Квадратный корень из 2

редактировать

Уникальное положительное действующее число, которое при умножении само на себя дает 2

Квадратный корень из 2 длине гипотенуза в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами длины 1.

Корень квадратный из 2 или половинная степень 2, записывается в математике как $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\sqrt {2}}$ или $2 1/2 {\ displaystyle 2 ^ {1/2}}$ $2^{{1/2}}$ , является положительным алгебраическим числом, которое при умножении само на себя равно численностью 2. Технически его следует называть главным квадратным корнем из 2, чтобы отличать его от отрицательного числа с таким же своим.

Геометрически квадратный корень из 2 представляет собой длину диагонали в квадрате со сторонами, равными одной единице длины ; это следует из теоремы Пифагора. Вероятно, это было первое число, которое, как известно, было иррациональным. Дробь 99/70 (≈ 1,4142 857) иногда используется как хорошее рациональное приближение с достаточно малым знаменателем.

Последовательность A002193 в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей состоят из цифр десятичного разложения квадратного корня из 2, здесь усеченного до 65 десятичные разряды :

1.41421353780730730950487687697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697697309504880168866

Двоичный

1.01101010000010011110… <441144304502101101010000048811110… 1.6A09E667F3BCC908B2F…

Непрерывная дробь + 1 2496 + 1 + 1 2 + ⋱ {\ displaystyle 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2+ {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2+ \ ddots}}) }}}}}}

1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}

Содержание

1 История
- 1.1 Древнеримская архитектура
2 Десятичное значение
- 2.1 Вычислительные алгоритмы
- 2.2 Рациональные приближения
- 2.3 Записи в вычислениях
3 Доказательства иррациональности
- 3.1 Доказательство бесконечным спуском
- 3.2 Доказательство уникальной факторизации
- 3.3 Геометрическое доказательство
- 3.4 Конструк тивное доказательство
- 3.5 Доказательство диофантовыми уравнениями
4 Мультипликативная обратная
5 Свойства
6 Изображения
- 6.1 Серия и продукт
- 6.2 Непрерывная дробь
- 6.3 Вложенный квадрат
7 Приложения
- 7.1 Размер бумаги
- 7.2 Физические науки
- 7.3 Видеоигры
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

История

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с примечаниями. Помимо отображения квадратной корня из 2 в шестидесятеричной системе (1 24 51 10), в таблице также приведен пример, где одна сторона квадрата равна 30, а диагональ - 42 25 35. Шестидесячная цифра 30 может также обозначать 0 30 = 1/2, в этом случае 0 42 25 35 составляет приблизительно 0,7071065.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 (ок. 1800–1600 до н.э.) дает приближение √2 в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10, что дает точность примерно до шести десятичных цифр и является ближайшим возможным трехзначным шестидесячным представлением √2:

1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 305470 216000 = 1,41421 296 ¯. {\ displaystyle 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ {3}}} = {\ frac { 305470} {216000}} = 1,41421 {\ overline {296}}.}

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.

Еще одно раннее приближение дается в древнеиндийских математических текстах, Сульбасутрах (ок. 800– 200 г. до н.э.) следующим образом: Увеличьте длину [стороны] на ее третьем, а это третье на свою четвертую часть этой четвертой. То есть

1 + 1 3 + 1 3 × 4 - 1 3 × 4 × 34 = 577 408 = 1,41421 56862745098039 ¯. {\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 \ times 4}} - {\ frac {1} {3 \ times 4 \ times 34}} = {\ frac {577} {408}} = 1,41421 {\ overline {56862745098039}}.}

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.

Это приближение является седьмым в отслеживании все более точных приближений, основанных на данных чисел Пелла, которые могут быть получены из непрерывной дроби разложения √2. Несмотря на меньший знаменатель, оно лишь немного меньше, чем вавилонское приближение.

