Многочлен

В математике суммы произведений чисел, степени и коэффициентов график полиномиальная функция степени 3

В математике полином - это выражение, состоящее из чисел (также называемых неопределенными ) и коэффициентов, что включает только операции сложения, вычитания, умножения и неотрицательного целое число возведение в степень число. Примером полинома от одного неопределенного x является x - 4x + 7. Пример трех чисел: x + 2xyz - yz + 1.

Многочлены во многих областях математики и науки. Например, они используются для формирования полиномиальных кодов, которые обеспечивают широкий круг задач, от элементарных текстовых задач до сложных научных задач; они используются для определения полиномиальных функций, появляются в различных настройках: от физики и физики до экономики и социальных наук. ; они используются в исчислении и численном анализе для аппроксимации других функций. В высшей математике полиномы используются для построения колец многочленов и алгебраических многообразий, которые являются центральными понятиями в алгебре и алгебраической геометрии.

Содержание

• 1 Этимология
• 2 Обозначения и терминология
• 3 Определение
• 4 Классификация
• 5 Арифметика
  • 5.1 Сложение
  • 5.2 Умножение
  • 5.3 Состав
  • 5.4 Деление
  • 5.5 Факторинг
  • 5.6 Исчисление
• 6 Полиномиальные функции
  • 6.1 Графики
• 7 Уравнения
  • 7.1 Решение уравнений
• 8 Обобщения
  • 8.1 Тригонометрические полиномы
  • 8.2 Матричные полиномы
  • 8.3 Лоран многочлены
  • 8.4 Рациональные функции
  • 8.5 Степенный ряд
  • 8.6 Другие примеры
• 9 Приложения
  • 9.1 Абстрактная алгебра
    • 9.1.1 Делимость
  • 9.2 Позиционная нотация
  • 9.3 Интерполяция и приближение
  • 9.4 Другие приложения
• 10 История
  • 10.1 История записи
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Этимология

Слово pol ynomial объединяет два различных корня : греческое poly, означающее «многие», и латинское имя или имя. Он был образован от термина бином путем замены латинского корня би- на греческий поли-. Слово полином впервые было использовано в 17 веке.

Обозначения и терминология

Символ x, встречающийся в полиноме, обычно называется или неопределенным. Когда многочлен рассматривается как выражение, x является фиксированным символом, не имеющим никакого значения (его значение «неопределенное»). Однако, если функция функция , определенная полиномом, тогда x представляет аргумент функции и поэтому называется «переменной». Многие авторы используют эти два слова как синонимы.

Обычно используются прописные буквы для неопределенных и соответствующие строчные буквы для числа (или аргументов) функции функции.

Многочлен P от неопределенного x обычно обозначается либо как P или как P (x). Формально имя полинома - P, а не P (x), но использование функциональной записи P (x) восходит к тому времени, когда различие между многочленом и его функцией было неясным. Более того, функциональная нотация часто бывает полезна для определения одной фразе полинома и его неопределенности. Например, «пусть P (x) - многочлен» - это сокращение от «пусть P - многочлен от неопределенного x». С другой стороны, когда нет необходимости подчеркивать неопределенного, многих формулы проще и легче читать, если (-я) неопределенного (-ых) не появляется при каждом вхождении полинома.

Неоднозначность наличия двух обозначений для одного математического объекта может быть формально разрешена рассмотрение путем функциональной записи для многочленов. Если a обозначает число, переменную, другой многочлен или, в более общем смысле, любое выражение, то P (a) по соглашению обозначает результат замены x в P. Таким образом, многочлен P определяет функцию

$a\; \mapsto \; P\; (a),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mapsto\; P\; (a),\}$

, которая является полиномиальной функцией, основанной на P. Часто при использовании нотации, что a - это число. Однако его можно использовать в любом домене, где есть любое кольцо ). В частности, если a - многочлен, то P (a) также является многочленом.

Более конкретно, когда a является неопределенным x, тогда изображение x с помощью этой функции является самим многочленом P (замена x на x ничего не меняет). Другими словами,

$P\; (x)\; =\; P,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x)\; =\; P,\}$

что формально оправдывает существование двух обозначений для одного и того же многочлена.

Определение

Многочлен - это выражение, которое может быть построено из констант и символов, называемых переменными или неопределенными, посредством сложения, умножение и возведение в степень до неотрицательной целой степени. Два таких выражения, которые можно преобразовать одно в другое, применяя обычные свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности сложения и умножения, считающий тот же многочлен.

Многочлен от одного неопределенного x всегда может быть записан (или переписан) в форме

$asn\; +\; an\; -\; 1\; xn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; dotsb\; +\; a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{0\},\}$

где $a\; 0,\dots ,\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$- константы, а $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- неопределенное. Слово «неопределенный» означает, что $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не представляет никакого конкретного значения, хотя его можно заменить значением. Отображение, которое связывает результат этой подстановки с подставляемым значением, - это функция , называемая полиномиальной функцией.

Это можно выразить более кратко, используя нотацию суммирования :

$\sum \; k\; =\; 0\; nakxk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{k\}\; x\; ^\; \{k\}\; \}$

То есть многочлен может быть равен нулю или может быть записан как сумма конечного числа ненулевых членов. Каждый член состоит из произведения числа, называемого коэффициентом члена, и конечного числа неопределенных значений, возведенных в целые неотрицательные степени.

Классификация

Степень неопределенности в члене называется степенью неопределенности в этом члене; степень члена - это сумма степеней неопределенностей в этом члене, степень полинома - это самая большая степень члена любого с ненулевым коэффициентом. Барселона x = x, степень неопределенности без записанной экспоненты равна единице.

