Спектральная теорема

результата о том, когда можно диагонализовать матрицу

В математике, в частности линейная алгебра и функциональный анализ, спектральная теорема является результатом того, когда линейный оператор или матрица может быть диагонализованная (то есть представленная как диагональная матрица в некотором базисе). Это чрезвычайно полезно, потому что вычисления с использованием диагонализуемой матрицы часто могут быть сведены к гораздо более простым вычислениям с использованием соответствующей диагональной матрицы. Концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных векторных пространствах, но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейных операторов, которые можно моделировать с помощью операторов умножения, которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Выражаясь более абстрактным языком, спектральная теорема - это утверждение о коммутативных C * -алгебрах. См. Также спектральная теория для исторической перспективы.

Примеры операторов, к которым применима спектральная теорема: самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением, разложением по собственным значениям или собственным разложением базового вектора пространство, на котором действует оператор.

Огюстен-Луи Коши доказал спектральную теорему для самосопряженных матриц, то есть, что каждая действительная симметричная матрица диагонализуема. Вдобавок Коши был первым, кто систематизировал детерминанты. Спектральная теорема, обобщенная Джоном фон Нейманом, сегодня, возможно, является наиболее важным результатом теории операторов.

Эта статья в основном сосредоточена на простейшем виде спектральной теоремы для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Однако, как отмечалось выше, спектральная теорема верна и для нормальных операторов в гильбертовом пространстве.

• 1 Конечномерный случай
  • 1.1 Эрмитовы отображения и эрмитовы матрицы
  • 1.2 Нормальные матрицы
• 2 Компактные самосопряженные операторы
• 3 Ограниченные самосопряженные операторы
  • 3.1 Возможные отсутствие собственных векторов
  • 3.2 Спектральные подпространства и проекционно-значные меры
  • 3.3 Версия оператора умножения
  • 3.4 Прямые интегралы
  • 3.5 Циклические векторы и простой спектр
  • 3.6 Функциональное исчисление
• 4 Общие самосопряженные операторы
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Эрмитовы отображения и эрмитовы матрицы

Начнем с рассмотрения эрмитова матрица на $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$(но следующее обсуждение будет адаптировано к более ограниченному случаю симметричных матриц на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$). Мы рассматриваем эрмитово отображение A на конечномерном комплексе внутреннем пространстве произведения V, наделенном положительно определенным полуторалинейным внутренний продукт $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$. Условие Эрмита для $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$означает, что для всех x, y ∈ V,

$⟨A\; x,\; y⟩\; =\; ⟨x,\; A\; y⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; Ax,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; Ay\; \backslash \; rangle.\}$

Эквивалентным условием является то, что A = A, где A - эрмитово сопряжение с A. В случае что A отождествляется с эрмитовой матрицей, матрица A может быть отождествлена ​​с ее сопряженным транспонированием. (Если A - вещественная матрица , это эквивалентно A = A, то есть A является симметричной матрицей .)

Это условие подразумевает, что все собственные значения эрмитова отображения действительны: достаточно применить его к случаю, когда x = y - собственный вектор. (Напомним, что собственный вектор линейного отображения A - это (ненулевой) вектор x такой, что Ax = λx для некоторого скаляра λ. Значение λ является соответствующим собственным значением. Кроме того,, собственные значения являются корнями характеристического многочлена.)

Теорема . Если A эрмитово, существует ортонормированный базис V, состоящий из собственных векторов A. Каждое собственное значение вещественно.

Мы приводим набросок доказательства для случая, когда основным полем скаляров являются комплексные числа.