пифагорейцы представили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или современным языком, квадратный корень из двух частей иррациональным. Мало что известно с уверенностью о времени или обстоятельствами этого открытия, но часто регистрируется имя Гиппаса из Метапонта. Какое-то время пифагорейцы считали официальной тайной открытием, что квадратный корень из двух иррациональным, и согласно легенде, Гиппас был убит за разглашение этого. Квадратный корень из двух иногда называют числом Пифагора или константой Пифагора, например, Conway Guy (1996).

Древнеримская архитектура

В древнеримской энергииуре, Витрувий использование квадратного корня из 2-й прогрессии или техники ad quadratum. Он состоит в основном из геометрического, а не арифметического метода удвоения квадрата, в котором исходный квадрата равен стороне полученного квадрата. Витрувий приписывает идею Платону. Система использовалась для строительства тротуаров путем создания квадрата касательной к углам исходного квадрата под углом 45 градусов от него. Пропорция также использовалась для проектирования атриумов, задаваемой длины, равного диагонали, взятой из квадрата стороны, которой соответствует предполагаемая ширина атриума.

Десятичное значение

Вычислительные алгоритмы

Существует ряд алгоритмов для аппроксимации √2 как отношения целых чисел или как десятичного числа. Самый распространенный алгоритм для этого, который используется в качестве одного из основных алгоритмов вычислений для многих компьютеров и калькулятора, - это вавилонский метод для вычислений квадратных корней, который используется одним из многих методов вычисления квадратных корней. Это выглядит следующим образом:

Сначала выбор предположение, 0>0; предположения только влияет на то, сколько итераций требуется для достижения приближения качества качества. Затем, используя это предположение, следующее рекурсивное вычисление:

a n + 1 = a n + 2 a n 2 = a n 2 + 1 a n. {\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + {\ frac {2} {a_ {n}}}} {2}} = {\ frac {a_ {n}} {2} } + {\ frac {1} {a_ {n}}}.}

a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.

Чем больше итераций выполняется алгоритмом (то есть чем больше вычислений выполняется и чем больше "n"), тем лучше приближение. Каждая итерация примерно удваивает количество правильных цифр. Начиная с 0 = 1, результаты алгоритма следующие:

1(a0)
3/2 = 1 .5 (a 1)
17/12 = 1,41 6... (a 2)
577/408 = 1,41421 5... (a 3)
665857/470832 = 1,41421356237 46... (a 4)

Рациональные приближения

Иногда используется простое рациональное приближение 99/70 (≈ 1,4142 857). Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, он отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (прибл. +0,72 × 10). Так как это сходящееся выражение непрерывной дроби квадратное корня из двух, любое лучшее рациональное приближение имеет знаменатель не меньше чем 169, так как 239/169 (≈ 1.4142012) является следующей сходящейся с ошибкой приблизительно -0,12 × 10.

Рациональное приближение квадратного корня из двух, полученного в результате четырех итераций вавилонского метода после начала с 0 = 1 (665,857 / 470,832) слишком велико примерно на 1,6 × 10; его квадрат составляет ≈ 2,0000000000045.

Записи в вычислениях

В 1997 году значение √2 было вычислено с точностью до 137 438 953 444 десятичных разряда командой Ясумасы Канады. В феврале 2006 года рекорд по вычислению √2 был побит использованием домашнего компьютера. Сигеру Кондо вычислил 1 триллион десятичных знаков в 2010 году. Среди математических констант с вычислительно сложными десятичными разложениями только π было вычислено более точно. Такие вычисления на эмпирической проверке. Эти таблицы последних чисел при вычислении цифр √2.

Дата	Имя	Число цифр
28 июня 2016 года	Рон Уоткинс	10 триллионов
3 апреля 2016 года	Рон Уоткинс	5 триллионов
9 февраля 2012 года	Александр Йи	2 триллиона
22 марта 2010 года	Сигеру Кондо	1 триллион

Доказательства иррациональности

Краткое доказательство иррациональности √2 может быть получено из теоремы о рациональном корне, то есть, если p (x) моническим многочленом с целыми механизмами, то любой рациональный корень из p (x) обязательно является целым числом. Применяя это к многочлену p (x) = x - 2, получаем, что √2 либо целое, либо иррациональное. √2 не является целым числом (2 не является полным квадратом), √2 должно быть иррациональным. Это доказательство можно обобщить, чтобы показать, что любой квадратный корень из любого числа натурального числа, не являющегося квадратом натурального числа, является иррациональным.

Для доказательства того, что квадратный корень из любого неквадратного натурального числа иррациональным, см. квадратичный иррациональный или бесконечный спуск.

Доказательство бесконечным спуском

Одним из доказательств иррациональности числа является следующее доказательство бесконечным спуском. Это доказательство от противоречия, также как косвенное доказательство, в котором доказывается предполагая, что противоположное утверждение истинно, и показывает, что это предположение ложно, тем подразумевая, что предложение должно быть правдой.

Предположим, что √2 - рациональное число, что означает, что существует пара целых чисел, отношение которых равно √2.
Если два целых числа имеют общий множитель, его можно исключить с помощью Евклидов алгоритм.
Тогда √2 может быть записано как неприводимая дробь a / b такая, что a и b являются взаимно простыми целыми числами (не имеющими общего множителя), что в общем означает, что хотя бы одно из a или b должно быть нечетным.
Отсюда следует, что a / b = 2 и a = 2b. ((a / b) = a / b ) (a и b - целые числа)
Следовательно, четное, потому что оно равно 2b. (2b обязательно четное, потому что оно вдвое больше другого целого числа, а числа, кратные 2, четны.)
Отсюда следует, что должно быть четным (поскольку квадраты нечетных целых чисел никогда не бывают четными).
a 9 четное, существует целое число k, которое удовлетворяет: a = 2k.
Подстановка 2k из шага 7 вместо во втором уравнении шага 4: 2b = (2k) эквивалентно 2b = 4k, что эквивалентно b = 2k.
2k делится на два и, следовательно, четно, и потому 2k = b, отсюда следует, что b также четно, что означает, что b четно.
По шагам 5 и 8 оба a и b четны, что считается тем, что a / b неприводимо, как указано на шаге 3.

QED

существует противоречие, предположение (1), что √2 рациональное число должно быть ложным. Это означает, что √2 не рациональное число. То есть √2 иррационально.

На это доказательство намекнул Аристотель в его Аналитика Приора, §I.23. Впервые оно появилось как полное доказательство в Элементах Евклида, как предложение 117 Книги X. Однако с начала 19 века историки соглашались, что это доказательство Интерполяция и не относящаяся к Евклиду.

Доказательство уникальной факторизации

Как и в случае доказательства бесконечным спуском, мы получаем $a 2 = 2 b 2 {\ displaystyle a ^ {2} = 2b ^ {2}}$ $a^{2}=2b^{2}$ . Каждая сторона имеет одинаковое разложение на простые множители согласно основной арифметической теореме, и, в частности, множитель 2 должен встречаться одинаковое количество раз. Однако множитель 2 появляется нечетное количество раз справа, но четное количество раз слева - противоречие.

Геометрическое доказательство

Рис. 1. Геометрическое доказательство иррациональности √2

Стэнли Тенненбаумом Джон Хортон Конвей приписывает простое доказательство Стэнли Тенненбаум, когда последний был студентом в начале 1950-х годов, и его последнее появление в статье Носона Янофски в выпуске журнала American Scientist за май - июнь 2016 года. Два квадрата с целыми сторонами соответственно a и b, один из которых имеет удвоенную площадь другого, поместите две копии большего квадрата в больший, как показано на рисунке 1. Площадь перекрытия квадрата в середине ((2b - a)) должен равняться сумме двух непокрытых квадратов (2 (а - б)). Однако эти квадраты на диагонали имеют положительные целые стороны, которые меньше исходных квадратов. При повторении этого процесса появляются положительные числа, превышающие другие, но у обоих есть положительные целые стороны, что невозможно, поскольку положительные числа не могут быть меньше 1.

