Тройное произведение

редактировать

В векторной алгебре, ветви математики, тройное произведение - это произведение трех 3- мерных векторов, обычно евклидовых векторов. Название «тройное произведение» используется для двух разных произведений: скалярного тройного скалярного произведения и, реже, векторнозначного тройного векторного произведения .

Содержание

1 Скаляр тройное произведение
- 1.1 Геометрическая интерпретация
- 1.2 Свойства
- 1.3 Скалярное или псевдоскалярное
- 1.4 Как внешний продукт
- 1.5 Как трилинейный функционал
2 Векторное тройное произведение
- 2.1 Доказательство
- 2.2 Использование геометрической алгебры
3 Интерпретации
- 3.1 Тензорное исчисление
- 3.2 Векторное исчисление
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Скалярное тройное произведение

Три вектора, определяющие параллелепипед

. тройное скалярное произведение (также называемое смешанное произведение, прямоугольное произведение или тройное скалярное произведение ). как скалярное произведение одного из векторов с перекрестным произведением двух других.

Геометрическая интерпретация

Геометрически тройное скалярное произведение

a ⋅ (b × c) {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})}

\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})

- это (подписанный) объем параллелепипеда , определяемый тремя заданными векторами. Здесь скобки можно опустить, не вызывая двусмысленности, поскольку скалярное произведение не может быть оценено в первую очередь. Если бы это было так, это оставило бы перекрестное произведение скаляра и вектора, которое не определено.

Свойства

Скалярное тройное произведение не изменяется при круговом сдвиге трех его операндов (a, b, c):
$a ⋅ (b × c) = b ⋅ ( c × a) знак равно с ⋅ (a × b) {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a }) = \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}$
Перестановка позиций операторов без изменения порядка операндов оставляет тройное произведение без изменений. Это следует из предыдущего свойства и коммутативности скалярного произведения.
$a ⋅ (b × c) знак равно (a × b) ⋅ c {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c}}$
Замена любых двух из трех операндов отрицает тройное произведение. Это следует из свойства кругового сдвига и антикоммутативности перекрестного произведения.
$a ⋅ (b × c) = - a ⋅ (c × b) = - b ⋅ (a × c) = - c ⋅ (b × a) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf { a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) \\ = - \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}) \\ = - \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) \\ = - \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}) \ end {выровнено }}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) \\ = - \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}) \\ = - \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) \\ = - \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}) \ end {align}}}$
Скалярное тройное произведение также можно понимать как детерминант матрицы 3 × 3, которая имеет три вектора либо в виде строк, либо в качестве столбцов (матрица имеет тот же определитель, что и ее транспонировать ):
$a ⋅ (b × c) = det [a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3] = det (a, b, c). {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} \\ b_ {1 } b_ {2} b_ {3} \\ c_ {1} c_ {2} c_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ rm {det}} \ left (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c} \ right).}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ раз \ mathbf {c}) = \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} \\ b_ {1} b_ {2} b_ {3} \\ c_ {1} c_ { 2} c_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ rm {det}} \ left (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c} \ ri ght).}$
Если тройное скалярное произведение равно нулю, то три вектора a, bи c являются копланарными, поскольку определяемый ими параллелепипед был бы плоским и не имел бы объема.
Если любые два вектора в скалярном тройном произведении равны, то его значение равно нулю:
$a ⋅ (a × b) знак равно a ⋅ (b × a) = a ⋅ (b × b) = b ⋅ (a × a) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {a}) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {a}) = 0}$
Кроме того,
$(a ⋅ (b × c)) a = (a × b) × (a × c) { \ Displaystyle (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})) \ mathbf {a} = (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathb f {a} \ times \ mathbf {c})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})) \ mathbf {a} = (\ mathbf { a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathb f {a} \ times \ mathbf {c})}$
простое произведение двух тройных произведений (или квадрат тройного произведения) можно разложить на скалярные произведения:
$((a × b) ⋅ c) ((d × e) ⋅ f) = det [(abc) ⋅ (def)] = det [a ⋅ da ⋅ ea ⋅ fb ⋅ db ⋅ eb ⋅ fc ⋅ dc ⋅ ec ⋅ е] {\ Displaystyle ((\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c}) \; ((\ mathbf {d} \ times \ mathbf {e}) \ cdot \ mathbf {f}) = \ det \ left [{\ begin {pmatrix} \ mathbf {a} \\\ mathbf {b} \\\ mathbf {c} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} \ mathbf {d} \ mathbf {e} \ mathbf {f} \ end {pmatrix}} \ right] = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d} \ mathbf { a} \ cdot \ mathbf {e} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {f} \\\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d} \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {e} \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {f} \\\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {d} \ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {e} \ mathbf {c} \ cdot \ mathbf { f} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle ((\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c}) \; ((\ mathbf {d} \ times \ mathbf {e}) \ cdot \ mathbf {f}) = \ det \ left [{\ begin {pmatrix} \ mathbf {a} \\\ mathbf {b} \\\ mathbf {c} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} \ mathbf {d} \ mathbf {e } \ mathbf {f} \ end {pmatrix}} \ right] = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {f} \\\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d} \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {e} \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {f} \\\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {d} \ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {e} \ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {f} \ end {bmatrix}}}$
Это повторяет в векторной записи, что произведение определителей двух матриц 3 × 3 eq uals определитель их матричного произведения. В качестве особого случая квадрат тройного произведения является определителем Грама.