Согласно фундаментальной теореме алгебры, примененной к характеристический многочлен матрицы A, существует по меньшей мере одно собственное значение λ 1 и собственный вектор e 1. Тогда, поскольку

$\lambda \; 1\; ⟨e\; 1,\; e\; 1⟩\; =\; ⟨A\; (e\; 1),\; e\; 1⟩\; =\; ⟨e\; 1,\; A\; (e\; 1)⟩\; =\; \lambda \; ¯\; 1\; ⟨e\; 1,\; e\; 1⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; langle\; e\_\; \{1\},\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; A\; (e\_\; \{1\}),\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; e\_\; \{1\},\; A\; (e\_\; \{1\; \})\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; langle\; e\_\; \{1\},\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle,\}$

мы находим, что λ 1 реально. Теперь рассмотрим пространство K = span {e 1 }, ортогональное дополнение к e 1. По эрмитовости K является инвариантным подпространством в A. Применение того же аргумента к K показывает, что A имеет собственный вектор e 2 ∈ K. Тогда конечная индукция завершает доказательство.

Спектральная теорема верна также для симметричных отображений в конечномерных вещественных пространствах внутреннего произведения, но существование собственного вектора не следует непосредственно из фундаментальной теоремы алгебры. Чтобы доказать это, рассмотрим A как эрмитову матрицу и воспользуемся тем фактом, что все собственные значения эрмитовой матрицы действительны.

Матричное представление A в базисе собственных векторов диагонально, и по построению доказательство дает базис взаимно ортогональных собственных векторов; выбирая их в качестве единичных векторов, можно получить ортонормированный базис собственных векторов. A можно записать как линейную комбинацию попарно ортогональных проекций, называемую его спектральным разложением . Пусть

$V\; \lambda \; =\; \{v\; \in \; V:\; A\; v\; =\; \lambda \; v\}\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; =\; \backslash \; \{v\; \backslash \; in\; V:\; Av\; =\; \backslash \; lambda\; v\; \backslash \}\}$

будет собственным подпространством, соответствующим собственное значение λ. Обратите внимание, что определение не зависит от выбора конкретных собственных векторов. V - ортогональная прямая сумма пространств V λ, где индекс пробегает собственные значения.

Другими словами, если P λ обозначает ортогональную проекцию на V λ, и λ 1,..., λ m являются собственными значениями A, тогда спектральное разложение можно записать как

$A\; =\; \lambda \; 1\; P\; \lambda \; 1\; +\; +\; \lambda \; m\; P\; \lambda \; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; P\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; P\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\}.\}$

Если спектральное разложение A равно $A\; =\; \lambda \; 1\; P\; 1\; +\; \cdots \; +\; \lambda \; м\; п\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; P\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; P\_\; \{m\}\}$, затем $A\; 2\; =\; (\lambda \; 1)\; 2\; P\; 1\; +\; \cdots \; +\; (\lambda \; m)\; 2\; P\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{2\}\; =\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\})\; ^\; \{2\}\; P\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{m\})\; ^\; \{2\}\; P\_\; \{m\}\}$и $\mu \; A\; =\; \mu \; \lambda \; 1\; P\; 1\; +\; \cdots \; +\; \mu \; \lambda \; m\; P\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; A\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; P\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; P\_\; \{m\}\}$для любого скаляра $\mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu.\}$Отсюда следует, что для любого многочлена f выполняется

$f\; (A)\; =\; f\; (\lambda \; 1)\; P\; 1\; +\; \cdots \; +\; f\; (\lambda \; m)\; P\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; =\; f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\})\; P\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{m\})\; P\_\; \{m\}.\}$

Спектральное разложение - это особый случай как разложения Шура, так и разложения по сингулярным значениям.

нормальных матриц

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть A - оператор в конечномерном внутреннем пространстве произведения. A называется нормальным, если AA = AA. Можно показать, что A нормально тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализуемо. Доказательство: с помощью разложения Шура мы можем записать любую матрицу как A = UTU, где U унитарна, а T - верхнетреугольная. Если A нормально, то видно, что TT = TT. Следовательно, T должен быть диагональным, поскольку нормальная верхнетреугольная матрица диагональна (см. нормальная матрица ). Обратное очевидно.

