Производная Шварца

Нелинейный дифференциальный оператор, используемый для изучения конформных отображений

В математике, Производная Шварца, названная в честь немецкого математика Германа Шварца, представляет собой некий оператор, инвариантный относительно всех преобразований Мёбиуса. Таким образом, это встречается в теории комплексной проективной прямой и, в частности, в теории модулярных форм и гипергеометрических функций. Он играет важную роль в теории однолистных функций, конформных отображений и пространств Тейхмюллера.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Дифференциальное уравнение
• 4 Условия однолистности
• 5 Конформное отображение многоугольников дуг окружности
• 6 Сложная структура на пространстве Тейхмюллера
• 7 Группа диффеоморфизмов окружности
  • 7.1 Скрещенные гомоморфизмы
  • 7.2 Центральные расширения
  • 7.3 Коприсоединенное действие
• 8 Псевдогруппы и связи
• 9 Примечания
• 10 Ссылки

Производная Шварца голоморфной функции f от единицы комплексная переменная z определяется как

$(S\; f)\; (z)\; =\; (f\; ″\; (z)\; f\; \prime \; (z))\; \prime \; -\; 1\; 2\; (f\; ″\; (z)\; f\; \prime \; (z))\; 2\; =\; f\; ‴\; (z)\; f\; \prime \; (z)\; -\; 3\; 2\; (f\; ″\; (z)\; f\; \prime \; (z))\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (Sf)\; (z)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}\text{'}\; (z)\}\; \{f\; \text{'}(z)\}\}\; \backslash \; right)\text{'}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\; \{f\; \text{'}\text{'}\; (z)\; \backslash \; over\; f\; \text{'}(z)\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\; \text{'}\text{'}\; (z)\}\; \{f\; \text{'}(z)\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{f\; \text{'}\text{'}\; (z)\; \backslash \; over\; f\; \text{'}(z)\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Эта же формула также определяет производную Шварца функции C одной действительной переменной. Часто используется альтернативное обозначение

$\{f,\; z\}\; =\; (S\; f)\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f,\; z\; \backslash \}\; =\; (Sf)\; (z)\}$

.

Производная Шварца любого преобразования Мёбиуса

$g\; (z)\; =\; az\; +\; bcz\; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{az\; +\; b\}\; \{cz\; +\; d\}\}\}$

равно нулю. И наоборот, преобразования Мёбиуса - единственные функции, обладающие этим свойством. Таким образом, производная Шварца точно измеряет степень, в которой функция не может быть преобразованием Мёбиуса.

Если g - преобразование Мёбиуса, то композиция g o f имеет ту же производную Шварца, что и f; а с другой стороны, производная Шварца от f o g задается цепным правилом

$(S\; (f\; \circ \; g))\; (z)\; =\; (S\; f)\; (g\; (\; z))\; \cdot \; g\; \prime \; (z)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\; (f\; \backslash \; circ\; g))\; (z)\; =\; (Sf)\; (g\; (z))\; \backslash \; cdot\; g\; \text{'}(z)\; ^\; \{2\}.\}$

В общем, для любых достаточно дифференцируемых функций f и g

$S\; (f\; \circ \; g)\; =\; (S\; (f)\; \circ \; g)\; \cdot \; (g\; \text{'})\; 2\; +\; S\; (g).\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (е\; \backslash \; circ\; g)\; =\; \backslash \; left\; (S\; (f)\; \backslash \; circ\; g\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; (g\; \text{'})\; ^\; \{2\}\; +\; S\; (g).\}$

Это делает производную Шварца важный инструмент в одномерной динамике, поскольку он подразумевает, что все итерации функции с отрицательным шварцианом также будут иметь отрицательный шварциан.

Представляем функцию двух комплексных переменных

$F\; (z,\; w)\; =\; log\; \; (f\; (z)\; -\; f\; (w)\; z\; -\; w),\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z,\; w)\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\; -f\; (w)\}\; \{zw\}\}\; \backslash \; right),\}$

его вторая смешанная частная производная дается выражением

$\partial \; 2\; F\; (z,\; w)\; \partial \; Z\; \partial \; вес\; знак\; равно\; е\; \text{'}(z)\; е\text{'}\; (вес)\; (е\; (z)\; -\; f\; (ш))\; 2-1\; (z\; -\; ш)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; F\; (z,\; w)\}\; \{\backslash \; partial\; z\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; w\}\}\; =\; \{f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (z)\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w)\; \backslash \; over\; (f\; (z)\; -f\; (w))\; ^\; \{2\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; (zw)\; ^\; \{2\}\},\}$

, а производная Шварца задается формулой:

$(S\; f)\; (w)\; =\; 6\; \cdot \; \partial \; 2\; F\; (\; z,\; w)\; \partial \; z\; \partial \; w\; |\; г\; =\; ш.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (Sf)\; (ш)\; =\; \backslash \; left.6\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; F\; (z,\; w)\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; z\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; w\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; \_\; \{z\; =\; w\}.\}$

Производная Шварца имеет простую формулу обращения, заменяющую зависимые и независимые переменные. Один имеет

$(S\; w)\; (v)\; =\; -\; (dwdv)\; 2\; (S\; v)\; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; (Sw)\; (v)\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dw\}\; \{dv\}\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\; (Sv)\; (w)\}$

что следует из теоремы об обратной функции, а именно, что $v\; \prime \; (w)\; =\; 1\; /\; w\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \text{'}(w)\; =\; 1\; /\; w\text{'}.\}$

Производная Шварца имеет фундаментальную связь с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка в комплексной плоскости. Пусть $f\; 1\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (z)\}$и $f\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\; (z)\}$быть двумя линейно независимыми голоморфными решениями

$d\; 2\; fdz\; 2\; +\; Q\; (z)\; f\; (z)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{\; 2\}\; f\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; Q\; (z)\; f\; (z)\; =\; 0.\}$

Тогда отношение $g\; (z)\; =\; f\; 1\; (z)\; /\; f\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (z)\; =\; f\_\; \{1\}\; (z)\; /\; f\_\; \{2\}\; (z)\}$удовлетворяет

$(S\; g)\; (z)\; =\; 2\; Q\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (Sg)\; (z)\; =\; 2Q\; (z)\}$

над доменом, в котором $f\; 1\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (z)\}$и $f\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\; (z)\}$определены, а $f\; 2\; (z)\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\; (z)\; \backslash \; neq\; 0.\; \}$Верно и обратное: если такой флаг существует, и он голоморфен в односвязной области, то два решения $f\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\}\; Можно\; найти$и $f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\}$, и, кроме того, они являются уникальными вплоть до общего масштабного коэффициента.

Когда линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка может быть приведено к приведенной выше форме, результирующее значение Q иногда называют значением Q уравнения.

Обратите внимание, что гипергеометрическое дифференциальное уравнение Гаусса может быть приведено к приведенной выше форме, и, таким образом, пары решений гипергеометрического уравнения связаны таким образом.

Если f является голоморфной функцией на единичном диске, D, то В. Краус (1932) и Нехари (1949) доказал, что необходимое условие для однолистности is

$|\; S\; (f)\; |\; \le \; 6\; (1\; -\; |\; z\; |\; 2)\; -\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; S\; (f)\; |\; \backslash \; leq\; 6\; (1-\; |\; z\; |\; ^\; \{2\})\; ^\; \{-\; 2\}.\}$

И наоборот, если f (z) является голоморфной функцией на D удовлетворяющий

$|\; S\; (f)\; (z)\; |\; \le \; 2\; (1\; -\; |\; z\; |\; 2)\; -\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; S\; (f)\; (z)\; |\; \backslash \; leq\; 2\; (1-\; |\; z\; |\; ^\; \{2\})\; ^\; \{-\; 2\},\}$

тогда Нехари доказал, что f однолистно.

В частности, достаточным условием однолистности является

$|\; S\; (f)\; |\; \le \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; S\; (f)\; |\; \backslash \; leq\; 2.\}$

Производная Шварца и соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка могут использоваться для определения Отображение Римана между верхней полуплоскостью или единичной окружностью и любым ограниченным многоугольником в комплексной плоскости, края которого являются дугами окружности или прямыми линиями. Для многоугольников с прямыми краями это сводится к отображению Шварца – Кристоффеля, которое может быть получено напрямую без использования производной Шварца. Дополнительные параметры, которые возникают как константы интегрирования, связаны с собственными значениями дифференциального уравнения второго порядка. Уже в 1890 году Феликс Клейн изучил случай четырехугольника в терминах дифференциального уравнения Ламе.

Пусть Δ - многоугольник в виде дуги окружности с углами πα 1,..., πα n по часовой стрелке. Пусть f: H → ∆ - голоморфное отображение, непрерывно продолжающееся до отображения между границами. Пусть вершины соответствуют точкам a 1,..., a n на действительной оси. Тогда p (x) = S (f) (x) вещественнозначен для вещественного x, а не для одной из точек. По принципу отражения Шварца p (x) продолжается до рациональной функции на комплексной плоскости с двойным полюсом в i:

$p\; (z)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (1\; -\; \alpha \; i\; 2)\; 2\; (z\; -\; ai)\; 2\; +\; \beta \; iz\; -\; ai.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{(1-\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\})\}\; \{2\; (z-a\_\; \{i\})\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{i\}\}\; \{z-a\_\; \{i\}\}\}.\}$

Действительные числа β i называются дополнительными параметрами. Они подчиняются трем линейным ограничениям:

$i\; \beta \; i\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; =\; 0\}$

$\sum \; 2\; ai\; \beta \; i\; +\; (1\; -\; \alpha \; i\; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; 2a\_\; \{i\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

$\sum \; ai\; 2\; \beta \; i\; +\; ai\; (1\; -\; \alpha \; i\; 2)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; +\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

, которые соответствуют обращению в нуль коэффициентов $z\; -\; 1,\; z\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{-\; 1\},\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}$и $z\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{-\; 3\}\}$в разложении p (z) вокруг z = ∞. Тогда отображение f (z) можно записать как

$f\; (z)\; =\; u\; 1\; (z)\; u\; 2\; (z),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{u\_\; \{1\}\; (z)\; \backslash \; over\; u\_\; \{\; 2\}\; (z)\},\}$

где $u\; 1\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{1\}\; (z)\}$и $u\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{2\}\; (z)\}$- линейно независимые голоморфные решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

$u\; \prime \; \prime \; (z)\; +\; 1\; 2\; p\; (z)\; u\; (z)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; (z)\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; p\; (z)\; u\; (z)\; =\; 0.\}$

Есть n − 3 линейно независимых дополнительных параметра, что может быть сложно определить на практике.

Для треугольника, когда n = 3, нет дополнительных параметров. Обыкновенное дифференциальное уравнение эквивалентно гипергеометрическому дифференциальному уравнению, а f (z) - это функция треугольника Шварца, которую можно записать в терминах гипергеометрических функций.

Для В четырехугольнике дополнительные параметры зависят от одной независимой переменной λ. Записывая U (z) = q (z) u (z) для подходящего выбора q (z), обыкновенное дифференциальное уравнение принимает вид

$a\; (z)\; U\; \prime \; \prime \; (z)\; +\; b\; (z)\; U\; \prime \; (Z)\; +\; (с\; (z)\; +\; \lambda )\; U\; (z)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (z)\; U\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; (z)\; +\; b\; (z)\; U\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (\; z)\; +\; (c\; (z)\; +\; \backslash \; lambda)\; U\; (z)\; =\; 0.\}$

Таким образом, $q\; (z)\; ui\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (z)\; u\_\; \{i\}\; (z)\}$- собственные функции уравнения Штурма – Лиувилля на интервале $[ai,\; ai\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a\_\; \{i\},\; a\_\; \{i\; +\; 1\}]\}$. Согласно теореме о разделении Штурма, ненулевое значение $u\; 2\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{2\}\; (z)\}$заставляет λ быть наименьшим собственным значением.

Универсальное пространство Тейхмюллера определяется как пространство вещественно-аналитических квазиконформных отображений единичного диска D, или, что эквивалентно, верхняя полуплоскость H, на себя, причем два отображения считаются эквивалентными, если на границе одно получается из другого путем композиции с преобразованием Мёбиуса. Отождествляя D с нижней полусферой сферы Римана, любое квазиконформное отображение f нижнего полушария естественно соответствует конформному отображению верхнего полушария $f\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{f\}\}\}$на себя. Фактически $f\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{f\}\}\}$определяется как ограничение на верхнюю полусферу решения дифференциального уравнения Бельтрами

$\partial \; F\; \partial \; z\; ¯\; знак\; равно\; \mu \; (z)\; \partial \; F\; \partial \; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}\}\; =\; \backslash \; mu\; (z)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\; \backslash \; partial\; z\}\},\}$

где μ - ограниченная измеримая функция, определенная как

$\mu \; (z)\; =\; (\partial \; f\; \partial \; z\; ¯)\; (\partial \; f\; \partial \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (z)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

в нижнем полушарии, расширен до 0 в верхнем полушарии.

Идентификация верхнего полушария с помощью D, Липмана Берс использовала производную Шварца для определения отображения

$g\; =\; S\; (f\; ~),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; S\; (\{\backslash \; тильда\; \{f\}\}),\}$

который вкладывает универсальное пространство Тейхмюллера в открытое подмножество U пространства ограниченных голоморфных функций g на D с равномерной нормой. Фредерик Геринг в 1977 году показал, что U является внутренностью замкнутого подмножества производных Шварца однолистных функций.

Для компактной римановой поверхности S рода больше 1, его универсальное накрывающее - это единичный круг D, на котором его фундаментальная группа Γ действует преобразованиями Мёбиуса. Пространство Тейхмюллера в S можно отождествить с подпространством универсального пространства Тейхмюллера, инвариантного относительно Γ. Голоморфные функции g обладают тем свойством, что

$g\; (z)\; dz\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (z)\; \backslash ,\; dz\; ^\; \{2\}\}$

инвариантен относительно Γ, поэтому определяют квадратичные дифференциалы на S. Таким образом, пространство Тейхмюллера группы S реализуется как открытое подпространство конечномерного комплексного векторного пространства квадратичных дифференциалов на S.