Скалярным или псевдоскалярным

Хотя скалярное тройное произведение дает объем параллелепипеда, это объем со знаком, знак в зависимости от ориентации кадра или четности перестановки векторов. Это означает, что произведение инвертируется, если ориентация меняется на противоположную, например, посредством преобразования четности , и поэтому более правильно описывается как псевдоскаляр, если ориентация может измениться.

Это также относится к направленности перекрестного произведения ; перекрестное произведение преобразуется как псевдовектор при преобразованиях четности и поэтому должным образом описывается как псевдовектор. Скалярное произведение двух векторов является скаляром, но скалярное произведение псевдовектора и вектора является псевдоскалярным, поэтому скалярное тройное произведение должно быть псевдоскалярным.

Если T является оператором вращения, то

T a ⋅ (T b × T c) = a ⋅ (b × c), {\ displaystyle \ mathbf {Ta} \ cdot (\ mathbf {Tb} \ times \ mathbf {Tc}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}),}

\ mathbf {Ta} \ cdot (\ mathbf {Tb} \ times \ mathbf {Tc}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}),

но если T является неправильным поворотом, то

T a ⋅ (T b × T c) = - a ⋅ (b × c). {\ displaystyle \ mathbf {Ta} \ cdot (\ mathbf {Tb} \ times \ mathbf {Tc}) = - \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}).}

\ mathbf {Ta} \ cdot (\ mathbf {Tb} \ times \ mathbf {Tc}) = - \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}).

Как внешний продукт

Три вектора, образующие параллелепипед, имеют тройное произведение, равное его объему.

В внешней алгебре и геометрической алгебре внешнее произведение двух векторов - это бивектор , а внешнее произведение трех векторов - это тривектор. Бивектор - это ориентированный плоский элемент, а тривектор - это ориентированный элемент объема, точно так же, как вектор - это ориентированный линейный элемент. Для векторов a, bи c произведение

a ∧ b ∧ c {\ displaystyle \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {c}}

\ mathbf {a} \ клин \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {c}

является тривектором, величина которого равна тройному скалярному произведению, и является двойственным по Ходжу скалярным тройным произведением. Поскольку внешний продукт является ассоциативным, скобки не нужны, поскольку не имеет значения, какой из a∧ bили b∧ cвычисляется первым, хотя порядок векторов в продукте имеет значение. Геометрически тривектор a∧ b∧ cсоответствует параллелепипеду, охватываемому a, b, и c, с бивекторами a∧ b, b∧ cи a∧ c, соответствующими граням параллелограмма параллелепипеда.

