Наклон

редактировать
Наклон: m = (Δ y Δ x) = tan ⁡ (θ) {\ displaystyle m = \ left ({ \ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right) = \ tan (\ theta)}{\ displaystyle m = \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right) = \ tan (\ theta)}

В математике, наклон или градиент для линия - это число, которое описывает как направление, так и крутизну линии. Наклон часто обозначается буквой м; нет четкого ответа на вопрос, почему буква m используется для обозначения наклона, но самое раннее ее использование в английском языке появилось у О'Брайена (1844 г.), который написал уравнение прямой линии как «y = mx + b», и оно может также можно найти у Тодхантера (1888), который написал это как «y = mx + c».

Наклон рассчитывается путем нахождения отношения «вертикального изменения» к «горизонтальному изменению» между (любыми) двумя различные точки на линии. Иногда это соотношение выражается как частное («превышение пробега»), дающее одно и то же число для каждых двух различных точек на одной линии. У убывающей линии есть отрицательный «подъем». Линия может быть практичной - как указано геодезистом или на диаграмме, моделирующей дорогу или крышу, в виде описания или плана.

Крутизна, уклон или уклон линии измеряется абсолютным значением уклона. Уклон с большим абсолютным значением указывает на более крутую линию. Направление строки линии - увеличение, уменьшение, горизонтальное или вертикальное.

  • Строка увеличивается, если она идет вверх слева направо. Наклон положительный, то есть m>0 {\ displaystyle m>0}m>0 .
  • Строка уменьшается, если идет вниз слева направо. Наклон отрицательный, т.е. m < 0 {\displaystyle m<0}m <0 .
  • Если линия горизонтальная, наклон нулевой . Это постоянная функция .
  • Если линия вертикальный, уклон не определен (см. ниже).

Подъем дороги между двумя точками - это разница между высотой дороги в этих двух точках, скажем, y 1 и y 2, или, другими словами, подъем составляет (y 2 - y 1) = Δy. Для относительно небольших расстояний, где кривизной Земли можно пренебречь, пробег - это разница в расстоянии от фиксированной точки, измеренная вдоль уровня, горизонтальной линии, или, другими словами, пробег равен (x 2 - x 1) = Δx. Здесь наклон дороги между двумя по ints просто описывается как отношение изменения высоты к горизонтальному расстоянию между любыми двумя точками на линии.

На математическом языке наклон линии m равен

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1. {\ displaystyle m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}m = \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}.

Понятие наклона применяется непосредственно к классам или градиенты в географии и гражданском строительстве. Через тригонометрию наклон m линии связан с ее углом наклона θ с помощью функции касательной

m = tan ⁡ (θ) {\ displaystyle m = \ tan (\ theta)}m = \ tan (\ theta)

Таким образом, восходящая линия 45 ° имеет наклон +1, а нисходящая линия 45 ° имеет наклон -1.

В качестве обобщения этого практического описания математика дифференциального исчисления определяет наклон кривой в точке как наклон касательной . в этот момент. Когда кривая задается серией точек на диаграмме или в списке координат точек, наклон может быть вычислен не в точке, а между любыми двумя заданными точками. Когда кривая задана как непрерывная функция, возможно, как алгебраическая формула, тогда дифференциальное исчисление предоставляет правила, дающие формулу для наклона кривой в любой точке в середине кривой.

Это обобщение концепции уклона позволяет планировать и строить очень сложные конструкции, которые выходят далеко за рамки статических структур, которые являются горизонтальными или вертикальными, но могут меняться во времени, перемещаться по кривой и изменяться в зависимости от скорость изменения других факторов. Таким образом, простая идея склона становится одной из основных основ современного мира как с точки зрения технологий, так и с точки зрения застроенной среды.

Содержание
  • 1 Определение
    • 1.1 Примеры
  • 2 Алгебра и геометрия
    • 2.1 Примеры
  • 3 Статистика
  • 4 Уклон дороги или железной дороги
  • 5 Расчет
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки
Определение
Наклон показан для y = (3/2) x - 1. Щелкните, чтобы увеличить Наклон линии в системе координат, от f (x) = - 12x + 2 до f (x) = 12x + 2

Наклон линии на плоскости, содержащей оси x и y, обычно обозначается буквой m и определяется как изменение координата y, деленная на соответствующее изменение координаты x между двумя различными точками на линии. Это описывается следующим уравнением:

m = Δ y Δ x = вертикальное изменение горизонтальное изменение = подъем по высоте. {\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {{\ text {vertical}} \, {\ text {change}}} {{\ text {horizontal}} \, {\ text {change}}}} = {\ frac {\ text {rise}} {\ text {run}}}.}m = \ frac {\ Delta y} { \ Delta x} = \ frac {\ text {vertical} \, \ text {change}} {\ text {horizontal} \, \ text {change}} = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run }}.

(Греческая буква delta, Δ, обычно используется в математике для обозначения «различия» или «изменения».)