Другими словами, A является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица U такая, что

$A\; =\; UDU\; \ast ,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; UDU\; ^\; \{*\},\; \}$

где D - диагональная матрица . Тогда элементы диагонали D являются собственными значениями матрицы A. Векторы-столбцы матрицы U являются собственными векторами матрицы A, и они ортонормированы. В отличие от эрмитовского случая, записи D не обязательно должны быть реальными.

В более общем контексте гильбертовых пространств, которые могут иметь бесконечную размерность, утверждение спектральной теоремы для compact самосопряженные операторы практически такие же, как и в конечномерном случае.

Теорема . Предположим, что A - компактный самосопряженный оператор в (действительном или комплексном) гильбертовом пространстве V. Тогда существует ортонормированный базис в V, состоящий из собственных векторов A. Каждое собственное значение вещественно.

Что касается эрмитовых матриц, ключевым моментом является доказательство существования хотя бы одного ненулевого собственного вектора. Нельзя полагаться на детерминанты, чтобы показать существование собственных значений, но можно использовать аргумент максимизации, аналогичный вариационной характеризации собственных значений.

Если исключить предположение о компактности, неверно, что каждый самосопряженный оператор имеет собственные векторы.

Возможное отсутствие собственных векторов

Следующее обобщение, которое мы рассматриваем, это обобщение ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.. Такие операторы могут не иметь собственных значений: например, пусть A - оператор умножения на t на L [0, 1], то есть

$[A\; \phi ]\; (t)\; =\; t\; \phi \; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; [A\; \backslash \; varphi]\; (t)\; =\; t\; \backslash \; varphi\; (t).\; \backslash ;\}$

Итак, физик сказал бы, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$действительно имеет собственные векторы, а именно $\phi \; (t)\; =\; \delta \; (t\; -\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t)\; =\; \backslash \; delta\; (t-t\_\; \{0\})\}$, где $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- дельта-функция Дирака. Однако дельта-функция не является нормализуемой функцией; то есть на самом деле его нет в гильбертовом пространстве L [0, 1]. Таким образом, дельта-функции являются «обобщенными собственными векторами», но не собственными векторами в строгом смысле слова.

Спектральные подпространства и проекционно-значные меры

При отсутствии (истинных) собственных векторов можно искать подпространства, состоящие из почти собственных векторов. В приведенном выше примере, например, где $[A\; \phi ]\; (t)\; =\; t\; \phi \; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; [A\; \backslash \; varphi]\; (t)\; =\; t\; \backslash \; varphi\; (t),\; \backslash ;\}$мы могли бы рассмотреть подпространство функций, поддерживаемых на небольшом интервале $[a,\; a\; +\; \epsilon ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; +\; \backslash \; varepsilon]\}$внутри $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$. Это пространство инвариантно для $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и для любого $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$в этом подпространстве $A\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; varphi\}$очень близок к $a\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; varphi\}$. При таком подходе к спектральной теореме, если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является ограниченным самосопряженным оператором, нужно искать большие семейства таких «спектральных подпространств». Каждое подпространство, в свою очередь, кодируется ассоциированным оператором проекции, и совокупность всех подпространств затем представляется проекционно-значной мерой .

Одна формулировка спектральной теоремы выражает оператор A как интеграл от координатная функция по спектру $\sigma \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (A)\}$относительно проекционно-оценочной меры.

$A\; =\; \int \; \sigma \; (A)\; \lambda \; d\; E\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (A)\}\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; dE\; \_\; \{\backslash \; lambda\}.\}$

Когда рассматриваемый самосопряженный оператор компактный, эта версия спектральная теорема сводится к чему-то похожему на конечномерную спектральную теорему выше, за исключением того, что оператор выражается как конечная или счетно бесконечная линейная комбинация проекций, то есть мера состоит только из атомов.

Версия оператора умножения

Альтернативная формулировка спектральной теоремы гласит, что каждый ограниченный самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. Значение этого результата состоит в том, что операторы умножения во многих отношениях просты для понимания.

Теорема . Пусть A - ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда существует пространство с мерой (X, Σ, μ) и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция f на X и унитарный оператор U: H → L μ (X) такой, что

$U\; \ast \; TU\; =\; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{*\}\; TU\; =\; A,\; \}$

, где T - оператор умножения :

$[T\; \phi ]\; (x)\; =\; f\; (x)\; \phi \; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; [T\; \backslash \; varphi]\; (x)\; =\; е\; (x)\; \backslash \; varphi\; (x).\}$

и $\Vert \; T\; \Vert \; =\; \Vert \; е\; \Vert \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; |\; =\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$

Спектральная теорема - начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру.

. Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что теперь f может быть комплексным.

Прямые интегралы

Также существует формулировка спектральной теоремы в терминах прямых интегралов. Он похож на формулировку оператора умножения, но более каноничен.

Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$будет ограниченным самосопряженным оператором и пусть $\sigma \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (A)\}$- спектр $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Формулировка спектральной теоремы в виде прямого интеграла связывает две величины с $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Во-первых, мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $\sigma \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (A)\}$, а во-вторых, семейство Гильбертовы пространства $\{H\; \lambda \},\; \lambda \; \in \; \sigma \; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash \},\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (A).\}$Затем мы формируем гильбертово пространство прямого интеграла

$>R\; \oplus \; H\; \lambda \; d\; \mu \; (\lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\}\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; (\backslash \; lambda).\}$

Элементами этого пространства являются функции (или «разделы») $s\; (\lambda ),\; \lambda \; \in \; \sigma \; (A),\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (\backslash \; lambda),\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (A),\}$такой, что $s\; (\lambda )\; \in \; H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (\backslash \; lambda)\; \backslash \; in\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$для всех $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$. Версия спектральной теоремы с прямым интегралом может быть выражена следующим образом:

Теорема. Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- ограниченный самосопряженный оператор, то $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$унитарно эквивалентно оператору «умножение на $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$» в

$\int \; R\; \oplus \; H\; \lambda \; d\; \mu \; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\}\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; (\backslash \; lambda)\}$

для некоторой меры $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и некоторое семейство $\{H\; \lambda \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash \}\}$гильбертовых пространств. Мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$однозначно определяется с помощью $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$с точностью до теоретико-мерной эквивалентности; то есть любые две меры, связанные с одним и тем же $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, имеют одинаковые наборы нулевой меры. Размеры гильбертовых пространств $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$однозначно определяются $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$с точностью до набора $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- мера ноль.

Пробелы $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$можно рассматривать как что-то вроде «собственных подпространств» для $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Обратите внимание, однако, что если одноэлементный набор $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; lambda\}\}$не имеет положительной меры, пространство $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$на самом деле не является подпространством прямого интеграла. Таким образом, элементы $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$следует рассматривать как «обобщенное собственное подпространство», то есть элементы $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{\backslash \; lambda\}\}$- это «собственные векторы», которые на самом деле не принадлежат гильбертову пространству.

Хотя и оператор умножения, и прямой интегральный формулировка спектральной теоремы выражают самосопряженный оператор как унитарно эквивалентный оператору умножения, прямой интегральный подход более каноничен. Во-первых, множество, по которому имеет место прямой интеграл (спектр оператора), является каноническим. Во-вторых, функция, на которую мы умножаем, является канонической в ​​подходе прямого интеграла: просто функция $\lambda \; \mapsto \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; lambda\}$.

Циклические векторы и простой спектр

Вектор $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$называется циклическим вектором для $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, если векторы $\phi ,\; A\; \phi ,\; A\; 2\; \phi ,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi,\; A\; \backslash \; varphi,\; A\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; ldots\}$покрывают плотное подпространство гильбертова пространства. Предположим, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- ограниченный самосопряженный оператор, для которого существует циклический вектор. В этом случае нет различия между формулировками спектральной теоремы с прямым интегралом и оператором умножения. Действительно, в этом случае есть мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$в спектре $\sigma \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (A)\}$из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$такое, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$унитарно эквивалентно «умножению на $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; лямбда\}$"оператор в $L\; 2\; (\sigma \; (A),\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sigma\; (A),\; \backslash \; mu)\}$. Этот результат представляет $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$одновременно как оператор умножения и как прямой интеграл, поскольку $L\; 2\; (\sigma \; (A),\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\; \}\; (\backslash \; sigma\; (A),\; \backslash \; mu)\}$- это просто прямой интеграл, в котором каждое гильбертово пространство $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$просто $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$.

Не каждый ограниченный самосопряженный оператор допускает циклический вектор; действительно, из-за уникальности прямого интегрального разложения это может произойти только тогда, когда все $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$имеют размерность один. Когда это происходит, мы говорим, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет «простой спектр» в смысле теории множественности спектров. Таким образом, ограниченный самосопряженный оператор, допускающий циклический вектор, следует рассматривать как бесконечномерное обобщение самосопряженной матрицы с различными собственными значениями (т.е. каждое собственное значение имеет кратность один).

Хотя не каждый $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$допускает циклический вектор, легко увидеть, что мы можем разложить гильбертово пространство как прямую сумму инвариантных подпространств, на которых $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет циклический вектор. Это наблюдение является ключом к доказательству операторно-умножительной и прямой интегральной форм спектральной теоремы.

Функциональное исчисление

Одним из важных приложений спектральной теоремы (в любой форме) является идея определения функционального исчисления. То есть, учитывая функцию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, определенную в спектре $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, мы хотим определить оператор $е\; (А)\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (А)\}$. Если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является просто положительной степенью, $f\; (x)\; =\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{n\}\}$, тогда $f\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\}$- это просто $n-я\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; mathrm\; \{th\}\}$степень $А\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, $A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{n\}\}$. Интересны случаи, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- это неполиномиальная функция, например квадратный корень или экспонента. Любая из версий спектральной теоремы обеспечивает такое функциональное исчисление. В версии с прямым интегралом, например, $f\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\}$действует как "умножение на $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$"оператор в прямом интеграле:

$[f\; (A)\; s]\; (\lambda )\; =\; f\; (\lambda )\; s\; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; [f\; (A)\; s]\; (\backslash \; lambda)\; =\; f\; (\backslash \; lambda)\; s\; (\backslash \; lambda)\}$.

То есть каждое пространство $H\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\}$в прямом интеграле является (обобщенным) собственным подпространством для $f\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\}$с собственным значением $f\; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; lambda)\}$.

Многие важные линейные операторы, которые встречаются в анализе, такие как дифференциальные операторы, не ограничены. В этих случаях также применима спектральная теорема для самосопряженных операторов. В качестве примера: каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения. Действительно, унитарный оператор, реализующий эту эквивалентность, - это преобразование Фурье ; оператор умножения - это тип множителя Фурье.

В общем, спектральная теорема для самосопряженных операторов может принимать несколько эквивалентных форм. Примечательно, что все формулировки, данные в предыдущем разделе для ограниченных самосопряженных операторов - версия с проекционно-значной мерой, версия с оператором умножения и версия с прямым интегралом - по-прежнему справедливы для неограниченных самосопряженных операторов с малыми технические модификации для решения проблем с доменом.

• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C * -алгебр
• Функциональное исчисление Бореля
• Спектральная теория
• Матричное разложение
• Каноническая форма
• Разложение Жордана, частным случаем которого является спектральное разложение.
• Разложение по сингулярным значениям, обобщение спектральной теоремы на произвольные матрицы.
• Разложение по собственным значениям

• Шелдон Акслер, Linear Algebra Done Done Right, Springer Verlag, 1997
• Холл, Британская Колумбия (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Paul Halmos, " Что говорит спектральная теорема? », American Mathematical Monthly, том 70, номер 3 (1963), страницы 241–247 Другая ссылка
• М. Рид и Б. Саймон, Методы математической физики, т. I – IV, Academic Press, 1972.
• Г. Тешл, Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, Американское математическое общество, 2009.
• (2018). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки 2-е издание. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.