Термин без неопределенностей и многочлен без неопределенностей называются, соответственно, постоянным членом и постоянным многочленом . Степень постоянного члена и ненулевого постоянного многочлена равна 0. Степень нулевого члена многочлена 0 (который вообще не имеет членов) обычно считается неопределенной (но см. Ниже).

Например,:

$-\; 5\; x\; 2\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; -5x\; ^\; \{2\}\; y\}$

- термин. Коэффициент равенства −5, неопределенными являются x и y, степень x равна двум, степень y равна единице. Степень всего члена - это сумма степеней каждого неопределенного в нем, поэтому в этом примере степень равна 2 + 1 = 3.

Формирование суммы нескольких членов дает многочлен. Например, следующий многочлен:

$3\; x\; 2\; ⏟\; член\; 1\; -\; 5\; x\; ⏟\; член\; 2\; +\; 4\; ⏟\; член\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; underbrace\; \{\_\; \{\backslash ,\}\; 3x\; ^\; \{2\}\}\; \_\; \{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{term\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; underbrace\; \{-\_\; \{\backslash ,\}\; 5x\}\; \_\; \{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{term\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; underbrace\; \{+\; \_\; \{\backslash ,\}\; 4\}\; \_\; \{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{term\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}.\}$

Он состоит из трех членов : первая - вторая степень, вторая - первой степени, а третья - нулевой.

Многочленам малой степени даны авторитеты. Многочлен нулевой степени - это постоянный многочлен или просто константа. Полиномы первой, второй или третьей степени соответственно линейными многочленами, квадратичными многочленами и кубическими многочленами. Для более высоких степеней вероятности используются, хотя иногда используются полином четвертой степени (для степени четыре степени) и полином пятой степени. Имена степеней могут к многочлену или его члену. Например, член 2x в x + 2x + 1 является линейным членом квадратичного многочлена.

Многочлен 0, может считаться вообще не имеющим которого членов, называется нулевым многочленом . В отличие от других постоянных многочленов, его степень не равна нулю. Скорее, степень нулевого полинома либо явно не определена слева, либо как отрицательная (либо -1, либо -∞). Нулевой многочлен также уникален тем, что это единственный многочлен от одного неопределенного, который имеет бесконечное число корней. График нулевого многочлена f (x) = 0 - это ось x.

В случае многочленов от более чем одного неопределенного, многочлен называется однородным степенью n, если все его ненулевые члены имеют степень n. Нулевой многочлен однороден, его степень как однородного многочлена не определена. Например, xy + 7xy - 3x однородной степени 5. Для стабильной см. Однородный многочлен.

. Перестановочный закон сложения можно использовать для перестановки в любом предпочтительном порядке. В многочленах с одним неопределенным членом обычно упорядочиваются по степени, либо в «убывающих степенях x», ​​где сначала член наивысшей степени, либо в «возрастающих степенях x». Многочлен в приведенном выше примере приведан в убывающей степени x. Первый член имеет коэффициент 3, неопределенный x и показатель степени 2. Во втором члене коэффициент равен −5. Третий член - постоянный. Наибольшая степенью степению любого члена является ненулевого многочлена.

Два члена с одинаковыми неопределенными, возведенными в одинаковые степени, называются «похожими членами» или «подобными. термины ", и они могут быть объединены с использованием закона распределения в одном члене, коэффициент которого является суммой коэффициентов элементов, которые были объединены. ненулевыми коэффициентами, так что одночленный многочлен называется одночленом, двухчленный многочлен называется бином, а трехчленный полином называется трехчленом.

A действительный многочлен

A используется для обозначения четырехчленного многочленом. 293>- это многочлен с действующими коэффициентами. Когда он используется для определения функций , домен не имеет таких ограничений. Однако вещественная полиномиальная функция Аналогично, целочисленный многочлен - это многочлен с целочисленными коэффициентами, а комплексный многочлен - это многочлен с комплексными коэффициентами.

Многочлен от одного неопределенного называется одномерный многочлен, многочлен от более чем одного неопределенного называется многомерный многочлен . Многочлен с двумя неопределенными называется двумерным многочленом . Эти понятия относятся к типу многочленов, чем обычно; например, при работе с одномерными многочленами не исключаются постоянные многочлены (которые могут быть результатом вычитания непостоянных многочленов), хотя, строго говоря, постоянные многочлены вообще не содержат неопределенных. Можно широко классифицировать многомерные многочлены как двумерные, трехвариантные и т. Д. В соответствии с максимально допустимым числом неопределенных. Опять же, чтобы рассматриваемые объекты были замкнутым при вычитании, изучение тривиальных многочленов обычно допускает двумерные многочлены и так далее. Также принято говорить просто «многочлены от x, y и z», перечисляя разрешенные неопределенности.

Оценка полинома состоит из подстановки числового значения на каждое неопределенное значение и выполнения указанных умножений и сложений. Для многочленов от одной неопределенности обычно более эффективна (меньшее арифметических операций для выполнения) с использованием метода Хорнера :

$((((((тревога\; +\; an\; -\; 1)\; x\; +\; an\; -\; 2)\; x\; +\; \cdots \; +\; а\; 3)\; х\; +\; а\; 2)\; х\; +\; а\; 1)\; х\; +\; а\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; ((((a\_\; \{n\}\; x\; +\; a\_\; \{n-1\})\; x\; +\; a\_\; \{n-2\})\; x\; +\; \backslash \; dotsb\; +\; a\_\; \{3\})\; x\; +\; a\_\; \{2\})\; x\; +\; a\_\; \{1\})\; x\; +\; a\_\; \{0\}.\}$

Арифметика

Сложение

Многочлены могут быть добавлены с Использование ассоциативного закона сложения (объединяя все члены вместе в единую сумму), возможным последующим переупорядочиванием (с использованием закона коммутативности ) и объединением подобных терминов. Например, если

$P\; =\; 3\; x\; 2\; -\; 2\; x\; +\; 5\; xy\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; 3x\; ^\; \{2\}\; -2x\; +\; 5xy-2\}$и $Q\; =\; -\; 3\; x\; 2\; +\; 3\; x\; +\; 4\; y\; 2\; +\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; -3x\; ^\; \{2\}\; +\; 3x\; +\; 4y\; ^\; \{2\}\; +8\}$

, тогда сумма

$P\; +\; Q\; =\; 3\; x\; 2\; -\; 2\; x\; +\; 5\; xy\; -\; 2\; -\; 3\; x\; 2\; +\; 3\; x\; +\; 4\; y\; 2\; +\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; +\; Q\; =\; 3x\; ^\; \{2\}\; -2x\; +\; 5xy-2-3x\; ^\; \{2\}\; +\; 3x\; +\; 4y\; ^\; \{\; 2\}\; +8\}$

можно переупорядочить и перегруппировать как

$P\; +\; Q\; =\; (3\; x\; 2\; -\; 3\; x\; 2)\; +\; (-\; 2\; x\; +\; 3\; x)\; +\; 5\; xy\; +\; 4\; y\; 2\; +\; (8\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; +\; Q\; =\; (3x\; ^\; \{2\}\; -3x\; ^\; \{2\})\; +\; (-\; 2x\; +\; 3x)\; +\; 5xy\; +\; 4y\; ^\; \{2\}\; +\; (8-2)\}$

, а затем упрощается до

$P\; +\; Q\; =\; x\; +\; 5\; xy\; +\; 4\; y\; 2\; +\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; +\; Q\; =\; x\; +\; 5xy\; +\; 4y\; ^\; \{2\}\; +6.\}$

Когда многочлены складываются вместе, Результатом является другой многочлен.

Умножение

Многочлены также можно умножать. Чтобы разложить количество двух полиномов в количестве, многократно распределено, в результате чего каждый член одного полинома умножается на каждый член другого. Например, если

$P\; =\; 2\; x\; +\; 3\; y\; +\; 5\; Q\; =\; 2\; x\; +\; 5\; y\; +\; xy\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; color\; \{Red\}\; P\; \backslash \; color\; \{Red\}\; \{=\; 2x\; +\; 3y\; +\; 5\}\; \backslash \backslash \backslash \; color\; \{Blue\}\; Q\; \backslash \; color\; \{Blue\}\; \{=\; 2x\; +\; 5y\; +\; xy\; +\; 1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

,

$PQ\; =\; (2\; x\; \cdot \; 2\; x)\; +\; (2\; x\; \cdot \; 5\; y)\; +\; (2\; x\; \cdot \; xy)\; +\; (2\; x\; \cdot \; 1)\; +\; (3\; y\; \cdot \; 2\; x)\; +\; (3\; y\; \cdot \; 5\; y)\; +\; (3\; y\; \cdot \; xy)\; +\; (\; 3\; y\; \cdot \; 1)\; +\; (5\; \cdot \; 2\; x)\; +\; (5\; \cdot \; 5\; y)\; +\; (5\; \cdot \; xy)\; +\; (5\; \cdot \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rccrcrcrcr\}\; \{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{\; P\}\}\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{Q\}\}\; \{=\}\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{2x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{2x\}\})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{\; Красный\}\; \{2x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{5y\}\})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{2x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{xy\}\})\; +\; (\; \{\backslash \; цвет\; \{Красный\}\; \{2x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Синий\}\; \{1\}\})\; \backslash \backslash \; +\; (\{\backslash \; color\; \{Красный\}\; \{3y\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Синий\}\; \{2x\}\; \})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{3y\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{5y\}\})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{3y\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Синий\; \}\; \{xy\}\})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{3y\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{1\}\})\; \backslash \backslash \; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; col\; или\; \{Синий\}\; \{2x\}\})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{5y\}\})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Синий\}\; \{xy\}\})\; +\; (\{\backslash \; color\; \{Red\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{1\}\})\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Выполнение умножения в каждом члене дает

$PQ\; =\; 4\; x\; 2\; +\; 10\; xy\; +\; 2\; x\; 2\; y\; +\; 2\; x\; +\; 6\; xy\; +\; 15\; y\; 2\; +\; 3\; xy\; 2\; +\; 3\; y\; +\; 10\; x\; +\; 25\; y\; +\; 5\; xy\; +\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rccrcrcrcr\}\; PQ\; =\; 4x\; ^\; \{2\}\; +\; 10xy\; +\; 2x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; 2x\; \backslash \backslash \; +\; 6xy\; +\; 15y\; ^\; \{2\}\; +\; 3xy\; ^\; \{2\}\; +\; 3y\; \backslash \backslash \; +\; 10x\; +\; 25y\; +\; 5xy\; +\; 5.\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Объединение похожих членов дает

$PQ\; =\; 4\; x\; 2\; +\; (10\; xy\; +\; 6\; xy\; +\; 5\; xy)\; +\; 2\; x\; 2\; y\; +\; (2\; x\; +\; 10\; x)\; +\; 15\; y\; 2\; +\; 3\; ху\; 2\; +\; (3\; y\; +\; 25\; y)\; +\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rcccrcrcrcr\}\; PQ\; =\; 4x\; ^\; \{2\}\; +\; (10xy\; +\; 6xy\; +\; 5xy)\; +\; 2x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; (2x\; +\; 10x)\; \backslash \backslash \; +\; 15y\; ^\; \{2\}\; +\; 3xy\; ^\; \{2\}\; +\; (3y\; +\; 25y)\; +\; 5\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

, которое можно упростить до

$PQ\; =\; 4\; x\; 2\; +\; 21\; ху\; +\; 2\; х\; 2\; у\; +\; 12\; х\; +\; 15\; у\; 2\; +\; 3\; ху\; 2\; +\; 28\; y\; +\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; PQ\; =\; 4x\; ^\; \{2\}\; +\; 21xy\; +\; 2x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; 12x\; +\; 15y\; ^\; \{2\}\; +\; 3xy\; ^\; \{2\}\; +\; 28y\; +\; 5.\}$

Как и в пример, произведение многочленов всегда является многочленом.

Состав

Дан многочлен $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$из одной переменная и другой многочлен g от любого количества числа, композиция $f\; \circ \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; g\}$получается заменой каждой копии первого многочлена на второй многочлен. Например, если $f\; (x)\; =\; x\; 2\; +\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 2x\}$и $g\; (x)\; =\; 3\; x\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; 3x\; +\; 2\}$, тогда

$f\; \circ \; g\; =\; f\; (g\; (x))\; =\; (3\; x\; +\; 2)\; 2\; +\; 2\; (3\; x\; +\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; g\; =\; f\; (g\; (x))\; =\; (3x\; +\; 2)\; ^\; \{2\}\; +2\; (3x\; +\; 2).\}$Композиция может быть расширена до суммы терминов, используя правила для умножения и деления многочленов. Композиция двух многочленов всегда является другим многочленом.

Деление

Деление одного многочлена на другой обычно не многочленом. Вместо этого такие отношения представляют собой более общее семейство объектов, называемых рациональными дробями, рациональными выражениями или рациональными функциями, в зависимости от контекста. Это аналогично тому факту, что отношение двух целых чисел является рациональным числом, не обязательно целым числом. Например, дробь 1 / (x + 1) не является многочленом, и ее нельзя записать как конечную сумму степеней переменной x.

Для многочленов от одной общей сущности евклидова деления многочленов, обобщающее евклидово деление целых чисел. Это понятие деления a (x) / b (x) приводит к двум полиномам, частному q (x) и остатку r (x), таким образом, что a = bq + r и степень (r) <степень (b). Частное и остаток могут быть вычислены с помощью любого из нескольких алгоритмов, включая полиномиальное деление в длину и синтетическое деление.

. Когда знаменатель b (x) является линейным и линейным, то есть b (x) = x - c для некоторой константы c, то теорема о полиномиальном остатке утверждает, что остаток от деления a (x) на b ( x) является оценкой f (c). В этом случае частное может быть вычислено по правилу Руффини, частному случаю синтетического деления.

Факторинг

Все полиномы с коэффициентами в уникальной факторизации домена (например, целые числа или поле ) также имеет факторизованную формулу, в которой многочлен записывается как произведение неприводимых многочленов и константы. Эта факторизованная форма уникальна до порядка множителей и их умножения на обратимую константу. В случае поля комплексных чисел неприводимые множители линейны. Над действительными числами они имеют степень один или два. Над целыми числами и рациональными числами неприводимые множители могут иметь любую степень. Например, факторизованная форма

$5\; x\; 3-5\; \{\backslash \; displaystyle\; 5x\; ^\; \{3\}\; -5\}$

равна

$5\; (x\; -\; 1)\; (x\; 2\; +\; x\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; (x-1)\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 1\; \backslash \; right)\}$

над целыми и действительными числами и

$5\; (x\; -\; 1)\; (x\; +\; 1\; +\; i\; 3\; 2)\; (Икс\; +\; 1\; -\; я\; 3\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; 5\; (х-1)\; \backslash \; влево\; (х\; +\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\; +\; я\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; влево\; (х\; +\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1-i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$

по комплексным числам.

Вычисление факторизованной формы, называемое факторизацией, как правило, слишком сложно выполнить с помощью рукописных вычислений. Однако эффективные алгоритмы факторизации полиномов доступны в большинстве систем компьютерной алгебры.

Исчисление

Вычисление производных и интегралов от многочленов особенно прост по сравнению с другими видами функций. производная многочлена $P\; =\; тревога\; +\; an\; -\; 1\; xn\; -\; 1\; +\dots \; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 0\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; naixi\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}\}$по отношению к x является полиномом

$nanxn\; -\; 1\; +\; (n\; -\; 1)\; an\; -\; 1\; xn\; -\; 2\; +\dots \; +\; 2\; a\; 2\; x\; +\; a\; 1\; знак\; равно\; \sum \; i\; =\; 1\; nai\; \cdot \; i\; \cdot \; xi\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; na\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; (n-1)\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n-2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; 2a\_\; \{2\}\; x\; +\; a\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; i\; \backslash cdot\; x\; ^\; \{i-1\}.\}$Аналогично, общая первообразная (или неопределенный интеграл) $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$равно $беспокойство\; +\; 1\; n\; +\; 1\; +\; an\; -\; 1\; xnn\; +\dots \; +\; a\; 2\; x\; 3\; 3\; +\; a\; 1\; x\; 2\; 2\; +\; a\; 0\; x\; +\; c\; =\; c\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; naixi\; +\; 1\; я\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; a\_\; \{0\}\; x\; +\; c\; =\; c\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\; +\; 1\}\}\; \{i\; +\; 1\}\}\}$где c - произвольная константа. Например, первообразные x + 1 имеют вид 1 / 3x + x + c.

Для полиномов, коэффициенты, полученные из более абстрактных настроек (например, если коэффициенты используются целыми числами по модулю некоторого простого числа p или элементы произвольного кольца), формула для производная все еще может интерпретироваться формально, с коэффициентом ka k, понимаемым как означающее количество k копий a k. Например, по целым числам по модулю p производная полинома x + x является полиномом 1.

Полиномиальные функции

Полиномиальная функция - это функция, которая может быть определена с помощью вычисление полинома. Точнее, функция одного аргумента из данной области является полиномиальной функцией, если существует полином

$asn\; +\; an\; -\; 1\; xn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{0\}\}$

, который оценивается как $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$для всех x в домене f (здесь n - неотрицательное целое число и a 0, a 1, a 2,..., a n являются постоянными коэффициентами). Обычно, если не указано, полиномиальные функции имеют комплексные коэффициенты, аргументы и значения. В частности, многочлен, ограниченный действующими коэффициентами, функция функции от комплексных чисел до комплексных чисел. Если домен этой функции также ограничен действительными числами, результирующая функция будет функция, которая отображает действительные числа в действительные числа.

Например, функция f, определенная как

$f\; (x)\; =\; x\; 3\; -\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{3\}\; -x,\}$

является полиномиальная функция одной вариант. Аналогичным образом определяются полиномиальные функции от нескольких неопределенных, как в

$f\; (x,\; y)\; =\; 2\; x\; 3\; +\; 4\; x\; 2\; y\; +\; xy\; 5\; +\; y\; 2-7.\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; 2x\; ^\; \{3\}\; +\; 4x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; xy\; ^\; \{5\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -7.\}$

Согласно определению полиномиальных функций, могут быть выражения, которые очевидно, не являются полиномами, но тем не менее определяют полиномиальные функции. Примером может служить выражение $(1\; -\; x\; 2)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\}$который принимает те же значения, что и многочлен $1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$в интервале $[-\; 1,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-1,\; 1]\}$, и таким образом оба выражения определяют одну и ту же полиномиальную функцию на этом интервале.

Каждая полиномиальная функция непрерывная, гладкая и целая.

Графики

• 

  Полином степени 0:. f (x) = 2

• 

  Многочлен степени 1:. f (x) = 2x + 1

• 

  Многочлен степени 2:. f (x) = x - x - 2. = (x + 1) (x - 2)

• 

  Многочлен степени 3:. f (x) = x / 4 + 3x / 4 - 3x / 2 - 2. = 1/4 (x + 4) (x + 1) (x - 2)

• 

  Полином четвертой степени:. f (x) = 1/14 (x + 4) (x + 1) (x - 1) ( x - 3). + 0,5

• 

  Многочлен степени 5:. f (x) = 1/20 (x + 4) (x + 2) (x + 1) (x - 1). (x - 3) + 2

• 

  Полином шестой степени:. f (x) = 1/100 (x - 2x - 26x + 28x. + 145x - 26x - 80)

• 

  Полином степени 7:. f (x) = (x - 3) (x - 2) (x - 1) (x) (x + 1) (x + 2). (x + 3)

Полиномиальная функция от одной действующей переменной может быть представлена ​​графиком .

• График нулевого многочлена

f (x) = 0

- ось x.

• График полинома степени 0

f (x) = a 0, где a 0 ≠ 0,

это горизонт вся линия с пересечением по оси Y a 0

• График полинома степени 1

f (x) = a 0 + a 1 x, где a 1 ≠ 0,

- наклонная линия с пересечением по оси Y a 0 и наклоном a1.

• График полинома степени 2

f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x, где a 2 ≠ 0

- это парабола.

• График полинома 3 степени

f ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + a 3 x, где a 3 ≠ 0

- это кубическая кривая.

• График любого полинома со степенью 2 или выше

f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x +... + a n x, где a n ≠ 0 и n ≥ 2

- непрерывная нелинейная кривая.

Непостоянная полиномиальная функция стремится к бесконечности, когда переменная неограниченно увеличивается (в абсолютное ). Если степень больше единицы, на графике нет асимптоты . Он имеет две параболические ветви с вертикальным направлением (одна ветвь для положительного x и одна для отрицательного x).

Полиномиальные графики анализируются в расчетах с использованием пересечений, наклонов, вогнутости и поведения концов.

Уравнения

Полиномиальное уравнение, также называемое алгебраическим уравнением, представляет собой уравнение

$тревожно\; +\; an\; -\; 1\; xn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 0\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; dotsb\; +\; a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{0\}\; =\; 0.\}$

,

$Например,\; 3\; x\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 5\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 3x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-5\; =\; 0\}$

- полиномиальное уравнение.

При рассмотрении много одного неопределенные (переменные), также называются неизвестными, решения являются возможными неизвестными, для которых выполняется равенство (обычно более более одного решения может существовать). Полиномиальное уравнение контрастирует с полиномиальным тождеством вроде (x + y) (x - y) = x - y, где оба выражения один и тот же многочлен в разных формах, и, как следствие, любое вычисление обоих членов дают действительное равенство.

В элементарной алгебре изучаются такие методы, как квадратная формула для решений всех полиномиальных соотношений первой и второй степени с одной переменной. Существуют также формулы для формул кубической и четвертой. Для более высоких степеней теорема Абеля - Руффини утверждает, что не может существовать общей формулы в радикалах. Однако поиск корней Поиск для поиска числовых приближений корней полиномиального выражения любой степени.

Количество решений полиномиального уравнения с действующими коэффициентами не может быть степень, и оно равно степени, когда комплексные решения с их кратностью. Этот факт называется фундаментальной теоремой алгебры.

Решение уравнения

Каждый многочлен P от x определяет функцию $x\; \mapsto \; P\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; P\; (x),\}$называется полиномиальной функцией, структура с P; уравнение P (x) = 0 является полиномиальным уравнением, с P. Решения этого уравнения называются корнями полинома или нулями функций (они соответствуют точкам, которые соответствуют функциям оси абсцисс).

Число a является корнем многочлена P тогда и только тогда, когда линейный многочлен x - a делит P, то есть если существует другой многочлен Q такой, что P = (x - a) Q. Может случиться, что x - a делит P более одного раза: если (x - a) делит P, то это называется кратным корнем P, а в противном случае называется корнем P. ненулевой многочлен, существует наивысшая степень m такая, что (x - a) делит P, что называется кратностью корня a в P.Когда P является нулевым многочленом, соответствующее полиномиальное уравнение тривиально, и этот случай обычно исключается при рассмотрении корней, так как в приведенных выше определениях является число нулевого многочлена с неопределенной кратностью. За исключением этого исключения, количество корней многочлена P, даже с учетом их соответствующих степеней P. Отношение между коэффициентами многочлена и его корнями описывается формулами Виета.

Некоторые многочлены, например, x + 1, не имеют корней среди действительных чисел. Если, однако, набор решений расширяется до комплексных чисел, каждый непостоянный многочлен по крайней мере один корень; это основная теорема алгебры. Последовательно множители x - a, можно увидеть, что любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть записан как константа (его старший коэффициент), умноженная на произведение таких многочленов степени 1; как следствие, количество (комплексных) корней с учетом их кратностей в точности равно степени многочлена.

Может быть несколько значений «решения уравнения». Можно выразить решения в виде явных чисел; например, единственное решение 2x - 1 = 0 - 1/2. К сожалению, это вообще невозможно для формулы больше единицы, и с древних времен математики пытались выразить решения как алгебраическое выражение ; например, золотое сечение $(1\; +\; 5)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\}$является единственным положительным решением $x\; 2\; -\; x\; -\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -x-1\; =\; 0.\}$В древние времена они были успешными только для первой и второй степени. Для квадратных формула квадратная формула предоставляет такие выражения. С XVI века аналогичные формулы (использующие кубические корни в дополнение к квадратным корням), но более сложные, существуют для третьей и четвертой степени (см. кубическое уравнение и уравнение четвертой степени ). Но формулы для степени 5 и выше ускользали от исследователей в течение нескольких столетий. В 1824 году Нильс Хенрик Абель доказал поразительный результат которые: существуют уравнения степени 5, решения не могут быть выражены (конечной) формулой, включающей только арифметические операции и радикалы (см. теорема Абеля - Руффини ). В 1830 г. Эварист Галуа доказал, что большинство соотношений между четырьмя степенями решены радикалами, и показано, что для каждого уравнения можно решить, разрео ли оно в радикалах, и, если да, решить это. Этот результат положил начало теории Галуа и теории групп, важных разделам современной алгебры. Сам Галуа оценивает, что вычисления, предполагаемые его метод, были невыполнимы. Тем не менее, формулы для решаемых уравнений степеней 5 и 6 были опубликованы (см. квинтическая функция и шестнадцатеричное уравнение ).

Когда нет алгебраического выражения для корней, и когда такое алгебраическое выражение существует, но слишком сложно, чтобы быть полезным, единственный способ решения - вычислить числовые приближения решений.. Для этого есть много способов; некоторые из них ограничиваются полиномами, а другие могут применяться к любой непрерывной функции. Наиболее эффективные алгоритмы позволяют легко решать (на компьютере ) полиномиальные уравнения степени выше 1000 (см. алгоритм поиска корня ).

Для многочленов от более чем одного неопределенного, комбинации значений переменных, для которых функция многочлена принимает нулевое значение, обычно называются нулями, а не «корнями». Изучение множеств нулей многочленов является предметом алгебраической геометрии. Для набора полиномиальных уравнений с несколькими неизвестными существуют алгоритмы, чтобы решить, есть ли у них конечное число сложных решений, и, если это число конечно, для вычисления решений. См. Система полиномиальных уравнений.

. ​​Особый случай, когда все полиномы имеют степень один, называется системой линейных уравнений, для которой другой диапазон различных методов решения существуют, включая классическое исключение Гаусса.

. ​​Полиномиальное уравнение, для которого интересны только решения, которые являются целыми числами, называется диофантовым уравнением. Решение диофантовых уравнений обычно является очень сложной задачей. Было доказано, что не может быть какого-либо общего алгоритма для их решения и даже для определения того, пусто ли множество решений (см. десятую проблему Гильберта ). Некоторые из самых известных проблем, которые были решены в течение последних пятидесяти лет, связаны с диофантовыми уравнениями, например, Последняя теорема Ферма.

Обобщения

Существует несколько обобщений концепции многочленов.

Тригонометрические полиномы

A тригонометрические полиномы - это конечная линейная комбинация функций sin (nx) и cos (nx), где n принимает значения из одного или нескольких натуральных чисел. Коэффициенты могут быть взяты как действительные числа для действительных функций.

Если sin (nx) и cos (nx) раскрываются в терминах sin (x) и cos (x), тригонометрический полином становится полиномом от двух переменных sin (x) и cos (x). (с использованием Список тригонометрических тождеств # Формулы множества углов ). И наоборот, каждый многочлен от sin (x) и cos (x) может быть преобразован с помощью тождеств произведения к сумме в линейную комбинацию функций sin (nx) и cos (nx). Эта эквивалентность объясняет, почему линейные комбинации называются полиномами.

Для комплексных коэффициентов нет разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье.

Тригонометрические полиномы широко используются, например, в тригонометрической интерполяции применяется к интерполяции из периодических функций. Они используются также в дискретном преобразовании Фурье.

Матричные многочлены

A матричный многочлен - многочлен с квадратным мат рис в качестве числа. Дан обычный многочлен со скалярными значениями

$P\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; naixi\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; тревога,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{a\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\; \},\}$

этот многочлен, вычисленный в матрице A, равенство

$P\; (A)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; nai\; A\; i\; =\; a\; 0\; I\; +\; a\; 1\; A\; +\; a\; 2\; A\; 2\; +\; \cdots \; +\; an\; A\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{a\_\; \{i\}\; A\; ^\; \{i\}\}\; =\; a\_\; \{0\}\; I\; +\; a\_\; \{1\}\; A\; +\; a\_\; \{2\}\; A\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; A\; ^\; \{n\},\}$

где I - единичная матрица.

A матричное полиномиальное уравнение - это равенство между двумя матричными полиномами, которое выполняется для конкретного рассматриваемых матриц. матричное полиномиальное тождество представляет собой матричное полиномиальное уравнение, которое выполняется для всех матриц A в указанном кольце матриц Mn(R).

Многочлены Лорана

Многочлены Лорана похожи на многочлены, но допускают появление отрицательных степеней сравнительных переменных.

Рациональные функции

A рациональная дробаяь - это частное (алгебраическая дробь ) двух полиномов. Любое алгебраическое выражение, которое можно переписать как рациональную функцию, рациональную функцию.

Хотя полиномиальные устойчивые функции для всех значений переменной, рациональная функция определяется только для значений числа, для которых знаменатель не равно нулю.

Рациональные дроби много включают Лорана, но не ограничивают знаменатели степенями неопределенного.

Степенный ряд

Формальный степенной ряд подобен многочленам, но допускает появление бесконечно большого числа ненулевых членов, поэтому они не имеют конечной степени. В отличие от многочленов, они, как правило, не могут быть явно и полностью записаны (как и иррациональные числа не могут), но их правила управления такими же, как и для многочленов. Неформальный степенной ряд также обобщает многочлены, но умножение двух степенных рядов может не сходиться.

Другие примеры

Двумерный многочлен, в котором вторая переменная заменяется экспоненциальной функцией, примененной к первой переменной, например P (x, e), может называться экспоненциальным многочлен.

Приложения

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре различают многочлены и полиномиальные функции. Многочлен f от одного неопределенного x над кольцом R содержит формальное выражение вида

$f\; =\; тревога\; +\; an\; -\; 1\; xn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; x\; 1\; +\; a\; 0\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{1\}\; +\; a\_\; \{0\}\; x\; ^\; \{0\}\}$

где n - натуральное число, коэффициенты a 0,..., a n являются элементами R, а x является формальным символом, чьи степени x являются просто заполненными для соответствующих коэффициентов a i, так что данное формальное выражение является просто способом кодирования следующего (a 0, a 1,...), где существует n такое, что a i = 0 для всех i>п. Два полинома с одинаковыми коэффициентами равными тогда и только, когда их равными равны; кроме того, многочлен равен любому многочлену с большим значением n, полученным из него путем добавления перед ними коэффициент, который равен нулю. Эти полиномы можно добавить, просто добавив соответствующие коэффициенты (можно использовать правила расширения с помощью элементов с нулевыми коэффициентами, чтобы убедиться, что такие коэффициенты существуют). Таким образом, каждый многочлен фактически равен сумме членов, используется в его формальном выражении, если такой член a i x интерпретируется как многочлен, который имеет нулевые коэффициенты при всех степенях x, кроме x. Затем, чтобы определить умножение, достаточно с помощью закона распределения описать произведение любых двух таких терминов, которое задается правилами

$axkbxl\; =\; abxk\; +\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{k\}\; \backslash ;\; bx\; ^\; \{l\}\; =\; abx\; ^\; \{k\; +\; l\}\}$для всех элементов a, b кольца R и всех натуральных чисел k и l.

Таким образом, множество всех многочлены с помощью компонентов в кольце R сами образуют кольцо, кольцо многочленов над R, которое обозначается R [x]. Отображение из R в R [x], переводящее r в rx, является инъективным гомоморфизмом колец, в соответствии с данным подходом подкольцо в R [x]. Если R коммутативно, то R [x] является алгеброй над R.

Кольцо R [x] можно представить как развивающее из R, добавив один новый элемент x в R и минимальным образом расширяется до кольца, в котором x не удовлетворяет никаким другим отношениям, кроме обязательных, плюс коммутация со всеми элементами R (то есть xr = rx). Для этого нужно также сложить все степени x и их линейные комбинации.

Формирование кольца многочленов вместе с формированием факторов колец путем выделения идеалов важными инструментами построения новых колец из известных. Например, кольцо (фактически поле) комплексных чисел, которое может быть построено из кольца многочленов R [x] над действующим путем факторизации идеала кратных многочлена x + 1. Другой пример - построение конечные поля, действует аналогично, начиная с поля целых чисел по модулю некоторого простого в качестве числа числа коэффициентов R (см. модульная арифметика ).

Если R коммутатив, то можно связать с каждым многочленом P в R [x] полиномиальную функцию с областью определения и диапазоном, равными R. (В более общем случае, можно использовать домен и диапазон как одинаковые. 188>unital ассоциативная алгебра над R.) Значение f (r) можно получить заменой значения r на символ x в P. Одна причина различать между полиномами и полиномиальными функциями заключается в в том, что над некоторыми кольцами разные полиномы могут давать начало одной и той же полиномиальной функции (см. маленькую теорему Ферма для примера, где R - целые числа по модулю p). Это не тот случай, когда R - действующие или комплексные числа, поэтому эти два понятия не всегда различаются в анализе. Еще более важная причина различать полиномы и полиномиальные функции в том, что многие операции с полиномами (например, евклидово деление ) требуют рассмотрения того, из чего состоит полином в виде выражения, а вычисление его с некоторыми постоянными функциями функции для Икс.