Как трилинейный функционал

Тройное произведение идентично форме объема евклидова 3-пространства, примененному к векторам через внутреннее произведение. Это также может быть выражено как сокращение векторов с тензором ранга-3, эквивалентным форме (или псевдотензором, эквивалентным псевдоформе объема); см. ниже.

Тройное произведение векторов

Тройное произведение векторов определяется как векторное произведение одного вектора с кросс-произведением двух других. Имеет место следующее соотношение:

a × (b × c) = (a ⋅ c) b - (a ⋅ b) c {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf { c}) = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) \ mathbf {b} - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf {c}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) \ mathbf {b} - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf {c}}

Это известно как тройное произведение или формула Лагранжа, хотя последнее название также используется для некоторых других формул. Его правую часть можно запомнить, используя мнемонику «ACB - ABC», при условии, что вы помните, какие векторы соединены точками. Доказательство приводится ниже. В некоторых учебниках идентичность записывается как $a × (b × c) = b (a ⋅ c) - c (a ⋅ b) {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}$ таким образом, что более знакомая мнемоника получается «BAC - CAB», как «задняя часть кабины».

Поскольку перекрестное произведение антикоммутативно, эту формулу можно также записать (с точностью до перестановки букв) как:

(a × b) × c = - c × (a × b) = - (с ⋅ б) a + (с ⋅ a) b {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times \ mathbf {c} = - \ mathbf {c} \ times (\ mathbf { a} \ times \ mathbf {b}) = - (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf {a} + (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {b }}

(\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times \ mathbf {c} = - \ mathbf {c} \ раз (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = - (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf {a} + (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {b}

Из формулы Лагранжа следует, что векторное тройное произведение удовлетворяет:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ times (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c} \ times ( \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ times (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c} \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) Знак равно 0}

, который является тождеством Якоби для перекрестного произведения. Следующая полезная формула:

(a × b) × c = a × (b × c) - b × (a × c) {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times \ mathbf {c} = \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) - \ mathbf {b} \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c})}

{ \ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times \ mathbf {c} = \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) - \ mathbf {b } \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c})}

Эти формулы очень полезны для упрощения векторных вычислений в физике. Связанная идентичность относительно градиентов и полезная в векторном исчислении - это формула Лагранжа идентичности векторного векторного произведения:

∇ × (∇ × f) = ∇ (∇ ⋅ f) - (∇ ⋅ ∇) е {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {f}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol { \ nabla}} \ cdot \ mathbf {f}) - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {f}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {f}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {f}) - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla} }) \ mathbf {f}}

Это также можно рассматривать как особый случай более общего оператора Лапласа – де Рама $Δ = d δ + δ d {\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$ $\ Delta = d \ delta + \ delta d$ .

Доказательство

Компонент $x {\ displaystyle x}$ $x$ из $u × (v × w) {\ displaystyle \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w })}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w})}$ определяется как:

