Войти
значащие цифры (также известные как значащие цифры или точность ) числа, записанного в позиционной записи, являются цифрами, которые вносят значимый вклад в его разрешающую способность измерения. Сюда входят все цифры, кроме:
Из значащих цифр в числе наиболее значащий - это позиция с наибольшим значением экспоненты (крайнее левое в обычном десятичном представлении), а наименее значащее - это позиция с наименьшим значением экспоненты (крайнее правое в обычном десятичном представлении). Например, в числе «123» цифра «1» является наиболее значимой, так как в ней учитываются сотни (10), а «3» - наименее значимая цифра, поскольку при подсчете единиц (10).
Арифметика значимости - это набор приблизительных правил для приблизительного поддержания значимости на протяжении всего вычисления. на. Более сложные научные правила известны как распространение неопределенности.
Числа часто округляются, чтобы не сообщать незначительные цифры. Например, было бы создано ложная точность, чтобы выразить измерение как 12,34525 кг (с семью значащими цифрами), если бы весы измеряли только с точностью до ближайшего грамма и давали показание 12,345 кг (которое имеет пять значащих цифр).). Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для обозначения заданной точности измерения, например, чтобы они быстрее произносились в выпусках новостей.
Основание 10 предполагается ниже.
Цифры в красном значимые фигуры; черные цифры не являются . Правила определения значащих цифр при написании или интерпретации чисел следующие:
Значимость конечных нулей в число, не содержащее десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (и просто случайно оказывается точным кратным сотне) или если оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неточности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:
Поскольку приведенные выше условные обозначения не используются повсеместно, для указания значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные параметры:
Основное понятие значащих цифр часто используется в связи с округлением. Округление до значащих цифр - это более универсальный метод, чем округление до n десятичных знаков, поскольку он обрабатывает числа разных масштабов единообразно. Например, население города может быть известно только с точностью до ближайшей тысячи и может быть указано как 52 000, в то время как население страны может быть известно только с точностью до миллиона и может быть указано как 52 000 000. Первые могут ошибаться на сотни, а вторые - на сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки одинакова в обоих случаях относительно размера измеряемой величины.
Чтобы округлить до n значащих цифр:
В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков (например, до двух места после десятичного разделителя для многих мировых валют). Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.
В британских налоговых декларациях доход округляется до ближайшего фунта, в то время как уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.
В качестве иллюстрации десятичная величина 12.345 может быть выражена с различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округляется до каким-либо образом, чтобы соответствовать доступной точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности и десятичных разрядов.
| . Точность | Округление до. значащих цифр | Округление до. десятичных знаков |
|---|---|---|
| 6 | 12,3450 | 12,345000 |
| 5 | 12,345 | 12,34500 |
| 4 | 12,34 или 12,35 | 12,3450 |
| 3 | 12,3 | 12,345 |
| 2 | 12 | 12,34 или 12,35 |
| 1 | 10 | 12,3 |
| 0 | Н / Д | 12 |
Другой пример для 0,012345 :
| . Точность | Округлено до. значащих цифр | Округлено до. десятичные разряды |
|---|---|---|
| 7 | 0,01234500 | 0,0123450 |
| 6 | 0,0123450 | 0,012345 |
| 5 | 0,012345 | 0,01234 или 0,01235 |
| 4 | 0,01234 или 0,01235 | 0,0123 |
| 3 | 0,0123 | 0,012 |
| 2 | 0,012 | 0,01 |
| 1 | 0,01 | 0,0 |
| 0 | Н / Д | 0 |
Представление ненулевого значения число x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое задается формулой:
, который может потребоваться записать со специальной маркировкой, как подробно описано выше, чтобы указать количество значащих нулей в конце.
Поскольку существуют правила для определения количества значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют правила определения количества значащих цифр в величинах, рассчитанных на основе этих измеренных величин.
При определении количества значащих цифр в расчетных величинах учитываются только измеренные величины. Точные математические величины, такие как π в формуле для площади круга с радиусом r, πr не влияют на количество значащих цифр в окончательной расчетной области. Точно так же ½ в формуле для кинетической энергии массы m со скоростью v, ½mv, не влияет на количество значащих цифр в окончательной расчетной кинетической энергии. Для этого считается, что константы π и ½ имеют бесконечное количество значащих цифр.
Для величин, созданных из измеренных величин с помощью умножения и деления, вычисленный результат должен иметь столько значащих цифр, сколько измеренное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например,
только с двумя значащими цифрами. Первый фактор состоит из четырех значащих цифр, а второй - двух значащих цифр. Фактор с наименьшим количеством значащих цифр - это второй фактор с двумя значащими цифрами, поэтому окончательный расчетный результат также должен иметь всего две значащие цифры. Однако о промежуточных результатах см. Ниже.
Для величин, созданных из измеренных величин путем сложения и вычитания, последний значащий десятичный разряд (сотни, десятки, единицы, десятые и и т.д.) в вычисленном результате должен совпадать с крайним левым или наибольшим десятичным знаком последнего значащего числа из всех измеренных величин в сумме. Например,
с последней значащей цифрой на разряде десятых. У первого члена последняя значащая цифра находится на десятом месте, а у второго члена - последняя значащая цифра на тысячном месте. Крайний левый из десятичных знаков последней значащей цифры из всех членов суммы - это десятая позиция от первого члена, поэтому вычисленный результат также должен иметь свою последнюю значащую цифру на десятом месте.
Правила вычисления значащих цифр для умножения и деления противоположны правилам для сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов; десятичный разряд последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только десятичный разряд последней значащей цифры в каждом из терминов; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. Однако большая точность часто достигается, если в промежуточных результатах сохраняются некоторые незначительные цифры, которые используются в последующих вычислениях.
В основании 10 логарифм числа a нормализованное число, результат должен быть округлен до количества значащих цифр в нормализованном числе. Например, log 10 (3.000 × 10) = log 10 (10) + log 10 (3.000) ≈ 4 + 0,47712125472, следует округлить до 4,4771..
При вычислении антилогарифмов полученное число должно иметь столько значащих цифр, сколько мантисса в логарифме.
Выполняя вычисления, не следуйте этим рекомендациям для получения промежуточных результатов; сохраняйте как можно больше цифр (как минимум на 1 больше, чем предполагает точность окончательного результата) до конца расчета, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления.
При использовании линейке сначала используйте наименьшую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, это 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз, ближе чем интервал между наименьшими отметками линейки, например в приведенном выше случае его можно оценить от 4,51 см до 4,53 см (см. ниже).
Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если предположить, что линейка нормального хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. В противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке в калибровке линейки.
При оценке доли особей, несущих определенную характеристику в популяции, из случайная выборка из этой совокупности, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.
Традиционно в различных областях техники «точность» означает близость данного измерения к его истинному значению; «точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. В надежде отразить то, как термин «точность» на самом деле используется в научном сообществе, существует более свежий стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «правильность» как близость данного измерения к его истинное значение и использует термин «точность» как сочетание истинности и точности. (Более полное обсуждение см. В статье Точность и точность.) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точности, а не использованию слова «точность» или новой концепции истинности.
Компьютерные представления чисел с плавающей запятой используют форму округления до значащих цифр, как правило, с двоичными числами. Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной ошибки (которое имеет то преимущество, что является более точной мерой точности и не зависит от системы счисления, также известной в качестве основы используемой системы счисления).