Скрещенные гомоморфизмы

Свойство преобразования

$S\; (f\; \circ \; g)\; =\; (S\; (f)\; \circ \; g)\; \cdot \; (g\; \prime )\; 2\; +\; S\; (g).\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (е\; \backslash \; circ\; g)\; =\; \backslash \; left\; (S\; (f)\; \backslash \; circ\; g\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; (g\; \text{'})\; ^\; \{2\}\; +\; S\; (g).\}$

позволяет производной Шварца быть интерпретируется как непрерывный 1-коцикл или скрещенный гомоморфизм группы диффеоморфизмов окружности с коэффициентами в модуле плотностей степени 2 на окружности. Пусть F λ(S) будет пространством тензорных плотностей степени λ на S . Группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S, Diff (S ) действует на F λ(S) через , продвигая вперед. Если f является элементом Diff (S ), тогда рассмотрим отображение

$f\; \to \; S\; (f\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; to\; S\; (f\; ^\; \{-\; 1\}).\}$

На языке групповых когомологий приведенное выше цепное правило гласит, что это отображение является 1-коциклом на Diff ( S ) с коэффициентами в F 2(S). Фактически

$H\; 1\; (Diff\; (S\; 1);\; F\; 2\; (S\; 1))\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (\{\backslash \; text\; \{Diff\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\})\; ;\; F\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\}))\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$

и 1-коцикл, порождающий когомологии, есть f → S (f). Вычисление 1-когомологий является частным случаем более общего результата

$H\; 1\; (Diff\; (S\; 1);\; F\; \lambda \; (S\; 1))\; =\; R\; f\; o\; r\; \lambda \; =\; 0,\; 1,\; 2\; a\; n\; d\; (0)\; o\; t\; h\; e\; r\; w\; i\; s\; e.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (\{\backslash \; text\; \{Diff\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\});\; F\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\}))\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\; \}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{for\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; =\; 0,1,2\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{and\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; (0)\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{в\; противном\; случае.\}\}$

Заметим, что если G - группа, а M - G-модуль, то тождество, определяющее скрещенный гомоморфизм c группы G в M, может быть выражено в терминах стандартных гомоморфизмов групп: оно закодировано в гомоморфизме φ группы G в полупрямое произведение $M\; ⋊\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; rtimes\; G\}$такое, что композиция φ с проекцией $M\; ⋊\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; rtimes\; G\}$на G - тождественное отображение; соответствие осуществляется отображением C (g) = (c (g), g). Скрещенные гомоморфизмы образуют векторное пространство и содержат в качестве подпространства кограничные скрещенные гомоморфизмы b (g) = g ⋅ m - m для m в M. Простой аргумент усреднения показывает, что если K - компактная группа, а V - топологическое векторное пространство на котором K действует непрерывно, то высшие группы когомологий обращаются в нуль H (K, V) = (0) при m>0. n, в частности, для 1-коциклов χ с

$\chi \; (xy)\; =\; \chi \; (x)\; +\; x\; \cdot \; \chi \; (y),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (xy)\; =\; \backslash \; chi\; (x)\; +\; x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; chi\; (y)),\}$

усреднение по y с использованием левого инварианта меры Хаара на K дает

$\chi \; (x)\; =\; m\; -\; x\; \cdot \; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (x)\; =\; mx\; \backslash \; cdot\; m,\}$

, где

$m\; =\; \int \; K\; \chi \; (y)\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; \backslash \; chi\; (y)\; \backslash ,\; dy.\}$

Таким образом, усредняя, ​​можно предположить, что c удовлетворяет условию нормализации c (x) = 0 для x в Rot (S ). Обратите внимание, что если для любого элемента x в G выполняется c (x) = 0, то C (x) = (0, x). Но тогда, поскольку C - гомоморфизм, C (xgx) = C (x) C (g) C (x), так что c удовлетворяет условию эквивариантности c (xgx) = x ⋅ c (g). Таким образом, можно предположить, что коцикл удовлетворяет этим условиям нормализации для Rot (S ). На самом деле производная Шварца обращается в нуль, если x - преобразование Мёбиуса, соответствующее SU (1,1). Два других 1-цикла, обсуждаемых ниже, исчезают только на Rot (S ) (λ = 0, 1).

Существует бесконечно малая версия этого результата, дающая 1-коцикл для Vect (S ), алгебры Ли гладких векторных полей и, следовательно, для Алгебра Витта, подалгебра тригонометрических полиномиальных векторных полей. Действительно, когда G группа Ли и действие G на M гладкое, существует алгебраическая версия скрещенного гомоморфизма Ли, полученная взятием соответствующих гомоморфизмов алгебр Ли (производных гомомотизмов в единицу). Это также имеет смысл для Diff (S ) и приводит к 1-коциклу

$s\; (fdd\; \theta )\; =\; d\; 3\; fd\; \theta \; 3\; (d\; \theta )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; left\; (f\; \backslash ,\; \{d\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; right)\; =\; \{d\; ^\; \{3\}\; f\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{3\}\}\; \backslash ,\; (d\; \backslash \; theta)\; ^\; \{2\}\}$

который удовлетворяет тождеству

$s\; ([X,\; Y])\; =\; X\; \cdot \; s\; (Y)\; -\; Y\; \cdot \; s\; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ([X,\; Y])\; =\; X\; \backslash \; cdot\; s\; (Y)\; -Y\; \backslash \; cdot\; s\; (X).\}$

В случае алгебры Ли кограничные отображения имеют вид b (X) = X ⋅ m вместо m в M. В обоих случаях 1-когомологии определяется как пространство скрещенных гомоморфизмов по модулю кограниц. Естественное соответствие между гомоморфизмами групп и гомоморфизмами алгебры Ли приводит к «отображению включения van Est»

$H\; 1\; (Diff\; \; (S\; 1);\; F\; \lambda \; (S\; 1))\; \hookrightarrow \; H\; 1\; (Vect\; \; (S\; 1);\; F\; \lambda \; (S\; 1)),\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; Operatorname\; \{Diff\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\});\; F\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\}))\; \backslash \; hookrightarrow\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Vect\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\});\; F\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\})),\}$

В этом способ сводится к вычислению когомологий алгебры Ли. По непрерывности это сводится к вычислению скрещенных гомоморфизмов φ алгебры Витта в F λ(S). Условия нормализации на групповом скрещенном гомоморфизме подразумевают следующие дополнительные условия для φ:

$\phi \; (Ad\; \; (x)\; X)\; =\; x\; \cdot \; \phi \; (X),\; \phi \; (d\; /\; d\; \theta )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; operatorname\; \{Ad\}\; (x)\; X)\; =\; x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; varphi\; (X),\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (d\; /\; d\; \backslash \; theta)\; =\; 0\}$

для x в Rot (S ).

Следуя соглашениям Kac Raina (1987), базис алгебры Витта определяется выражением

$dn\; =\; iein\; \theta \; dd\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\}\; =\; ie\; ^\; \{in\; \backslash \; theta\}\; \backslash ,\; \{d\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; theta\}\}$

так, чтобы [d m,dn] = (m - n) d m + n. Основа для комплексификации F λ(S) дается формулой

$vn\; =\; ein\; \theta \; (d\; \theta )\; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{n\}\; =\; e\; ^\; \{in\; \backslash \; theta\}\; \backslash ,\; (d\; \backslash \; theta)\; ^\; \{\backslash \; lambda\},\}$

так, чтобы

$dm\; \cdot \; vn\; =\; -\; (n\; +\; \lambda \; m)\; vn\; +\; m,\; g\; \zeta \; \cdot \; vn\; =\; \zeta \; nvn,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; v\_\; \{n\}\; =\; -\; (n\; +\; \backslash \; lambda\; m)\; v\_\; \{n\; +\; m\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; g\; \_\; \{\backslash \; zeta\}\; \backslash \; cdot\; v\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; zeta\; ^\; \{n\}\; v\_\; \{n\},\}$

для g ζ в Rot (S ) = T . Это вынуждает φ (d n) = a n ⋅ v n для подходящих коэффициентов a n. Условие скрещенного гомоморфизма φ ([X, Y]) = Xφ (Y) - Yφ (X) дает рекуррентное соотношение для a n:

$(m\; -\; n)\; am\; +\; n\; =\; (m\; +\; \lambda \; n)\; am\; -\; (\; п\; +\; \lambda \; м)\; ан.\; \{\backslash \; displaystyle\; (mn)\; a\_\; \{m\; +\; n\}\; =\; (m\; +\; \backslash \; lambda\; n)\; a\_\; \{m\}\; -\; (n\; +\; \backslash \; lambda\; m)\; a\_\; \{n\}.\}$

Условие φ (d / dθ) = 0, означает, что a 0 = 0. Из этого условия и рекуррентного соотношения следует, что с точностью до скалярных кратных оно имеет единственное ненулевое решение, когда λ равно 0, 1 или 2 и только нулевое решение. в противном случае. Решение для λ = 1 соответствует группе 1-коциклу $\phi \; 1\; (f)\; =\; f\; \prime \; \prime \; /\; f\; \prime \; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (f)\; =\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\; \}\; /\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\}$. Решение для λ = 0 соответствует групповому 1-коциклу φ 0 (f) = log f '. Соответствующие 1-коциклы алгебры Ли для λ = 0, 1, 2 задаются с точностью до скалярного кратного следующим образом:

$\phi \; \lambda \; (F\; d\; d\; \theta )\; =\; d\; \lambda \; +\; 1\; F\; d\; \theta \; \lambda \; +\; 1\; (d\; \theta )\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash \; left\; (F\; \{d\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; right)\; =\; \{d\; ^\; \{\backslash \; lambda\; +1\}\; F\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{\backslash \; lambda\; +1\}\}\; \backslash ,\; (d\; \backslash \; theta)\; ^\; \{\backslash \; lambda\}.\}$

Центральные расширения

Скрещенные гомоморфизмы, в свою очередь, порождают центральное расширение Diff (S ) и его Ли алгебра Vect (S ), так называемая алгебра Вирасоро.

Коприсоединенное действие

Группа Diff (S ) и ее центральное расширение также появляются естественно, в контексте теории Тейхмюллера и теории струн. Фактически, гомеоморфизмы S, индуцированные квазиконформными отображениями в себя D, в точности являются квазисимметричными гомеоморфизмами S ; это в точности гомеоморфизмы, которые не отправляют четыре точки с перекрестным отношением 1/2 в точки с перекрестным отношением около 1 или 0. Принимая граничные значения, универсальный Тейхмюллер можно отождествить с фактором группы квазисимметричных гомеоморфизмов QS (S ) подгруппой преобразований Мёбиуса Moeb (S ). (Это также может быть естественно реализовано как пространство квазициклов в C .) Поскольку

$Moeb\; \; (S\; 1)\; \subset \; Diff\; \; (S\; 1)\; \subset \; QS\; (S\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Moeb\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\})\; \backslash \; subset\; \backslash \; operatorname\; \{Diff\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\})\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; text\; \{QS\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{1\})\}$

однородное пространство Diff (S ) / Moeb (S ) естественным образом является подпространством универсального пространства Тейхмюллера.. Это также, естественно, комплексное многообразие, и эта и другие естественные геометрические структуры совместимы с таковыми в пространстве Тейхмюллера. Двойник алгебры Ли Diff (S ) можно отождествить с пространством операторов Хилла на S

$d\; 2\; d\; \theta \; 2\; +\; q\; (\theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\; +\; q\; (\backslash \; theta),\}$

и коприсоединенное действие для Diff (S ) вызывает Шварцева производная. Обратный к диффеоморфизму f переводит оператор Хилла в

$d\; 2\; d\; \theta \; 2\; +\; f\; \prime \; (\theta )\; 2\; q\; \circ \; f\; (\theta )\; +\; 1\; 2\; S\; (f)\; (\theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\; +\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (\backslash \; theta)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; q\; \backslash \; circ\; f\; (\backslash \; theta)\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; S\; (f)\; (\backslash \; theta).\}$

Производная Шварца и другой 1-коцикл, определенные на Diff (S ), могут быть продолжается до биголоморфных между открытыми множествами на комплексной плоскости. В этом случае локальное описание приводит к теории аналитических псевдогрупп, формализуя теорию бесконечномерных групп и алгебр Ли, впервые изученную Эли Картаном в 1910-х годах. Это связано с аффинными и проективными структурами на римановых поверхностях, а также с теорией шварцианских или проективных связностей, обсуждаемой Ганнингом, Шиффером и Хоули.

Голоморфная псевдогруппа Γ на C состоит из набора биголоморфизмов f между открытыми множествами U и V в C, который содержит тождественные отображения для каждого открытого U, которое замкнуто при ограничении на открытые, которое замкнуто относительно композиции (когда это возможно), которое замкнуто относительно взятия обратных и такое, что если биголоморфизм локально лежит в Γ, то он тоже является в Γ. Псевдогруппа называется транзитивной, если для заданных z и w в C существует биголоморфизм f в Γ такой, что f (z) = w. Частным случаем транзитивных псевдогрупп являются те, которые являются плоскими, т.е. содержат все комплексные трансляции T b (z) = z + b. Пусть G - группа преобразованных формальных степенных рядов F (z) = a 1 z + a 2 z +.... с a 1 ≠ 0. Голоморфная псевдогруппа Γ определяет подгруппу A группы G, а именно подгруппу, определенную разложением в ряд Тейлора около 0 (или «струя» ) элементов f группы Γ. с f (0) = 0. Наоборот, если Γ плоская, она однозначно определяется A: биголоморфизм f на U содержится в Γ в тогда и только тогда, когда степенной ряд T –f (a) ∘ f ∘ T a лежит в A для каждого a из U: другими словами, формальный степенной ряд для f в a задается элементом из A с заменой z на z - a; или, более коротко, все струи f лежат в A.

Группа G имеет естественные гомоморфизмы на группу G k k-струй, получаемых взятием усеченного степенного ряда с точностью до термин z. Эта группа точно действует на пространстве многочленов степени k (усекая члены порядка выше k). Усечения аналогичным образом определяют гомоморфизмы G k на G k - 1 ; ядро состоит из отображений f с f (z) = z + bz, поэтому оно абелево. Таким образом, группа G k разрешима, что также ясно из того факта, что она имеет треугольную форму для базиса одночленов.

Плоская псевдогруппа Γ называется «определенной дифференциальными уравнениями», если существует конечное целое число k такое, что гомоморфизм A в G k точен и образ - замкнутая подгруппа. Наименьшее такое k называется порядком Γ. Существует полная классификация всех подгрупп A, которые возникают таким образом, которые удовлетворяют дополнительным предположениям, что образ A в G k является комплексной подгруппой и что G 1 равно C *: это означает, что псевдогруппа также содержит преобразования масштабирования S a (z) = az для a 0, т.е. содержит A, содержащий каждый полином az с a 0.

Единственная возможность в этом случае состоит в том, что k = 1 и A = {az: a 0}; или что k = 2 и A = {az / (1 − bz): a ≠ 0}. Первая - псевдогруппа, определяемая аффинной подгруппой комплексной группы Мёбиуса (преобразования z + b, фиксирующие ∞); последняя является псевдогруппой, определяемой всей комплексной группой Мёбиуса.

Эту классификацию легко свести к алгебраической задаче Ли, поскольку формальная алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$группы G состоит из формальных векторных полей F (z) d / dz с F формальным степенным рядом. Он содержит поля полиномиальных векторов с базисом d n = z d / dz (n ≥ 0), которая является подалгеброй алгебры Витта. Скобки Ли имеют вид [d m,dn] = (n - m) d m + n. Снова они действуют на пространство многочленов степени ≤ k посредством дифференцирования - его можно отождествить с C [[z]] / (z) - и изображениями d 0,..., d k - 1 дают базис алгебры Ли группы G k. Обратите внимание, что Ad (S a) d n = a d n. Пусть $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{a\}\}\}$обозначает алгебру Ли A: она изоморфна подалгебре алгебры Ли G k. Он содержит d 0 и инвариантен относительно Ad (S a). Поскольку $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{a\}\}\}$является подалгеброй Ли алгебры Витта, единственная возможность состоит в том, что она имеет базис d 0 или базис d 0, d n для некоторого n ≥ 1. Существуют соответствующие групповые элементы вида f (z) = z + bz +.... Сочетание этого со сдвигами дает T –f (ε) ∘ f ∘ T ε (z) = cz + dz +... с c, d ≠ 0. Если только n = 2, это противоречит виду подгруппы А; поэтому n = 2.

Производная Шварца связана с псевдогруппой комплексной группы Мёбиуса. Фактически, если f - биголоморфизм, определенный на V, то φ 2 (f) = S (f) - квадратичный дифференциал на V. Если g - бигомолорфизм, определенный на U и g (V) ⊆ U, S (f ∘ g) и S (g) - квадратичные дифференциалы на U; кроме того, S (f) - квадратичный дифференциал на V, так что g ∗ S (f) также является квадратичным дифференциалом на U. Тождество

$S\; (f\; \circ \; g)\; =\; g\; \ast \; S\; (\; е)\; +\; S\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (f\; \backslash \; circ\; g)\; =\; g\; \_\; \{*\}\; S\; (f)\; +\; S\; (g)\}$

, таким образом, аналог 1-коцикла для псевдогруппы биголоморфизмов с коэффициенты в голоморфных квадратичных дифференциалах. Аналогично $\phi \; 0\; (f)\; =\; журнал\; \; f\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; (f)\; =\; \backslash \; log\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$и $\phi \; 1\; (f)\; =\; f\; \prime \; \prime \; /\; f\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (f)\; =\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; /\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$являются 1-коциклами для того же псевдогруппа со значениями в голоморфных функциях и голоморфных дифференциалах. В общем случае 1-коцикл может быть определен для голоморфных дифференциалов любого порядка так, что

$\phi \; (f\; \circ \; g)\; =\; g\; \ast \; \phi \; (f)\; +\; \phi \; (g).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (f\; \backslash \; circ\; g)\; =\; g\; \_\; \{*\}\; \backslash \; varphi\; (f)\; +\; \backslash \; varphi\; (g).\}$

Применяя указанное выше тождество к отображению включения j, следует, что φ (j) = 0 ; и, следовательно, если f 1 является ограничением f 2, так что f 2 ∘ j = f 1, то φ (f 1) = φ (f 2). С другой стороны, если взять локальный голоморфный поток, определяемый голоморфными векторными полями, - экспоненту векторных полей, - голоморфная псевдогруппа локальных биголоморфизмов порождается голоморфными векторными полями. Если 1-коцикл φ удовлетворяет подходящим условиям непрерывности или аналитичности, он индуцирует 1-коцикл голоморфных векторных полей, также совместимый с ограничением. Соответственно, он определяет 1-коцикл на голоморфных векторных полях на C:

$\phi \; ([X,\; Y])\; =\; X\; \phi \; (Y)\; -\; Y\; \phi \; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; ([X,\; Y])\; =\; X\; \backslash \; varphi\; (Y)\; -Y\; \backslash \; varphi\; (X).\}$

Ограничение алгеброй Ли полиномиальных векторных полей с базисом d n = zd / dz (n ≥ −1), их можно определить с помощью тех же методов когомологий алгебры Ли (что и в предыдущем разделе о скрещенных гомоморфизмах). Там вычисление производилось для всей алгебры Витта, действующей на плотностях порядка k, тогда как здесь это просто для подалгебры, действующей на голоморфных (или полиномиальных) дифференциалах порядка k. Опять же, предполагая, что φ обращается в ноль при поворотах C, существуют ненулевые 1-коциклы, уникальные с точностью до скалярных кратных. только для дифференциалов степени 0, 1 и 2, задаваемых той же формулой производной

$\phi \; k\; (p\; (z)\; ddz)\; =\; p\; (k\; +\; 1)\; (z)\; (dz)\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\; k\}\; \backslash \; left\; (p\; (z)\; \{d\; \backslash \; over\; dz\}\; \backslash \; right)\; =\; p\; ^\; \{(k\; +\; 1)\}\; (z)\; \backslash ,\; (dz)\; ^\; \{k\},\}$

где p (z) является многочленом.

1-коциклы определяют три псевдогруппы следующим образом: φ k (f) = 0: это дает масштабирующую группу (k = 0); аффинная группа (k = 1); и вся комплексная группа Мёбиуса (k = 2). Итак, эти 1-коциклы являются специальными обыкновенными дифференциальными уравнениями, определяющими псевдогруппу. Что еще более важно, их можно использовать для определения соответствующих аффинных или проективных структур и связностей на римановых поверхностях. Если Γ - псевдогруппа гладких отображений на R, то говорят, что топологическое пространство M имеет Γ-структуру, если оно имеет набор карт f, которые являются гомеоморфизмами из открытых множеств V i в M, чтобы открыть наборы U i в R таким образом, что для каждого непустого пересечения естественное отображение из f i(Ui∩ U j) to f j(Ui∩ U j) лежит в Γ. Это определяет структуру гладкого n-многообразия, если Γ состоит из локальных диффеоморфимов, и римановой поверхности, если n = 2 - так что R≡ C- и Γ состоит из биголоморфизмов. Если Γ - аффинная псевдогруппа, говорят, что M имеет аффинную структуру; и если Γ - псевдогруппа Мёбиуса, то говорят, что M имеет проективную структуру. Таким образом, поверхность рода один, заданная как C / Λ для некоторой решетки Λ ⊂ C, имеет аффинную структуру; и поверхность рода p>1, заданная как отношение верхней полуплоскости или единичного круга фуксовой группой, имеет проективную структуру.

Ганнинг (1966) описывает, как этот процесс может быть обращен: для рода p>1, существование проективной связности, определенной с помощью производной Шварца φ 2 и доказанной с использованием стандартных результатов по когомологиям, можно использовать для отождествления универсальной накрывающей поверхности с верхней полуплоскостью или единичным кругом (аналогичный результат верен для рода 1 с использованием аффинных связностей и φ 1).

• Ahlfors, Lars (1966), Lectures on quasiconformal mappings, Van Nostrand, pp. 117–146, Chapter 6, "Teichmüller Spaces"
• Duren, Peter L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, pp. 258–265, ISBN 978-0-387-90795-6 ]
• Guieu, Laurent; Roger, Claude (2007), L'algèbre et le groupe de Virasoro, Montreal: CRM, ISBN 978-2-921120-44-9
• Gunning, R. C. (1966), Lectures on Riemann surfaces, Princeton Mathematical Notes, Princeton University Press
• Gunning, R. C. (1978), On uniformization of complex manifolds: the role of connections, Mathematical Notes, 22, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08176-2
• Hille, Einar (1976), Ordinary differential equations in the complex domain, Dover, pp. 374–401, ISBN 978-0-486-69620-1, Chapter 10, "The Schwarzian".
• Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992), An introduction to Teichmüller spaces, Springer-Verlag, ISBN 978-4-431-70088-3
• Kac, V. G.; Raina, A. K. (1987), Bombay lectures on highest weight representations of infinite-dimensional Lie algebras, World Scientific, ISBN 978-9971-50-395-6
• von Koppenfels, W.; Stallmann, F. (1959), Praxis der konformen Abbildung, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 100, Springer-Verlag, pp. 114–141, Section 12, "Mapping of polygons with circular arcs".
• Klein, Felix (1922), Collected works, 2, Springer-Verlag, pp. 540–549, "On the theory of generalized Lamé functions".
• Lehto, Otto (1987), Univalent functions and Teichmüller spaces, Springer-Verlag, pp. 50–59, 111–118, 196–205, ISBN 978-0-387-96310-5
• Libermann, Paulette (1959), "Pseudogroupes infinitésimaux attachés aux pseudogroupes de Lie", Bull. Soc. Математика. France, 87: 409–425, doi :10.24033/bsmf.1536
• Nehari, Zeev (1949), "The Schwarzian derivative and schlicht functions", Bulletin of the American Mathematical Society, 55(6): 545–551, doi :10.1090/S0002-9904-1949-09241-8, ISSN 0002-9904, MR 0029999
• Nehari, Zeev (1952), Conformal mapping, Dover, pp. 189–226, ISBN 978-0-486-61137-2
• Ovsienko, V.; Tabachnikov, S. (2005), Projective Differential Geometry Old and New, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83186-4
• Ovsienko, Valentin; Tabachnikov, Sergei (2009), "What Is... the Schwarzian Derivative?" (PDF), AMS Notices, 56(1): 34–36
• Pekonen, Osmo (1995), "Universal Teichmüller space in geometry and physics", J. Geom. Phys., 15(3): 227–251, arXiv :hep-th/9310045, Bibcode :1995JGP....15..227P, doi :10.1016/0393-0440(94)00007-Q
• Schiffer, Menahem (1966), "Half-Order Differentials on Riemann Surfaces", SIAM Journal on Applied Mathematics, 14(4): 922–934, doi :10.1137/0114073, JSTOR 2946143
• Segal, Graeme (1981), "Unitary representations of some infinite-dimensional groups", Comm. Математика. Phys., 80(3): 301–342, Bibcode :1981CMaPh..80..301S, doi :10.1007/bf01208274
• Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry (Second ed.), Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0316-0
• Takhtajan, Leon A.; Teo, Lee-Peng (2006), Weil-Petersson metric on the universal Teichmüller space, Mem. Амер. Математика. Soc., 183