(u × (v × w)) x = uy (vxwy - vywx) - uz (vzwx - vxwz) = vx (uywy + uzwz) - wx ( uyvy + uzvz) = vx (uywy + uzwz) - wx (uyvy + uzvz) + (uxvxwx - uxvxwx) = vx (uxw х + uywy + uzwz) - wx (uxvx + uyvy + uzvz) = (u ⋅ w) vx - (u ⋅ v) wx {\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {u} \ times (\ mathbf { v} \ times \ mathbf {w})) _ {x} = \ mathbf {u} _ {y} (\ mathbf {v} _ {x} \ mathbf {w} _ {y} - \ mathbf {v } _ {y} \ mathbf {w} _ {x}) - \ mathbf {u} _ {z} (\ mathbf {v} _ {z} \ mathbf {w} _ {x} - \ mathbf {v} _ {x} \ mathbf {w} _ {z}) \\ = \ mathbf {v} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {w} _ {y} + \ mathbf { u} _ {z} \ mathbf {w} _ {z}) - \ mathbf {w} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {v} _ {y} + \ mathbf {u } _ {z} \ mathbf {v} _ {z}) \\ = \ mathbf {v} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {w} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {w} _ {z}) - \ mathbf {w} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {v} _ {y} + \ mathbf { u} _ {z} \ mathbf {v} _ {z}) + (\ mathbf {u} _ {x} \ mathbf {v} _ {x} \ mathbf {w} _ {x} - \ mathbf {u } _ {x} \ mathbf {v} _ {x} \ mathbf {w} _ {x}) \\ = \ mathbf {v} _ {x} (\ mathbf {u} _ {x} \ mathbf { w} _ {x} + \ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {w} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {w} _ {z}) - \ mathbf {w } _ {x} (\ mathbf {u} _ {x} \ mathbf {v} _ {x} + \ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {v} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {v} _ {z}) \\ = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} _ {x} - (\ mathbf { u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w} _ {x} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w})) _ {x} = \ mathbf {u} _ {y} (\ mathbf {v} _ {x} \ mathbf {w} _ {y} - \ mathbf {v} _ {y} \ mathbf {w} _ {x}) - \ mathbf {u} _ {z} (\ mathbf {v} _ {z} \ mathbf {w} _ {x} - \ mathbf { v} _ {x} \ mathbf {w} _ {z}) \\ = \ mathbf {v} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {w} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {w} _ {z}) - \ mathbf {w} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {v} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {v} _ {z}) \\ = \ mathbf {v} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {w} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {w} _ {z}) - \ mathbf {w} _ {x} (\ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {v} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {v} _ {z}) + (\ mathbf {u} _ {x} \ mathbf {v} _ {x} \ mathbf {w} _ {x} - \ mathbf {u} _ {x} \ mathbf {v} _ {x} \ mathbf {w} _ {x}) \\ = \ mathbf {v} _ {x} (\ mathbf {u} _ {x} \ mathbf {w} _ {x} + \ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {w} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {w } _ {z}) - \ mathbf {w} _ {x} (\ mathbf {u} _ {x} \ mathbf {v} _ {x} + \ mathbf {u} _ {y} \ mathbf {v} _ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ mathbf {v} _ {z}) \\ = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} _ {x } - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w} _ {x} \ end {align}}}

Аналогично, $y {\ displaystyle y}$ $y$ и $z {\ displaystyle z}$ $z$ компоненты $u × (v × w) {\ displaystyle \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w})}$ задаются следующим образом:

(u × (v × w)) y = (u ⋅ w) vy - (u ⋅ v) wy (u × (v × w)) z = (u ⋅ вес) vz - (U ⋅ v) wz {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} (\ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w})) _ {y} = ( \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} _ {y} - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w} _ {y} \\ (\ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w})) _ {z} = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} _ {z} - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w} _ {z} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено } (\ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w})) _ {y} = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} _ {y} - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w} _ {y} \\ (\ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}))) _ {z} = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} _ {z} - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w } _ {z} \ end {align}}}

Объединив эти три компонента, мы получаем:

u × (v × вес) знак равно (U ⋅ вес) v - (U ⋅ v) вес {\ Displaystyle \ mathbf {и} \ раз (\ mathbf {v} \ раз \ mathbf {w}) = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ \ mathbf {v} - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ \ mathbf {w}}

\ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}) = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ \ mathbf {v} - ( \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ \ mathbf {w}

Использование геометрической алгебры

Если используется геометрическая алгебра, векторное произведение b× cвекторов выражается как их внешнее произведение b∧c, бивектор. Второе перекрестное произведение нельзя выразить как внешнее произведение, иначе получится тройное скалярное произведение. Вместо этого можно использовать левое сокращение, поэтому формула принимает вид

- a ⌟ (b ∧ c) = b ∧ (a ⌟ c) - (a ⌟ b) ∧ c = (a ⋅ c) б - (a ⋅ b) с {\ displaystyle {\ begin {align} - \ mathbf {a} \; {\ big \ lrcorner} \; (\ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ wedge (\ mathbf {a} \; {\ big \ lrcorner} \; \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \; {\ big \ lrcorner} \; \ mathbf {b }) \ wedge \ mathbf {c} \\ = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) \ mathbf {b} - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf { c} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} - \ mathbf {a} \; {\ big \ lrcorner} \; (\ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ клин (\ mathbf {a} \; {\ big \ lrcorner} \; \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \; {\ big \ lrcorner} \; \ mathbf {b}) \ wedge \ mathbf {c} \\ = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) \ mathbf {b} - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) \ mathbf {c} \ end {выровнено }}}

