Метрическое соединение

"совместимость с метрикой" перенаправляется сюда. Для шрифтов одинакового размера см. Метрическую совместимость.

В математике, А метрика соединение является соединением в векторном расслоении Е, снабженное расслоение метрики ; то есть метрика, для которой внутреннее произведение любых двух векторов останется прежним, когда эти векторы параллельно переносятся вдоль любой кривой. Это эквивалентно:

• Связность, при которой ковариантные производные метрики на E равны нулю.
• Принципиальная схема соединений на расслоении ортонормреперов из Е.

Частным случаем метрической связности является риманова связность ; существует единственное соединение без кручения - соединение Леви-Чивита. В этом случае пучок Е является касательное расслоение ТМ многообразия и метрика на Е индуцируется риманова метрика на М.

Другой частный случай метрической связности - это связность Янга – Миллса, которая удовлетворяет уравнениям движения Янга – Миллса. Большая часть механизма определения соединения и его кривизны может выполняться без необходимости какой-либо совместимости с метрикой пакета. Однако, как только один действительно требует совместимости, эта метрика соединения определяет скалярное произведение, Ходжа звезды, Ходжа двойственного и лапласиан, которые необходимы, чтобы сформулировать уравнения Янга-Миллса.

• 1 Определение
  • 1.1 Метрическая система против двойного сопряжения
• 2 Форма подключения
  • 2.1 Косая симметрия
• 3 Кривизна
  • 3.1 Компактный стиль
  • 3.2 Стиль компонентов
  • 3.3 Стиль относительности
  • 3.4 Стиль касательной связки
• 4 Связь Янга – Миллса
• 5 Риманова связь
  • 5.1 Несколько слов об обозначениях
• 6 См. Также
• 7 ссылки

Пусть - любые локальные сечения векторного расслоения E, и пусть X - векторное поле на базовом пространстве M расслоения. Пусть определить расслоение метрики, то есть, метрика на векторных слоях E. Тогда связь D на E является метрической связью, если: ${\ displaystyle \ sigma, \ tau}$ ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle d \ langle \ sigma, \ tau \ rangle = \ langle D \ sigma, \ tau \ rangle + \ langle \ sigma, D \ tau \ rangle.}$

Здесь d - обыкновенный дифференциал скалярной функции. Ковариантная производная может быть расширена так, что она действует как отображение на E -значных дифференциальных формах в базовом пространстве:

${\ Displaystyle D: \ Gamma (E) \ otimes \ Omega ^ {p} (M) \ to \ Gamma (E) \ otimes \ Omega ^ {p + 1} (M).}$

Один определяет функцию, и ${\ Displaystyle D_ {X} е = d_ {X} е \ эквив Xf}$${\ displaystyle f \ in \ Omega ^ {0} (M)}$

${\ Displaystyle D (\ сигма \ otimes \ omega) = D \ sigma \ клин \ omega + \ sigma \ otimes d \ omega}$

где - локальное гладкое сечение векторного расслоения и - (скалярнозначная) p- форма. Приведенные выше определения также применимы к локальным гладким кадрам, а также к локальным сечениям. ${\ Displaystyle \ sigma \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {p} (M)}$

Метрическая система против двойного сопряжения

Метрику расслоения, наложенную на E, не следует путать с естественным спариванием векторного пространства и его двойственного, которое присуще любому векторному расслоению. Последний является функцией на пучке эндоморфизмов, так что ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {End}} (E) = E \ otimes E ^ {*},}$

${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot): E \ otimes E ^ {*} \ to M \ times \ mathbb {R}}$

пары векторов с двумя векторами (функционалов) над каждой точкой М. То есть, если есть какая-либо локальная система координат на E, то естественным образом получается двойная система координат на E *, удовлетворяющая. ${\ Displaystyle \ {е_ {я} \}}$${\ Displaystyle \ {е_ {я} ^ {*} \}}$${\ displaystyle (e_ {i}, e_ {j} ^ {*}) = \ delta _ {ij}}$

Напротив, метрика расслоения является функцией на ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle E \ otimes E,}$

${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: E \ otimes E \ to M \ times \ mathbb {R}}$

давая скалярное произведение на каждом векторном пространстве волокна E. Метрика расслоения позволяет определить ортонормированную систему координат уравнением ${\ displaystyle \ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}$

Для данного векторного расслоения всегда можно определить на нем метрику расслоения.

Следуя стандартной практике, можно определить форму соединения, символы Кристоффеля и кривизну Римана без ссылки на метрику связки, используя только спаривание. Они будут подчиняться обычным свойствам симметрии; например, тензор кривизны будет антисимметричным по двум последним индексам и будет удовлетворять второму тождеству Бианки. Однако для определения звезды Ходжа, лапласиана, первого тождества Бианки и функционала Янга – Миллса нужна метрика расслоения. ${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot).}$

Основная статья: Форма подключения

Для локальной диаграммы расслоения ковариантную производную можно записать в виде

${\ Displaystyle D = d + A}$

где A - одноформная связь.