Делимость

В коммутативной алгебре одним из основных видов исследований является делимость между многочленами. Если R - область целостности , а f и g - многочлены в R [x], говорят, что f делит g или f является делителем g, если существует многочлен q в R [x] такой что fq = g. Можно показать, что каждый нуль порождает линейный делитель, или, более формально, если f - многочлен в R [x], а r - такой элемент R, что f (r) = 0, то многочлен (x - r) делит f. Обратное также верно. Частное может быть вычислено с использованием полиномиального деления в столбик.

. Если F - это поле , а f и g - полиномы от F [x] с g 0, то существуют уникальные многочлены q и r в F [x] с

$f\; =\; qg\; +\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; q\; \backslash ,\; g\; +\; r\}$

и таким, что степень r меньше степени g (по соглашению, что полином 0 имеет отрицательную степень). Многочлены q и r однозначно определены функции f и g. Это называется евклидовым делением, делением с остатком или полиномиальным делением в длину и показывает, что кольцо F [x] является евклидовой областью.

Аналогично, простые полиномы (точнее, неприводимые многочлены ) могут быть ненулевые многочлены, которые не могут быть разложены на произведение двух непостоянных многочленов. В случае коэффициентов в кольце «непостоянный» должен быть заменен на «непостоянный или не- блок » (оба совпадения совпадают в случае коэффициентов в поле). Любой многочлен может быть разложен в обратимой константы на произведение неприводимых многочленов. Если коэффициенты собственного полюса или уникальной области факторизации, это разложение уникальным до порядка факторов и умножения любого неединичного фактора на единицу (и деления единичного фактора на тот же блок). Когда коэффициенты принадлежат целым числам, рациональным числам или конечному полю, существуют алгоритмы проверки неприводимости и вычисления факторизации в неприводимые многочлены (см. Факторизация многочленов ). Эти алгоритмы не применимы для рукописных вычислений, но доступны в любой системе компьютерной алгебры. Критерий Эйзенштейна также может быть использован в некоторых случаях для определения несводимости.

Позиционное обозначение

В современных позиционных системах счисления, таких как десятичная система, цифры и их позиции в представлении целого числа, например 45, сокращенное обозначение полинома с основанием или основанием, в данном случае 4 × 10 + 5 × 10. В качестве другого примера, в системе счисления 5 строка цифр, такая как 132, обозначает (десятичное) число 1 × 5 + 3 × 5 + 2 × 5 = 42. Это представление уникально. Пусть b - натуральное число больше 1. Каждое положительное целое число a может быть однозначно выражено в форме

$a\; =\; rmbm\; +\; rm\; -\; 1\; bm\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; r\; 1\; b\; +\; r\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; r\_\; \{\; m\}\; b\; ^\; \{m\}\; +\; r\_\; \{m-1\}\; b\; ^\; \{m-1\}\; +\; \backslash \; dotsb\; +\; r\_\; \{1\}\; b\; +\; r\_\; \{0\},\}$

где m - неотрицательное целое число, а r - это целые, такие как

0 < rm< b and 0 ≤ ri< b for i = 0, 1,..., m − 1.

Интерполяция и приближение

Простая структура полиномиальных функций делает их весьма полезными при анализе общих функций с использованием полиномиальных приближений. Важным примером в исчислении является теорема Тейлора, которая примерно утверждает, что каждая дифференцируемая функция локально выглядит как полиномиальная функция, и теорема Стоуна - Вейерштрасса, в котором указано, что каждая непрерывная функция, определенная на компактном интервале вещественной оси, может быть аппроксимирована на всех интервале настолько точно, насколько это необходимо, с с помощью полиномиальная функция. Практические методы аппроксимации включают интерполяцию полиномов и использование сплайнов.

Другие приложения

Полиномы часто используются для кодирования информации о каком-либо другом объекте. Характеристический полином матрицы или линейного оператора содержит информацию о собственных значениях оператора. минимальный многочлен алгебраического элемента записывает простейшее алгебраическое отношение, которое удовлетворяет этот элемент. Хроматический полином графа подсчитывает количество правильных раскрасок этого графа.

Термин «многочлен», как прилагательное, может также объявить для величин или функций, которые могут быть записаны в полиномиальной форме. Например, в теории сложности вычислений фраза полиномиальное время означает, что время, необходимое для выполнения алгоритма, ограничено полиномиальной функцией некоторой переменной, например, как размер ввода.

История

Определение корней многочленов или «решение алгебраических уравнений» - одна из сташих задач математики. Новые технологии, используемые сегодня, появились в 15 веке. До этого уравнения записывались на словах. Например, задача алгебры из китайского Арифметика в девяти разделах, около 200 г. до н.э., начинается со слов: «Три снопа хорошего урожая, два снопа посредника урожая и один снопого урожая проданы за 29 до. "Мы бы написали 3x + 2y + z = 29.

История записи

Самое раннее известное использование знака равенства находится в Роберте Рекорд Точильный камень Витте, 1557. Знаки + для сложения, - для вычитания и использования буквы для неизвестного появляется в Михаэле Стифеле59>Arithemetica integration, 1544. Рене. Декарт в «Геометрии» (1637) ввел понятие Он популяризировал использование букв из начала алфавита для обозначения констант и букв из конца алфавита для обозначения числа, как видно выше, в общей формуле полинома от одной модели, где a обозначает переменную, а x обозначает переменную. для обозначения показателей степени.

См.

• Список тем о полиномах
• Полиномиальная последовательность
• Полиномиальное преобразование - Преобразование полиноми, вызванное преобразование
• Полиномиальное отображение - Ф ункция, которая при координатах изображения точки полиномиальных функций от координат точки

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Полиномами.

Найдите полином в Викисловаре, свободном месте.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Исследования Эйлера о корнях уравнений». Архивировано из оригинала 24 сентября 2012 г.