельной точкой множества S тогда и только тогда, когда каждая открытая окрестность точки x содержит бесконечно много точек S.
Если X - топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны:
- X - пространство R 0.
- Для любого x ∈ X замыкание из {x} содержит только точки, которые топологически неотличимы от x.
- Для любых двух точек z и y в пространстве x находится в замыкании {y} тогда и только тогда, когда y находится в замыкании {x}.
- Предварительный заказ специализации на X является симметричным (и, следовательно, отношением эквивалентности ).
- Фиксированный ультрафильтр в x сходится только к точкам, которые топологически неотличимы от x.
- Каждое открытое множество является объединением замкнутых множеств.
В любом топологическом пространстве, которое у нас есть, в качестве свойств любых двух точек, следующие импликации
- разделены ⇒ топологически различимы ⇒ отличные
Если первая стрелка может быть перевернута, пробел равен R 0. Если вторая стрелка может быть перевернута, пробел равен T0. Если составная стрелка может быть перевернута, интервал равен T 1. Пробел является T 1 тогда и только тогда, когда он одновременно R 0 и T 0.
. Обратите внимание, что конечное пространство T 1 обязательно дискретное (поскольку каждый набор закрыт).
Примеры
- Пространство Серпинского - это простой пример топологии, которая имеет значение T 0, но не является T 1.
- . Топология интервала перекрытия является простой пример топологии, которая является T 0, но не является T 1.
- . cofinite topology на бесконечном множестве является простым примером топологии, которая равно T 1, но не Hausdorff (T2). Это следует из того, что никакие два открытых множества конфинитной топологии не пересекаются. В частности, пусть X будет набором целых чисел, и определим открытые множества OAкак те подмножества X, которые содержат все, кроме конечного подмножества A X. Затем даны различные целые числа x и y:
- открытое множество O {x} содержит y, но не x, а открытое множество O {y} содержит x, а не y;
- эквивалентно, каждый одноэлементный набор {x} является дополнением открытого набора O {x}, поэтому это замкнутый набор;
- , поэтому результирующее пространство T 1 по каждому из приведенных выше определений. Это пространство не T 2, потому что пересечение любых двух открытых множеств O A и O B равно O A ∪B, который никогда не бывает пустым. В качестве альтернативы набор четных целых чисел компактный, но не закрытый, что было бы невозможно в пространстве Хаусдорфа.
- Приведенный выше пример можно немного изменить, чтобы создать двухконечная кофинитная топология, которая является примером пространства R 0, которое не является ни T 1, ни R 1. Пусть X снова будет набором целых чисел, и, используя определение O A из предыдущего примера, определите подбазу открытых множеств G x для любого целого числа. x должен быть G x = O {x, x + 1}, если x является четным числом, и G x = O {x-1, x}, если x нечетное. Тогда базис топологии задается конечными пересечениями множеств подбазисов: для данного конечного множества A открытые множества X равны
- Полученное пространство не равно T 0 (и, следовательно, не T 1), поскольку точки x и x + 1 (при четном x) топологически неразличимы; но в остальном это по существу эквивалентно предыдущему примеру.
- Топология Зарисского на алгебраическом многообразии (над алгебраически замкнутым полем ) T 1. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что точка с локальными координатами (c1,..., c n) является нулевым набором полиномов x1-c1,..., х n-cn. Таким образом, точка закрыта. Однако этот пример хорошо известен как пространство, отличное от Хаусдорфа (T2). Топология Зарисского, по сути, является примером кофинитной топологии.
- Топология Зарисского на коммутативном кольце (то есть простой спектр кольца ) равна T 0, но, как правило, не T 1. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что замыкание одноточечного множества - это набор всех простых идеалов, содержащих точку (и, таким образом, топология T 0). Однако это замыкание является максимальным идеалом, и единственные замкнутые точки являются максимальными идеалами и, следовательно, не содержатся ни в одном из открытых множеств топологии, и, таким образом, пространство не удовлетворяет аксиоме T 1. Чтобы прояснить этот пример: топология Зарисского для коммутативного кольца A задается следующим образом: топологическое пространство - это множество X всех простых идеалов кольца A. База топологии задается открытыми множествами O a простых идеалов, которые не содержат a в A. Несложно проверить, что это действительно является базисом: поэтому O a ∩ O b = O ab и O 0 = Ø и O 1 = X. Замкнутые множества топологии Зарисского - это множества простых идеалы, которые действительно содержат. Обратите внимание, как этот пример тонко отличается от приведенного выше примера конфинитной топологии: точки в топологии, как правило, не замкнуты, тогда как в пространстве T 1 точки всегда замкнуты.
- Каждое полностью отключенное пространство равно T 1, поскольку каждая точка является связным компонентом и, следовательно, закрыта.
Обобщения на другие виды пространств
Термины «T 1 », «R 0 » и их синонимы также могут применяться к таким вариациям топологических пространств, как равномерные пространства, пространства Коши и. Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, заключается в том, что пределы фиксированных ультрафильтров (или постоянных сетей ) уникальны (для T 1 пространств) или уникальны с точностью до топологической неразличимости (для R 0 пробелов).
Как выясняется, равномерные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда R 0, поэтому условие T 1 в этих случаях сводится к T 0 условие. Но только R 0 может быть интересным условием для других видов пространств сходимости, таких как претопологические пространства.
Ссылки
- ^Архангельский (1990). См. Раздел 2.6.
- ^Архангельский (1990) См. Предложение 13, раздел 2.6.
- ^Архангельский (1990). См. Пример 21, раздел 2.6.
- Уиллард, Стивен (1998). Общая топология. Нью-Йорк: Дувр. С. 86–90. ISBN 0-486-43479-6.
- Фолланд, Джеральд (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (2-е изд.). John Wiley Sons, Inc. стр. 116. ISBN 0-471-31716-0.
- A.V. Архангельский, Л. Понтрягин (ред.) Общая топология I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4.