Учитывая две точки (x 1,y1) и (x 2,y2), изменение x от одного к другому составляет x 2 - x 1 (бег), а изменение y равно y 2 - y 1 (рост). Подстановка обеих величин в приведенное выше уравнение дает формулу:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1. {\ displaystyle m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}m = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}.

Формула не работает для вертикальной линии, параллельной оси y ( см. Деление на ноль ), где наклон можно принять как бесконечное, поэтому наклон вертикальной линии считается неопределенным.

Примеры

Предположим, что линия проходит через две точки: P = (1, 2) и Q = (13, 8). Разделив разницу в координатах y на разницу в координатах x, можно получить наклон прямой:

m = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 8 - 2 13 - 1 = 6 12 = 1 2 {\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ { 1}}} = {\ frac {8-2} {13-1}} = {\ frac {6} {12}} = {\ frac {1} {2}}}m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \ frac {8 - 2} {13 - 1} = \ frac { 6} {12} = \ frac {1} {2} .
Поскольку наклон положительный, направление линии увеличивается. Поскольку | m | <1, the incline is not very steep (incline <45°).

В качестве другого примера рассмотрим прямую, проходящую через точки (4, 15) и (3, 21). Тогда наклон линии равен

m = 21-15 3-4 = 6-1 = - 6. {\ displaystyle m = {\ frac {21-15} {3-4}} = {\ frac {6} {- 1}} = - 6.}m = \ frac {21-15} {3-4} = \ frac {6} {- 1} = -6.
Поскольку наклон отрицательный, направление линии уменьшается. Поскольку | m |>1, это снижение довольно крутое (падение>45 °).
Алгебра и геометрия
  • Если y является линейной функцией от x, то коэффициент при x является наклон линии, созданной при построении функции. Следовательно, если уравнение прямой задано в форме
y = m x + b {\ displaystyle y = mx + b}{\ displaystyle y = mx + b}
, то m - это наклон. Эта форма уравнения линии называется формой пересечения наклона, потому что b можно интерпретировать как точку пересечения y линии, то есть координату y, в которой линия пересекает ось y.
  • Если наклон m линии и точка (x 1,y1) на линии оба известны, то уравнение прямой можно найти с помощью формулы угла наклона точки :
y - y 1 = м (х - х 1). {\ displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1}).}{\ displaystyle y- y_ {1} = m (x-x_ {1}).}
ax + by + c = 0 {\ displaystyle ax + by + c = 0}{\ displaystyle ax + by + c = 0}
is
- ab {\ displaystyle - {\ frac {a} {b}}}{\ displaystyle - {\ frac {a} {b}}} .
  • Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не являются одной и той же линией (совпадают), и либо их наклоны равны, либо они оба вертикальны и, следовательно, оба имеют неопределенный наклон. Две прямые являются перпендикулярными, если произведение их наклонов равно -1 или одна имеет наклон 0 (горизонтальная линия), а другая - неопределенный наклон (вертикальная линия).
  • Угол θ между -90 ° и 90 °, который линия образует с осью x, связан с наклоном m следующим образом:
m = tan ⁡ (θ) {\ displaystyle m = \ tan (\ theta)}m = \ tan (\ theta)
и
θ = arctan ⁡ (m) {\ displaystyle \ theta = \ arctan (m)}\ theta = \ arctan (m) (это функция, обратная касательной; см. обратные тригонометрические функции ).

Примеры

Например, рассмотрим линию, проходящую через точки (2,8) и (3,20). Эта линия имеет наклон, м, равный

(20-8) (3 - 2) = 12. {\ displaystyle {\ frac {(20-8)} {(3-2)}} \; = 12.}{\ displaystyle {\ frac {(20-8)} {(3-2)}} \; = 12.}

Затем можно записать уравнение линии в форме точечного уклона:

y - 8 = 12 (x - 2) = 12 x - 24 {\ displaystyle y-8 = 12 (x-2) = 12x-24}{\ displaystyle y-8 = 12 (x-2) = 12x-24}

или:

y = 12 x - 16. {\ displaystyle y = 12x-16.}{\ displaystyle y = 12x-16.}

Угол θ между -90 ° и 90 °, который эта линия образует с осью x, равен

θ = arctan ⁡ (12) ≈ 85,2 ∘. {\ displaystyle \ theta = \ arctan (12) \ приблизительно 85.2 ^ {\ circ} \,.}\ theta = \ arctan (12) \ приблизительно 85,2 ^ {\ circ} \,

Рассмотрим две прямые: y = −3x + 1 и y = −3x - 2. Обе линии имеют наклон m. = −3. Это не одна и та же линия. Итак, это параллельные линии.

Рассмотрим две прямые y = −3x + 1 и y = x / 3 - 2. Наклон первой прямой равен m 1 = −3. Наклон второй линии равен m 2 = 1/3. Произведение этих двух наклонов равно -1. Итак, эти две линии перпендикулярны.