Немного о нотационном аппарате. Пусть обозначает пространство дифференцируемых сечений на Е, пусть обозначим пространство р -формы на М, и пусть эндоморфизмы на Е. Ковариантная производная, как здесь определено, является отображением ${\ displaystyle \ Gamma (E)}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {p} (М)}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {End}} (E) = E \ otimes E ^ {*}}$

${\ Displaystyle D: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E) \ otimes \ Omega ^ {1} (M)}$

Форму связи можно выразить через коэффициенты связи как

${\ Displaystyle A_ {j} {} ^ {k} \ = \ \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} \, dx ^ {i}.}$

Смысл обозначений состоит в том, чтобы отличать индексы j, k, которые проходят по n измерениям слоя, от индекса i, который проходит по m -мерному базовому пространству. Для случая римановой связности ниже в качестве векторного пространства E берется касательное расслоение TM и n = m.

Обозначение А для формы соединения происходит от физики, в исторической ссылкой на векторный потенциал поля в электромагнетизма и калибровочной теории. В математике вместо A часто используется обозначение, как в статье о форме соединения ; К сожалению, использование для формы соединения противоречит использованию для обозначения общей альтернативной формы на векторном расслоении. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

Косая симметрия

Связность кососимметрична по индексам векторного пространства (слоя); то есть для данного векторного поля матрица кососимметрична; эквивалентно, это элемент алгебры Ли. ${\ Displaystyle X \ in TM}$${\ Displaystyle A (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} (п)}$

Это можно увидеть следующим образом. Пусть слой n -мерен, так что расслоению E можно задать ортонормированный локальный репер с i = 1, 2,..., n. Таким образом, по определению, так что: ${\ Displaystyle \ {е_ {я} \}}$${\ Displaystyle де_ {я} \ эквив 0}$

${\ displaystyle De_ {i} = Ae_ {i} = A_ {i} {} ^ {j} e_ {j}.}$

Кроме того, для каждой точки диаграммы связки локальный фрейм ортонормирован: ${\ Displaystyle х \ в U \ подмножество M}$

${\ displaystyle \ langle e_ {i} (x), e_ {j} (x) \ rangle = \ delta _ {ij}.}$

Отсюда следует, что для любого вектора, что ${\ displaystyle X \ in T_ {x} M}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 amp; = X \ langle e_ {i} (x), e_ {j} (x) \ rangle \\ amp; = \ langle A (X) e_ {i} (x), e_ {j} (x) \ rangle + \ langle e_ {i} (x), A (X) e_ {j} (x) \ rangle \\ amp; = A_ {i} {} ^ {j} (X) + A_ {j} {} ^ {i} (X) \\\ конец {выровнено}}}$

То есть кососимметрична. ${\ displaystyle A = -A ^ {\ text {T}}}$

Это достигается путем явного использования метрики пакета; не используя этого и используя только спаривание, можно связать форму связности A на E только с ее двойственной A ^∗ на E ^∗, поскольку это следует из определения двойственной связности как ${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle A ^ {*} = - A ^ {\ text {T}}.}$${\ displaystyle d (\ sigma, \ tau ^ {*}) = (D \ sigma, \ tau ^ {*}) + (\ sigma, D ^ {*} \ tau ^ {*}).}$

Существует несколько обозначений кривизны соединения, в том числе современное, использующее F для обозначения тензора напряженности поля, классическое, использующее R в качестве тензора кривизны, и классическое обозначение для тензора кривизны Римана, большинство из которых может естественным образом распространяется на случай векторных расслоений. Ни одно из этих определений не требует ни метрического тензора, ни метрики расслоения, и может быть определено совершенно конкретно без ссылки на них. Однако определения требуют ясного представления об эндоморфизмах E, как описано выше.

Компактный стиль

Наиболее компактное определение кривизны F состоит в том, чтобы определить ее как 2-форму, принимающую значения в, заданные величиной, на которую соединение не может быть точным; то есть как ${\ displaystyle {\ t_dv {End}} (E)}$

${\ Displaystyle F = D \ circ D}$

который является элементом

${\ Displaystyle F \ in \ Omega ^ {2} (M) \ otimes {\ t_dv {End}} (E),}$

или, что эквивалентно,

${\ Displaystyle F: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E) \ otimes \ Omega ^ {2} (M)}$

Для того, чтобы связать это с другими определениями общих и обозначений, пусть будет раздел на E. Вставляя в вышеперечисленное и расширяя, можно найти ${\ Displaystyle \ sigma \ in \ Gamma (E)}$

${\ Displaystyle F \ sigma = (D \ circ D) \ sigma = (d + A) \ circ (d + A) \ sigma = (dA + A \ клин A) \ sigma}$

или, что то же самое, удаление раздела

${\ Displaystyle F = dA + A \ клин A}$

как краткое определение.

Компонентный стиль

С точки зрения компонентов, пусть, где стандартная одна форма координат базы на котангенс расслоения T ^*M. Вставляя в приведенное выше и расширяя, получаем (используя соглашение о суммировании ): ${\ displaystyle A = A_ {i} dx ^ {i},}$${\ displaystyle dx ^ {i}}$

${\ displaystyle F = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {j}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}) } {\ partial x ^ {j}}} + [A_ {i}, A_ {j}] \ right) dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j}.}$

Имейте в виду, что для n- мерного векторного пространства каждая является матрицей размера n × n, индексы которой были подавлены, тогда как индексы i и j пробегают 1,..., m, где m - размерность лежащее в основе многообразие. Оба этих индекса могут проявляться одновременно, как показано в следующем разделе. ${\ displaystyle A_ {i}}$

Представленные здесь обозначения обычно используются в физике; например, его можно сразу узнать как тензор напряженности глюонного поля. В абелевом случае n = 1 и векторное расслоение одномерно; коммутатор обращается в нуль, и указанное выше может быть распознано как электромагнитный тензор в более или менее стандартных физических обозначениях.

Стиль относительности

Все индексы можно сделать явными, предоставив гладкий фрейм, i = 1,..., n on. Тогда данный раздел можно записать как ${\ Displaystyle \ {е_ {я} \}}$${\ displaystyle \ Gamma (E)}$${\ Displaystyle \ sigma \ in \ Gamma (E)}$

${\ Displaystyle \ sigma = \ sigma ^ {я} е_ {я}}$

В этом локальном фрейме форма соединения становится

${\ displaystyle (A_ {i} dx ^ {i}) _ {j} {} ^ {k} = \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} dx ^ {i}}$

с является символом Кристоффеля ; опять же, индекс i пробегает 1,..., m (размерность лежащего в основе многообразия M), в то время как j и k пробегают 1,..., n, размерность слоя. Вставляя и поворачивая кривошип, получаем ${\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ij}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F \ sigma amp; = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ Gamma ^ {k} {} _ {jr}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial \ Gamma ^ {k} {} _ {ir}} {\ partial x ^ {j}}} + \ Gamma ^ {k} {} _ {is} \ Гамма ^ {s} {} _ {jr} - \ Gamma ^ {k} {} _ {js} \ Gamma ^ {s} {} _ {ir} \ right) \ sigma ^ {r} dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j} \ otimes e_ {k} \\ amp; = R ^ {k} {} _ {rij} \ sigma ^ {r} dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j} \ otimes e_ { k} \\\ конец {выровнен}}}$

где теперь идентифицируется как тензор кривизны Римана. Это написано в стиле, обычно используемом во многих учебниках по общей теории относительности середины 20-го века (за некоторыми заметными исключениями, такими как MTW, которые на раннем этапе настаивали на безиндексной нотации). И снова индексы i и j пробегают размеры многообразия M, а r и k пробегают размер волокон. ${\ displaystyle R ^ {k} {} _ {rij}}$

Стиль касательной-связки

Вышеупомянутое можно перенести обратно в стиль векторного поля, написав как стандартные базовые элементы для тангенциального пучка TM. Затем определяется тензор кривизны как ${\ Displaystyle \ partial / \ partial х ^ {я}}$

${\ displaystyle R \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {j}}} \ right) \ sigma = \ sigma ^ {r} R _ {\; rij} ^ {k} e_ {k}}$

так что пространственные направления повторно поглощаются, в результате чего обозначение

${\ Displaystyle F \ sigma = R (\ cdot, \ cdot) \ sigma}$

В качестве альтернативы, пространственные направления можно сделать явными, скрывая индексы, записав выражения в терминах векторных полей X и Y на TM. В стандартном базисе X равно

${\ displaystyle X = X ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}$

а также для Y. После небольшого количества подключений и пыхтения можно получить

${\ Displaystyle R (X, Y) \ sigma = D_ {X} D_ {Y} \ sigma -D_ {Y} D_ {X} \ sigma -D _ {[X, Y]} \ sigma}$

где

${\ Displaystyle [X, Y] = {\ mathcal {L}} _ {Y} X}$

это производная Ли векторного поля Y относительно X.

Напомним, тензор кривизны отображает волокна в волокна:

${\ Displaystyle R (X, Y): \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E)}$

чтобы

${\ Displaystyle R (\ cdot, \ cdot): \ Omega ^ {2} (M) \ otimes \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E)}$

Чтобы быть предельно ясным, это альтернативные обозначения для одного и того же. Обратите внимание, что ни одна из вышеперечисленных манипуляций на самом деле не требовала прохождения метрики пакета. Можно также продемонстрировать вторую идентичность Бьянки. ${\ Displaystyle F = R (\ cdot, \ cdot)}$

${\ displaystyle DF = 0}$

без использования метрики пакета.

Основная статья: уравнения Янга – Миллса

Вышеупомянутое развитие тензора кривизны не имело никакого отношения к метрике расслоения. То есть им не нужно было предполагать, что D или A были метрическими связями: просто наличия связи в векторном расслоении достаточно для получения вышеуказанных форм. Все различные варианты обозначений непосредственно следуют только из рассмотрения эндоморфизмов слоев пучка.

Расслоение метрики требуется определить звезду Ходжи и Ходжа двойственный ; что, в свою очередь, необходимо для определения лапласиана и демонстрации того, что

${\ displaystyle D {\ star} F = 0}$

Любая связь, удовлетворяющая этому тождеству, называется связностью Янга – Миллса. Можно показать, что это соединение является критической точкой из уравнений Эйлера-Лагранжа применительно к действию Янга-Миллса

${\ Displaystyle YM_ {D} = \ int _ {M} (F, F) {\ star} (1)}$

где - элемент объема, двойственный по Ходжу константе 1. Обратите внимание, что для построения этого действия требуются три различных скалярных произведения: метрическая связность на E, скалярное произведение на End ( E), эквивалентное квадратичному оператору Казимира ( след пары матриц) и двойственного по Ходжу. ${\ displaystyle {\ star} (1)}$

Важным частным случаем метрической связности является риманова связность. Это соединение на касательном расслоении о наличии псевдориманова многообразия ( М, г) такое, что для всех векторных полей X на M. Эквивалентно, является римановым, если определяемый им параллельный перенос сохраняет метрику g. ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} г = 0}$${\ displaystyle \ nabla}$

Данная связь является римановой тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ Displaystyle \ partial _ {X} (г (Y, Z)) = г (\ набла _ {X} Y, Z) + г (Y, \ набла _ {X} Z)}$

для всех векторных полей X, Y и Z на M, где обозначает производную функции вдоль этого векторного поля. ${\ Displaystyle \ partial _ {X} (г (Y, Z))}$${\ displaystyle g (Y, Z)}$${\ displaystyle X}$

Связность Леви-Чивита является кручением риманова связности на многообразии. Он уникален по основной теореме римановой геометрии. Для каждой римановой связности можно написать (единственную) соответствующую связность Леви-Чивита. Разница между ними определяется тензором конторсии.

В компонентных обозначениях ковариантная производная совместима с метрическим тензором, если ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle g_ {ab}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\! c} \, g_ {ab} = 0.}$

Хотя могут быть определены и другие ковариантные производные, обычно рассматривается только совместимая с метрикой. Это связано с тем, что для двух ковариантных производных и существует тензор для преобразования одной в другую: ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ nabla '}$

${\ displaystyle \ nabla _ {a} x_ {b} = \ nabla _ {a} 'x_ {b} - {C_ {ab}} ^ {c} x_ {c}.}$

Если пространство также не имеет кручения, то тензор симметричен по первым двум индексам. ${\ displaystyle {C_ {ab}} ^ {c}}$

Несколько слов об обозначениях

Принято менять обозначения и использовать символ набла ∇ вместо D в этой настройке; в остальном это одно и то же. То есть ∇ = D из предыдущих разделов выше.

Точно так же скалярное произведение на E заменяется метрическим тензором g на TM. Это согласуется с историческим использованием, но и позволяет избежать путаницы: в общем случае векторного расслоения Е, лежащий в основе многообразия M является не предполагается наделенный метрикой. Частный случай многообразий с метрикой g на TM в дополнение к метрике расслоения на E приводит к теории Калуцы – Клейна. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

• Вертикальные и горизонтальные связки

• Родригес, Вашингтон; Fernández, VV; Моя, AM (2005). «Метрические совместимые ковариантные производные». arXiv : математика / 0501561.
• Вальд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности, University of Chicago Press, ISBN   0-226-87033-2

• Шмидт, Б.Г. (1973). «Условия, при которых соединение является метрическим соединением». Commun. Математика. Phys. 29 (1): 55–59. Bibcode : 1973CMaPh..29... 55S. DOI : 10.1007 / bf01661152. hdl : 10338.dmlcz / 127117.