Несократимая дробь

редактировать

Полностью упрощенная дробь

Несократимая дробь (или дробь в младших членах, простейшая форма или сокращенная дробь ) - это дробь, в которой числитель и знаменатель являются целые числа, у которых нет других общих делителей, кроме 1 (и -1, если рассматриваются отрицательные числа). Другими словами, дробь ⁄ b неприводима тогда и только тогда, когда a и b являются взаимно простыми, то есть если a и b имеют наибольший общий делитель из 1. В высшей математике «несократимая дробь » может также относиться к рациональным дробям, таким образом, что числитель и знаменатель являются взаимно простыми полиномами. Каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде неразложимой дроби точно одним способом.

Иногда полезно эквивалентное определение: если a, b - целые числа, то дробь ⁄ b неприводимо тогда и только тогда, когда нет другой равной дроби ⁄ d такой, что | c | < |a| or |d| < |b|, where |a| means the абсолютное значение a. (Две дроби ⁄ b и ⁄ d равны или эквивалентны тогда и только тогда, когда ad = bc.)

Например, ⁄ 4, ⁄ 6 и ⁄ 100 - все неприводимые дроби. С другой стороны, ⁄ 4 можно уменьшить, поскольку оно равно по значению ⁄ 2, а числитель ⁄ 2 меньше числителя ⁄ 4.

Сокращаемую дробь можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на общий множитель. Его можно полностью свести к наименьшим членам, если оба разделить на их наибольший общий делитель. Чтобы найти наибольший общий делитель, можно использовать алгоритм Евклида или разложение на простые множители. Обычно предпочтение отдается алгоритму Евклида, поскольку он позволяет сокращать дроби со слишком большими числителями и знаменателями, которые не могут быть легко разложены на множители.

Содержание

1 Примеры
2 Уникальность
3 Приложения
4 Обобщение
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Примеры

120 90 = 12 9 = 4 3. {\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {12} {9}} = {\ frac {4} {3}} \,.}

{\ frac {120} {90}} = {\ frac {12} {9}} = {\ frac {4} {3}} \,.

На первом этапе оба числа были разделены на 10, что является общим множителем как для 120, так и для 90. На втором этапе они были разделены на 3. Конечный результат, / 3, является несократимой дробью, поскольку 4 и 3 не имеют общих множителей. кроме 1.

Исходная дробь также могла быть уменьшена за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30 (то есть НОД (90,120) = 30). Поскольку 120/30 = 4 и 90/30 = 3, получается

120 90 = 4 3. {\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {4} {3}}.}

{ \ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {4} {3}}.}

Какой метод «вручную» быстрее, зависит от дроби и легкости, с которой обнаруживаются общие множители. В случае, если знаменатель и числитель остаются слишком большими, чтобы убедиться, что они взаимно просты при проверке, в любом случае необходимо вычисление наибольшего общего делителя, чтобы гарантировать, что дробь действительно несократима.

Уникальность

Каждое рациональное число имеет уникальное представление в виде несократимой дроби с положительным знаменателем (однако $2 3 = - 2 - 3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} { 3}} = {\ tfrac {-2} {- 3}}}$ ${\ tfrac {2} {3}} = {\ tfrac {-2} {- 3}}$ хотя оба неприводимы). Уникальность является следствием уникального разложения на простые множители целых чисел, поскольку $ab = cd {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {c} {d}}}$ ${\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {c} {d}}$ подразумевает ad = bc, поэтому обе стороны последнего должны иметь одинаковое разложение на простые множители, но $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ не имеет общих делителей, поэтому набор простых множителей $a {\ displaystyle a}$ $a$ (с кратностью) является подмножеством таковых $c {\ displaystyle c }$ $c$ и наоборот, что означает $a = c {\ displaystyle a = c}$ $a=c$ и $b = d {\ displaystyle b = d}$ $b = d$ .

Applications

Тот факт, что любое рациональное число имеет уникальное представление в виде несократимой дроби, используется в различных доказательствах иррациональности квадратного корня из 2 и других иррациональных чисел. Например, в одном доказательстве отмечается, что если бы квадратный корень из 2 можно было представить как отношение целых чисел, то он имел бы, в частности, полностью сокращенное представление $ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$ ${\ tfrac {a} {b}}$ где a и b - минимально возможные; но учитывая, что $ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$ ${\ tfrac {a} {b}}$ равно квадратному корню из 2, то же самое делает $2 b - aa - b {\ displaystyle {\ tfrac {2b-a} {ab}}}$ ${\ tfrac {2b-a} {ab}}$ (поскольку перекрестное умножение этого на $ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$ ${\ tfrac {a} {b}}$ показывает, что они равны). Поскольку последнее является отношением меньших целых чисел, это противоречие, поэтому предположение о том, что квадратный корень из двух имеет представление как отношение двух целых чисел, неверно.

Обобщение

Понятие неприводимой дроби обобщается на поле дробей любой уникальной области факторизации : любой элемент такого поля может быть записывается в виде дроби, в которой знаменатель и числитель взаимно просты, путем деления обоих на их наибольший общий делитель. В особенности это относится к рациональным выражениям над полем. Неприводимая дробь для данного элемента уникальна с точностью до умножения знаменателя и числителя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число имеет две неприводимые дроби, связанные изменением знака числителя и знаменателя; эту двусмысленность можно устранить, потребовав, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций знаменатель может аналогичным образом быть моническим многочленом.

См. Также

Аномальное сокращение, ошибочная арифметическая процедура, которая дает правильную несократимую дробь путем удаления цифр исходной нередуцированная форма
Диофантово приближение, приближение действительных чисел рациональными числами.

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Приведенная дробь». MathWorld.