Доказательство следует из свойств сокращения. Результат - тот же вектор, что и вычисленный с использованием a × (b× c). r × r = r ° × r ° = 0 d ÷ dt (r × r °) = {(dr ÷ dt) × r °}

= {r × (dr ° ÷ dt)}

= {r ° × r °} + {r × r °°}

= 0 + {r × r °°}

= {r × r °°} Ответ на вопрос: A × [B × C] + [A × B] × C =?

Интерпретации

Тензорное исчисление

В тензорной нотации тройное произведение выражается с помощью символа Леви-Чивиты :

(a [b × c]) знак равно ε ijkaibjck {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ cdot [\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}]) = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {i} b ^ { j} c ^ {k}}

{\ displaystyle ( \ mathbf {a} \ cdot [\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}]) = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {i} b ^ {j} c ^ {k}}

(a × [b × c]) i = ε ijkaj ε k ℓ mb ℓ cm = ε ijk ε k ℓ majb ℓ cm {\ displaystyle (\ mathbf { a} \ times [\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}]) _ {i} = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {j} \ varepsilon _ {k \ ell m} b ^ {\ ell} c ^ {m} = \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {k \ ell m} a ^ {j} b ^ {\ ell} c ^ {m}}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times [\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}]) _ {i} = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {j} \ varepsilon _ {k \ ell m} b ^ {\ ell} c ^ {m} = \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {k \ ell m} a ^ {j} b ^ {\ ell} c ^ {m}}

со ссылкой на $i {\ displaystyle i}$ $i$ -й компонент результирующего вектора. Это можно упростить, выполнив сжатие символов Леви-Чивита, $ε ijk ε k ℓ m = - ε ijk ε m ℓ k = δ i ℓ δ jm - δ им δ ℓ J {\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {k \ ell m} = - \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {m \ ell k} = \ delta _ {я \ ell} \ delta _ {jm} - \ delta _ {im} \ delta _ {\ ell j}}$ $\ varepsilon_ {ijk} \ varepsilon_ {k \ ell m} = - \ varepsilon_ {ijk} \ varepsilon_ {m \ ell k} = \ delta_ {я \ ell} \ delta_ {jm} - \ delta_ {im} \ delta _ {\ ell j}$ , где $δ ij = 0 {\ displaystyle \ delta _ {ij} = 0}$ $\ delta_ {ij} = 0$ если $я ≠ j {\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ и $δ ij = 1 {\ displaystyle \ delta _ {ij} = 1}$ $\ delta _ {ij} = 1$ , если $i = j {\ displaystyle i = j}$ $i = j$ . Мы можем вычислить эту идентичность, узнав, что индекс $k {\ displaystyle k}$ $k$ будет суммирован, оставив только $i {\ displaystyle i}$ $i$ и $j {\ displaystyle j}$ $j$ . В первом члене мы фиксируем $i = l {\ displaystyle i = l}$ $я = l$ и, таким образом, $j = m {\ displaystyle j = m}$ $j = m$ . Точно так же во втором члене мы фиксируем $i = m {\ displaystyle i = m}$ $я = м$ и, таким образом, $l = j {\ displaystyle l = j}$ $l = j$ .

Возвращаясь к тройному перекрестное произведение,

(a × [b × c]) i = (δ i ℓ δ jm - δ im δ ℓ j) ajb ℓ cm = ajbicj - ajbjci = bi (a ⋅ c) - ci (a ⋅ b) {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times [\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}]) _ {i} = (\ delta _ {я \ ell} \ delta _ {jm} - \ delta _ {im} \ delta _ {\ ell j}) a ^ {j} b ^ {\ ell} c ^ {m} = a ^ {j} b ^ {i} c ^ {j} -a ^ {j } b ^ {j} c ^ {i} = \ mathbf {b} _ {i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} _ {i} (\ mathbf {a } \ cdot \ mathbf {b})}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times [\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}]) _ {i} = (\ delta _ {я \ ell} \ delta _ { jm} - \ delta _ {im} \ delta _ {\ ell j}) a ^ {j} b ^ {\ ell} c ^ {m} = a ^ {j} b ^ {i} c ^ {j} -a ^ {j} b ^ {j} c ^ {i} = \ mathbf {b} _ {i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} _ {i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

Векторное исчисление

Рассмотрим интеграл потока векторного поля $F → {\ displaystyle {\ vec {\ mathbf { F}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {F}}}}$ через параметрически заданную поверхность $S = r → (u, v) {\ displaystyle S = {\ vec {\ mathbf {r}}} (u, v) }$ ${\ displaystyle S = {\ vec {\ mathbf {r}}} (u, v)}$ : $∬ SF → ⋅ N → d S {\ displaystyle \ iint _ {S} {\ vec {\ mathbf {F}}} \ mathbf {\ cdot} {\ vec {\ mathbf {N}}} \, dS}$ ${\ displaystyle \ iint _ {S} {\ vec {\ mathbf {F}}} \ mathbf {\ cdot} {\ vec {\ mathbf {N}}} \, dS}$ . Единичный вектор нормали $N → {\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {N}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {N}}}}$ к поверхности задается как $r → u × r → v | г → и × г → v | {\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ mathbf {r}}} _ {u} \ times {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {v}} {| {\ vec {\ mathbf {r }}} _ {u} \ times {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {v} |}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {\ mathbf {r}}} _ {u} \ times {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {v}} { | {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {u} \ times {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {v} |}}}$ , поэтому подынтегральное выражение $F → ⋅ r → u × r → v | г → и × г → v | {\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {F}}} \ mathbf {\ cdot} {\ frac {{\ vec {\ mathbf {r}}} _ {u} \ times {\ vec {\ mathbf {r}) }} _ {v}} {| {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {u} \ times {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {v} |}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {F}}} \ mathbf {\ cdot} {\ frac {{\ vec {\ mathbf {r}}} _ {u } \ times {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {v}} {| {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {u} \ times {\ vec {\ mathbf {r}}} _ {v} |}}}$ - тройное скалярное произведение.

Примечания

^Вонг, Чун Ва (2013). Введение в математическую физику: методы и концепции. Издательство Оксфордского университета. п. 215. ISBN 9780199641390.
^Джозеф Луи Лагранж не разрабатывал перекрестное произведение как алгебраическое произведение векторов, но использовал его эквивалентную форму в компонентах: см. Лагранж, JL (1773). "Аналитические решения проблем, связанных с треугольными пирамидами". Oeuvres. т. 3. Он мог написать формулу, аналогичную расширению тройного произведения в компонентной форме. См. Также личность Лагранжа и Киёси Ито (1987). Энциклопедический математический словарь. MIT Press. п. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
^Киёси Ито (1993). «§C: Векторное произведение». Математический энциклопедический словарь (2-е изд.). MIT Press. п. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
^Пэнчжи Линь (2008). Численное моделирование водных волн: Введение в инженеров и ученых. Рутледж. п. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.
^Дж. Заголовок (1970). Математические методы в науке и технике. American Elsevier Publishing Company, Inc., стр. 262–263.
^ Пертти Лоунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 46. ISBN 0-521-00551-5.
^Янне Песонен. «Геометрическая алгебра одной и многих многовекторных переменных» (PDF). п. 37.
^«Тензор перестановок». Вольфрам. Проверено 21 мая 2014 г.

Ссылки

Девушка, Гарри (1950). Векторный и тензорный анализ. McGraw-Hill Book Company, Inc., стр. 23–25.

Внешние ссылки

Видео Академии Хана с доказательством расширения тройного продукта