Рис. 2. Геометрическое доказательство иррациональности теории Тома Апостола. √2

Другой геометрический аргумент reductio ad absurdum, показывающий, что √2 иррационально, появился в 2000 г. в Американский математический ежемесячник. Это также пример доказательства с помощью бесконечного спуска. Он использует классическую конструкцию циркуля и систему, доказывая теорему методом, аналогичным тому, который применяется древнегреческими геометриями. По сути, это алгебраическое доказательство предыдущего раздела, рассматриваемое с геометрической точки зрения еще и с другой стороны.

Пусть △ ABC - прямоугольный равнобедренный треугольник длиной гипотенузы m и катетами n, как показано на рисунке 2. По теореме Пифагора m / n = √2. Предположим, что m и n - целые числа. Пусть m: n будет отношением, заданным в его младших членах.

. Нарисуйте дуги BD и CE с центром A. Соедините DE. Следовательно, AB = AD, AC = AE и BAC и ∠DAE совпадают. Следовательно, треугольники ABC и ADE конгруэнтны по SAS.

Буква ∠EBF - прямой угол, а ∠BEF - половина прямого угла, △ BEF также является прямым равнобедренным треугольником. Следовательно, BE = m - n влечет BF = m - n. По симметрии DF = m - n, и △ FDC также является правильным равнобедренным треугольником. Отсюда также следует, что FC = n - (m - n) = 2n - m.

Следовательно, существует еще меньший прямоугольный равнобедренный треугольник длиной гипотенузы 2n - m и катетами m - n. Эти значения являются целыми числами, даже меньшими, чем m и n, и находятся в том же использовании, что противоречит гипотезе о том, что m: n имеет наименьшее значение.Следовательно, m и n не могут быть одновременно целыми числами, следовательно, √2 иррационально.

Конструктивное доказательство

В конструктивном подходе проводится различие между, с одной стороны, нерациональностью, с другой стороны, иррациональностью (т. Е. Количественно отделенными от каждого рационального), последним быть более сильной собственностью. Даны положительные целые числа a и b, поскольку оценка (т. Е. Наибольшая степень двойки при делении числа) 2b нечетная, тогда как оценка четная, они должны быть разными целыми числами; таким образом | 2б - а | ≥ 1. Тогда

| 2 - а б | = | 2 б 2 - а 2 | б 2 (2 + ab) ≥ 1 b 2 (2 + ab) ≥ 1 3 b 2, {\ displaystyle \ left | {\ sqrt {2}} - {\ frac {a} {b}} \ right | = {\ frac {| 2b ^ {2} -a ^ {2} |} {b ^ {2} \ left ({\ sqrt {2}} + {\ frac {a} {b}} \ right)}} \ geq {\ frac {1} {b ^ {2} \ left ({\ sqrt {2}} + {\ frac {a} {b}} \ right)}} \ geq {\ frac {1} {3b ^ {2}} },}

\left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},

последнее неравенство верно, поскольку положение a / b ≤ 3 - √2 (иначе количественное разделение может быть установлено тривиально). Это дает нижнюю границу в 1 / 3b для разности | √2 - a / b |, что дает прямое доказательство иррациональности, не полагаясь на законного среднего ; см. Эрретт Бишоп (1985, стр. 18). Это доказательно демонстрирует расхождение между √2 и подходящим рациональным.

Доказательство диофантовыми уравнениями

Лемма: для уравнения диофантова $x 2 + y 2 = z 2 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ в своей примитивной (простейшей) форме целочисленные решения существуют тогда и только тогда, когда либо $x {\ displaystyle x}$ $x$ , либо $y { \ displaystyle y}$ $y$ нечетно, но никогда, если оба $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ нечетные.

Доказательство: для данного уравнения существует только шесть комбинаций для целочисленных значений $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ , которые целочисленное значение для $z {\ displaystyle z}$ $z$ . Простое перечисление всех шести возможностей показывает, почему четыре из этих шести невозможны. Одна из двух имеющихся возможностей может быть предоставлена, что одна не содержит никаких решений, используя модульную арифметику, оставляя единственную оставшуюся возможность как единственную, содержит решения, если таковые имеются.

x, y	z
Оба четных	Четных	Невозможно. Принцип диофантово уравнение является примитивным и поэтому не содержит общих множителей.
Оба нечетные	Нечетные	Невозможно. Сумма двух нечетных чисел не дает нечетного числа.
Оба четных	Нечетных	Невозможно. Сумма двух четных чисел не дает нечетного числа.
Один четный, другой нечетный	Четный	Невозможно. Сумма четного и нечетного числа не дает четного числа.
Оба нечетные	Четкие	Возможные
Один четные, другие нечетные	Нечетные	Возможные

Пятая возможность (оба $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ нечетный и $z {\ displaystyle z}$ $z$ четный) могут быть показаны, что не содержит решений следующим образом.

$z {\ displaystyle z}$ $z$ четное, $z 2 {\ displaystyle z ^ {2}}$ $z^2$ должно делиться на $4 {\ displaystyle 4}$ $4$ , следовательно,

x 2 + y 2 ≡ 0 mod 4 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ Equiv 0 \ mod 4}

x^{2}+y^{2}\equiv 0\mod 4

Квадрат любого нечетного числа всегда равен $≡ 1 mod 4 {\ displaystyle \ Equiv 1 {\ bmod {4}}}$ $\equiv 1{\bmod {4}}$ . Квадрат любого четного числа всегда равен $≡ 0 mod 4 {\ displaystyle \ Equiv 0 {\ bmod {4}}}$ $\equiv 0{\bmod {4}}$ . Поскольку и $x {\ displaystyle x}$ $x$ , и $y {\ displaystyle y}$ $y$ нечетные и $z {\ displaystyle z}$ $z$ является четным:

1 + 1 ≡ 0 mod 4 {\ displaystyle 1 + 1 \ Equiv 0 \ mod 4}

1+1\equiv 0\mod 4

2 ≡ 0 mod 4 {\ displaystyle 2 \ Equiv 0 \ mod 4}

2\equiv 0\mod 4

который невозможно. Таким образом, пятая возможность также исключается, а шестая остается единственно возможной комбинацией, содержащей решения, если таковые имеются.

Расширением этой леммы является результат того, что два идентичных квадрата целых чисел никогда не могут быть добавлены для получения другого квадрата целых чисел, даже если уравнение не в его простейшей форме.

Теорема: $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\sqrt {2}}$ иррационально.

Доказательство: предположим, что $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\sqrt {2}}$ рационально. Следовательно,

2 = ab {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {a \ over b}}

{\sqrt {2}}={a \over b}

, где

a, b ∈ Z {\ displaystyle a, b \ in \ mathrm {Z }}

a,b\in \mathrm {Z}

Возводя обе стороны в квадрат,

2 = a 2 b 2 {\ displaystyle 2 = {a ^ {2} \ over b ^ {2}}}

2={a^{2} \over b^{2}}

2 b 2 = a 2 {\ displaystyle 2b ^ {2} = a ^ {2}}

2b^{2}=a^{2}

b 2 + b 2 = a 2 {\ displaystyle b ^ {2} + b ^ {2} = a ^ {2}}

b^{2}+b^{2}=a^{2}

Но лемма доказывает, что сумма двух одинаковых{i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}<41><42>{\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}<42><43>{\displaystyle a^{2}=2b^{2}}<43><44>{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }<44><45>{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}<45><46>{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}<46><47>x^{2}+y^{2}=z^{2}<47>html