Статистика

В статистической математике, градиент регрессии наименьших квадратов линии наилучшего соответствия для данного линейного распределения данных. числовое значение, не содержащее выбросов, может быть записано как m = rsysx {\ displaystyle m = {\ frac {rs_ {y}} {s_ {x}}}}{\ displaystyle m = {\ frac {rs_ {y}} {s_ {x}}}} , где m {\ displaystyle m}м определяется как статистический градиент для линии наилучшего соответствия (y = mx + c {\ displaystyle y = mx + c}{\ displaystyle y = mx + c} ), r {\ displaystyle r}р - коэффициент корреляции Пирсона, sy {\ displaystyle s_ {y}}s_ {y} - стандартное отклонение значений y и sx {\ displaystyle s_ {x}}s_ {x} - стандартное отклонение значений x. Это также может быть записано как отношение ковариаций :

m = cov ⁡ (Y, X) cov ⁡ (X, X) {\ displaystyle m = {\ frac {\ operatorname {cov} (Y, X)} {\ operatorname {cov} (X, X)}}}{\ displaystyle m = {\ frac {\ operatorname {cov} (Y, X)} {\ Opera torname {cov} (X, X)}}}

Уклон дороги или железной дороги
Основные статьи: Уклон (уклон), Разделение уклонов

Есть два распространенных способа описать крутизну дороги дороги или железной дороги. Один - это угол между 0 ° и 90 ° (в градусах), а другой - уклон в процентах. См. Также железная дорога с крутым уклоном и зубчатая железная дорога.

Формулы для преобразования уклона, заданного в процентах, в угол в градусах и наоборот:

угол = арктангл ⁡ (уклон 100 %) {\ displaystyle {\ text {angle}} = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {slope}} {100 \%}} \ right)}{\ displaystyle {\ text {angle}} = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {slope}} {100 \%}} \ right)} , (это обратное функция касательной; см. тригонометрия )
и
slope = 100% ⋅ tan ⁡ (угол), {\ displaystyle {\ t_dv {slope}} = 100 \% \ cdot \ tan ({\ t_dv { angle}}),}{\ displaystyle {\ t_dv {slope}} = 100 \ % \ cdot \ tan ({\ t_dv {angle}}),}

, где угол выражается в градусах, а тригонометрические функции работают в градусах. Например, наклон 100 % или 1000 - это угол 45 °.

Третий способ - указать на одну единицу подъема, скажем, 10, 20, 50 или 100 единиц по горизонтали, например 1:10. 1:20, 1:50 или 1: 100 (или «1 в 10 дюймов, 1 в 20 и т. д.). Обратите внимание, что 1:10 больше, чем 1:20. Например, крутизна 20% означает 1: 5 или наклон с углом 11,3 °.

Дороги и железные дороги имеют как продольные, так и поперечные уклоны.

Расчет
В каждой точке производная - это наклон линии , которая является касательной к кривой в этой точке. Примечание: производная в точке A положительная, где зеленый и пунктирная, отрицательная,, когда красная и пунктирная, и ноль, где черная и сплошная.

Концепция наклона является центральной в дифференциальном исчислении. Для нелинейных функций скорость изменения изменяется вдоль кривой. производная функции в точке - это наклон прямой касательной к кривой в этой точке, и, таким образом, она равна скорости изменения функции в этой точке.

Если мы позволим Δx и Δy быть расстояниями (по осям x и y, соответственно) между двумя точками на кривой, то наклон, заданный приведенным выше определением,

m = Δ y Δ x {\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} ,

- наклон секущей линии к кривой. Для линии секущая между любыми двумя точками - это сама линия, но это не относится к любому другому типу кривой.

Например, наклон секущей, пересекающей y = x в точках (0,0) и (3,9), равен 3. (Наклон касательной в точке x = ⁄ 2 также равно 3 - следствие теоремы о среднем значении.)

При перемещении двух точек ближе друг к другу, так что Δy и Δx уменьшаются, секущая линия более точно приближается к касательной к кривая, и поэтому наклон секущей приближается к наклону касательной. Используя дифференциальное исчисление, мы можем определить предел или значение, к которому Δy / Δx приближается по мере приближения Δy и Δx к нулю ; отсюда следует, что этот предел и есть точный наклон касательной. Если y зависит от x, то достаточно выбрать предел, при котором только Δx стремится к нулю. Следовательно, наклон касательной является пределом Δy / Δx, когда Δx приближается к нулю, или dy / dx. Мы называем этот предел производной.

dydx = lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}\ frac {dy } {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x}

Его значение в точке функции дает нам наклон касательной в этой точке. Например, пусть y = x. Балл этой функции равен (-2,4). Производная этой функции / dx = 2x. Таким образом, наклон касательной к y в точке (-2,4) равен 2 · (-2) = -4. Уравнение этой касательной: y-4 = (- 4) (x - (- 2)) или y = -4x - 4.

См. Также
Ссылки
Внешние ссылки
Найдите slope в Wiktionary, бесплатном словаре.
Последняя правка сделана 2021-06-08 06:03:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте