Градиентная теорема

редактировать

Вычисляет линейный интеграл через поле градиента с использованием исходного поля масштабирования

Теорема градиента, также известная как фундаментальная теорема исчисления для линейных интегралов, гласит, что линейный интеграл через градиентное поле может быть вычислено путем вычисления исходного скалярного поля. в конечных точках кривой. Теорема является обобщением фундаментальной теоремы исчисления на любую кривую на плоскости или в пространстве (обычно n-мерного), а не только на действительную линию.

Пусть φ: U ⊆ ℝ → ℝ - непрерывно дифференцируемая функция, а γ - любая кривая в U, которая начинается в p и заканчивается в q . Тогда

∫ γ ∇ φ (r) ⋅ dr = φ (q) - φ (p) {\ displaystyle \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi (\ mathbf {r}) \ cdot \ mathrm {d } \ mathbf {r} = \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right)}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi (\ mathbf {r}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right)}

(где ∇φ обозначает поле градиента вектора φ).

Теорема градиента подразумевает, что линейные интегралы через поля градиента не зависят от пути. В физике эта теорема - один из способов определения консервативной силы. Если положить φ как потенциал, то ∇φ станет консервативным полем. Работа, выполняемая консервативными силами, не зависит от пути, по которому следует объект, а только от конечных точек, как показывает приведенное выше уравнение.

Теорема градиента также имеет интересное обратное: любое независимое от пути векторное поле может быть выражено как градиент скалярного поля. Как и сама градиентная теорема, это обратное имеет множество поразительных следствий и приложений как в чистой, так и в прикладной математике.

Содержание

1 Доказательство
2 Примеры
- 2.1 Пример 1
- 2.2 Пример 2
- 2.3 Пример 3
3 Обращение к градиентной теореме
- 3.1 Пример обратного принципа
4 Обобщения
5 См. Также
6 Ссылки

Доказательство

Если φ является дифференцируемой функцией из некоторого открытого подмножества U ( от ℝ) до ℝ, и если r является дифференцируемой функцией от некоторого замкнутого интервала [a, b] до U, то по правилу многомерной цепочки, составная функция φ ∘ r дифференцируема на (a, b) и

ddt (φ ∘ r) (t) = ∇ φ (r (t)) ⋅ r ′ (T) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ varphi \ circ \ mathbf {r}) (t) = \ nabla \ varphi (\ mathbf {r } (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t)}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r})(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)

для всех t в (a, b). Здесь ⋅ обозначает обычное внутреннее произведение.

. Теперь предположим, что область U для φ содержит дифференцируемую кривую γ с конечными точками p и q, (ориентированная в направлении от p до q ). Если rпараметризует γ для t в [a, b], то приведенное выше показывает, что

∫ γ ∇ φ (u) ⋅ du = ∫ ab ∇ φ (r (t)) ⋅ r ′ ( t) dt знак равно ∫ abddt φ (r (t)) dt = φ (r (b)) - φ (r (a)) = φ (q) - φ (p), {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u} = \ int _ {a} ^ {b} \ nabla \ varphi (\ mathbf { r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \ mathrm {d} t \\ = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {d} {dt}} \ varphi ( \ mathbf {r} (t)) \ mathrm {d} t = \ varphi (\ mathbf {r} (b)) - \ varphi (\ mathbf {r} (a)) = \ varphi \ left (\ mathbf { q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right), \ end {align}}}

{\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u})\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} =\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}

, где в первом равенстве используется определение линейного интеграла, а в третьем равенстве используется основная теорема исчисления.

Примеры

Пример 1

Предположим, что γ ⊂ ℝ - дуга окружности, ориентированная против часовой стрелки от (5, 0) до (−4, 3). Используя определение линейного интеграла,

∫ γ ydx + xdy = ∫ 0 π - tan - 1 (3 4) ((5 sin ⁡ t) (- 5 sin ⁡ t) + (5 cos ⁡ t) (5 cos ⁡ t)) dt = ∫ 0 π - tan - 1 (3 4) 25 (- sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t) dt = ∫ 0 π - tan - 1 (3 4) 25 cos ⁡ (2 t) dt = 25 2 sin ⁡ (2 t) | 0 π - tan - 1 (3 4) = 25 2 sin ⁡ (2 π - 2 tan - 1 (3 4)) = - 25 2 sin ⁡ (2 tan - 1 (3 4)) = - 25 (3 / 4) (3/4) 2 + 1 = - 12. {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ int _ {\ gamma} y \, \ mathrm {d} x + x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {\ pi - \ tan ^ {- 1} \! \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)} ((5 \ sin t) (- 5 \ sin t) + (5 \ cos t) (5 \ cos t)) \, \ mathrm {d} t \\ = \ int _ {0} ^ {\ pi - \ tan ^ {- 1} \! \ Left ( {\ frac {3} {4}} \ right)} 25 \ left (- \ sin ^ {2} t + \ cos ^ {2} t \ right) \ mathrm {d} t \\ = \ int _ { 0} ^ {\ pi - \ tan ^ {- 1} \! \ Left ({\ frac {3} {4}} \ right)} 25 \ cos (2t) \ mathrm {d} t \ = \ \ left. {\ tfrac {25} {2}} \ sin (2t) \ right | _ {0} ^ {\ pi - \ tan ^ {- 1} \! \ left ({\ tfrac {3} {4}} \ right)} \\ [. 5em] = {\ tfrac {25} {2}} \ sin \ left (2 \ pi -2 \ tan ^ {- 1} \! \! \ left ({\ tfrac { 3} {4}} \ right) \ right) \\ [. 5em] = - {\ tfrac {25} {2}} \ sin \ left (2 \ tan ^ {- 1} \! \! \ Left ({\ tfrac {3} {4}} \ right) \ right) \ = \ - {\ frac {25 (3/4)} {(3/4) ^ {2} +1}} = - 12. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ gamma} y \, \ mathrm {d} x + x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ { \ pi - \ tan ^ {- 1} \! \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)} ((5 \ sin t) (- 5 \ sin t) + (5 \ cos t) (5 \ cos t)) \, \ mathrm {d} t \\ = \ int _ {0} ^ {\ pi - \ tan ^ {- 1} \! \ Left ({\ frac {3} {4 }} \ right)} 25 \ left (- \ sin ^ {2} t + \ cos ^ {2 } t \ right) \ mathrm {d} t \\ = \ int _ {0} ^ {\ pi - \ tan ^ {- 1} \! \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)} 25 \ cos (2t) \ mathrm {d} t \ = \ \ left. {\ Tfrac {25} {2}} \ sin (2t) \ right | _ {0} ^ {\ pi - \ tan ^ {-1} \! \ Left ({\ tfrac {3} {4}} \ right)} \\ [. 5em] = {\ tfrac {25} {2}} \ sin \ left (2 \ pi - 2 \ tan ^ {- 1} \! \! \ Left ({\ tfrac {3} {4}} \ right) \ right) \\ [. 5em] = - {\ tfrac {25} {2}} \ sin \ left (2 \ tan ^ {- 1} \! \! \ left ({\ tfrac {3} {4}} \ right) \ right) \ = \ - {\ frac {25 (3/4) } {(3/4) ^ {2} +1}} = - 12. \ end {align}}}

Этот результат можно получить гораздо проще, если заметить, что функция $f (x, y) = xy {\ displaystyle f (x, y) = xy}$ $f (x, y) = ху$ есть гр adient $∇ f (x, y) = (y, x) {\ displaystyle \ nabla f (x, y) = (y, x)}$ ${\ displaystyle \ nabla f (x, y) = (y, x)}$ , поэтому по теореме о градиенте:

∫ γ ydx + xdy = ∫ γ ∇ (xy) ⋅ (dx, dy) = xy | (5, 0) (- 4, 3) = - 4 ⋅ 3 - 5 ⋅ 0 = - 12. {\ displaystyle \ int _ {\ gamma} y \, \ mathrm {d} x + x \, \ mathrm { d} y = \ int _ {\ gamma} \ nabla (xy) \ cdot (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \ = \ xy \, | _ {(5,0)} ^ { (-4,3)} = - 4 \ cdot 3-5 \ cdot 0 = -12.}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} y \, \ mathrm {d} x + x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {\ gamma} \ nabla (xy) \ cdot (\ mathrm { d} x, \ mathrm {d} y) \ = \ xy \, | _ {(5,0)} ^ {(- 4,3)} = - 4 \ cdot 3-5 \ cdot 0 = -12. }

Пример 2

Для более абстрактного примера предположим, что γ ⊂ ℝ имеет конечные точки p, q, с ориентацией от p до q . Для u в ℝ пусть | u | обозначают евклидову норму для u . Если α ≥ 1 действительное число, то

∫ γ | х | α - 1 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ (α + 1) | х | (α + 1) - 2 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ ∇ | х | α + 1 ⋅ d x = | q | α + 1 - | p | α + 1 α + 1 {\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ gamma} | \ mathbf {x} | ^ {\ alpha -1} \ mathbf {x} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ int _ {\ gamma} (\ alpha +1) | \ mathbf {x} | ^ {(\ alpha +1) -2} \ mathbf {x} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ = {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ int _ {\ gamma} \ nabla | \ mathbf {x} | ^ {\ alpha +1} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = {\ frac {| \ mathbf {q} | ^ {\ alpha +1} - | \ mathbf {p} | ^ {\ alpha + 1}} {\ alpha +1}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ gamma} | \ mathbf {x} | ^ {\ alpha -1} \ mathbf {x} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ int _ {\ gamma} (\ alpha +1) | \ mathb f {x} | ^ {(\ alpha +1) -2} \ mathbf {x} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ = {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ int _ {\ gamma} \ nabla | \ mathbf {x} | ^ {\ alpha +1} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = {\ frac {| \ mathbf {q} | ^ {\ альфа +1} - | \ mathbf {p} | ^ {\ alpha +1}} {\ alpha +1}} \ end {выравнивается}}}

Здесь окончательное равенство следует из градиентной теоремы, поскольку функция f (x ) = | x | дифференцируема на ℝ, если α ≥ 1.

Если α < 1 then this equality will still hold in most cases, but caution must be taken if γ passes through or encloses the origin, because the integrand vector field |x|xтам не определится. Однако случай α = −1 несколько иной; в этом случае подынтегральное выражение становится | x|x= ∇ (log | x |), так что окончательное равенство становится log | q | - журнал | p |.

Обратите внимание, что если n = 1, то этот пример представляет собой лишь небольшой вариант знакомого правила мощности из исчисления одной переменной.

Пример 3

Предположим, что имеется n точечных зарядов, расположенных в трехмерном пространстве, а i-й точечный заряд имеет заряд Qiи равен расположен в позиции piв ℝ. Мы хотели бы вычислить работу, совершаемую над частицей заряда q, когда она перемещается из точки a в точку b в ℝ. Используя закон Кулона, мы можем легко определить, что сила, действующая на частицу в позиции r, будет

F (r) = kq ∑ i = 1 n Q i (r - pi) | г - р я | 3 {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {Q_ {i} (\ mathbf {r} - \ mathbf {p}) _ {i})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {Q_ {i} (\ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}}}}

Здесь | u | обозначает евклидову норму вектора u в ℝ, и k = 1 / (4πε 0), где ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Пусть γ ⊂ ℝ - {p1,..., pn} - произвольная дифференцируемая кривая от a до b . Тогда работа, выполняемая над частицей, равна

W = ∫ γ F (r) ⋅ dr = ∫ γ (kq ∑ i = 1 n Q i (r - pi) | r - pi | 3) ⋅ dr = kq ∑ я знак равно 1 N (Q я ∫ γ р - пи | г - пи | 3 ⋅ dr) {\ displaystyle W = \ int _ {\ gamma} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \ mathrm { d} \ mathbf {r} = \ int _ {\ gamma} \ left (kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {Q_ {i} (\ mathbf {r} - \ mathbf {p } _ {i})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (Q_ {i} \ int _ {\ gamma} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ right)}

{\ displaystyle W = \ int _ {\ gamma} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ int _ {\ gamma} \ left (kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac { Q_ {i} (\ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (Q_ {i} \ int _ {\ gamma} {\ frac {\ mathbf { r} - \ mathbf {p} _ {i}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ right)}

Теперь для каждого i, прямое вычисление показывает, что

r - pi | г - р я | 3 = - ∇ 1 | г - р я |. {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}} } = - \ nabla {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf { r} - \ mathbf {p} _ {i}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right | ^ {3}}} = - \ nabla {\ frac {1 } {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |}}.}

Таким образом, продолжая сверху и используя градиентную теорему,

W = - kq ∑ i = 1 n (Q i ∫ γ ∇ 1 | r - pi | ⋅ dr) = kq ∑ i = 1 n Q i (1 | a - pi | - 1 | b - pi |) {\ displaystyle W = -kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (Q_ {i} \ int _ {\ gamma} \ nabla {\ frac {1} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ right) = kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i} \ left ({\ frac {1} {\ left | \ mathbf {a} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |}} - {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {b} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |}} \ right)}

{\ displaystyle W = -kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ слева (Q_ {i} \ int _ { \ gamma} \ nabla {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ right) = kq \ sum _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i} \ left ({\ frac {1} {\ left | \ mathbf {a} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |} } - {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {b} - \ mathbf {p} _ {i} \ right |}} \ right)}

Мы закончили. Конечно, мы могли бы легко завершить этот расчет, используя мощный язык электростатического потенциала или электростатической потенциальной энергии (с помощью знакомых формул W = -ΔU = -qΔV). Однако мы еще не определили потенциальную или потенциальную энергию, потому что обращение градиентной теоремы требуется для доказательства того, что это хорошо определенные дифференцируемые функции и что эти формулы верны (см. Ниже ). Таким образом, мы решили эту проблему, используя только закон Кулона, определение работы и градиентную теорему.

Обратное градиентной теореме

Градиентная теорема утверждает, что если векторное поле F является градиентом некоторой скалярной функции (т. Е. Если F является консервативным ), тогда F является независимым от пути векторным полем (т. Е. Интеграл F по некоторой кусочно-дифференцируемой кривой зависит только на конечных точках). Эта теорема имеет мощное обратное:

Если F - векторное поле, независимое от путей, то F - градиент некоторой скалярной функции.

Это просто чтобы показать, что векторное поле не зависит от пути тогда и только тогда, когда интеграл векторного поля по каждому замкнутому контуру в его области равен нулю. Таким образом, обратное можно альтернативно сформулировать следующим образом: если интеграл от F по каждому замкнутому контуру в области F равен нулю, то F является градиентом некоторой скалярной функции.

Доказательство обратного
Предположим, что U является открытым, соединенным по путям подмножеством ℝ, и F : U → ℝ является непрерывное и независимое от пути векторное поле. Зафиксируем некоторый элемент a из U и определим f: U → ℝ с помощью $f (x): = ∫ γ [a, x] F (u) ⋅ du {\ displaystyle f (\ mathbf {x}): = \ int _ {\ gamma [\ mathbf {a}, \ mathbf {x}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u} }$ ${\ displaystyle f (\ mathbf { x}): = \ int _ {\ gamma [\ mathbf {a}, \ mathbf {x}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u}}$ Здесь γ [a, x] - любая (дифференцируемая) кривая в U, начинающаяся в a и заканчивающаяся в x . Мы знаем, что f четко определен, потому что F не зависит от пути. Пусть v - любой ненулевой вектор в ℝ. По определению производной по направлению, $∂ f ∂ v (x) = lim t → 0 f (x + tv) - f (x) t = lim t → 0 ∫ γ [a, x + tv ] F (u) ⋅ du - ∫ γ [a, x] F (u) ⋅ dut = lim t → 0 1 t ∫ γ [x, x + tv] F (u) ⋅ du {\ displaystyle {\ begin { выровнено} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}) -f (\ mathbf {x})} {t}} \\ = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ int _ {\ gamma [\ mathbf {a}, \ mathbf {x} + t \ mathbf {v}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u} - \ int _ {\ gamma [\ mathbf { a}, \ mathbf {x}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot d \ mathbf {u}} {t}} \\ = \ lim _ {t \ to 0} {\ гидроразрыв {1} {t}} \ int _ {\ gamma [\ mathbf {x}, \ mathbf {x} + t \ mathbf {v}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}) -f (\ mathbf {x})} {t}} \\ = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ int _ {\ gamma [\ mathbf {a}, \ mathbf {x} + t \ mathbf {v}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u} - \ int _ {\ gamma [\ mathbf {a}, \ mathbf {x}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot d \ mathbf {u} } {t}} \\ = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {t}} \ int _ {\ gamma [\ mathbf {x}, \ mathbf {x} + t \ mathbf {v}]} \ mathbf {F} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u} \ end {align}}}$ Чтобы вычислить интеграл в пределах конечного предела, мы должны параметризовать γ[x, x+ t v ]. Поскольку F не зависит от пути, U является открытым, а t приближается к нулю, мы можем предположить, что этот путь является прямой линией, и параметризовать его как u (s) = x + s v для 0 < s < t. Now, since u '(s) = v, предел становится $lim t → 0 1 t ∫ 0 t F (u (s)) ⋅ u ′ (s) ds = ddt ∫ 0 t F (x + sv) ⋅ vds \| t знак равно 0 знак равно F (x) ⋅ v {\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {t}} \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} (\ mathbf {u} (s)) \ cdot \ mathbf {u} '(s) \, \ mathrm {d} s = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ { 0} ^ {t} \ mathbf {F} (\ mathbf {x} + s \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} \, \ mathrm {d} s {\ bigg \|} _ {t = 0 } = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {v}}$ $\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v})\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg \|}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x})\cdot \mathbf {v}$ Таким образом, у нас есть формула для ∂ vf, где v произвольно. Пусть x = (x 1, x 2,..., x n) и пусть eiобозначает i- th стандартный базисный вектор, так что $∇ f (x) = (∂ f (x) ∂ x 1, ∂ f (x) ∂ x 2,…, ∂ f (x) ∂ xn) Знак равно (F (Икс) ⋅ е 1, F (Икс) ⋅ е 2,…, F (Икс) ⋅ en) = F (x) {\ Displaystyle \ nabla F (\ mathbf {x}) = {\ bigg (} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {1}}}, {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {2}} }, \ точек, {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {n}}} {\ bigg)} = (\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {2}, \ dots, \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {n}) = \ mathbf {F} (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ nabla f (\ mathbf {x}) = {\ bigg (} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ { 1}}}, {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {2}}}, \ dots, {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ частичный x_ {n}}} {\ bigg)} = (\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {2}, \ dots, \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {n}) = \ mathbf {F} ( \ mathbf {x})}$ Таким образом, мы нашли скалярную функцию f, градиент которой является независимым от пути векторным полем F, по желанию.

Пример обратного принципа

Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приводим пример, который имеет значительные физические последствия. В классическом электромагнетизме, электрическая сила является силой, не зависящей от пути; то есть работа, выполненная над частицей, которая вернулась в исходное положение в пределах электрического поля, равна нулю (при условии, что никаких изменяющихся магнитных полей нет).

Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что электрическое силовое поле Fe: S → ℝ консервативно (здесь S - это некий открытый, линейно связанный подмножество ℝ, которое содержит распределение заряда ). Следуя идеям приведенного выше доказательства, мы можем установить некоторую контрольную точку a в S и определить функцию U e : S → ℝ с помощью

U e (r): Знак равно - ∫ γ [a, r] F е (u) ⋅ du {\ displaystyle U_ {e} (\ mathbf {r}): = - \ int _ {\ gamma [\ mathbf {a}, \ mathbf {r }]} \ mathbf {F} _ {e} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u}}

{\ displaystyle U_ {e} (\ mathbf {r}): = - \ int _ {\ gamma [\ mathbf {a}, \ mathbf {r}]} \ mathbf {F} _ {е} (\ mathbf {u}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {u}}

Используя приведенное выше доказательство, мы знаем U e хорошо определена и дифференцируема, и Fe= −∇U e (из этой формулы мы можем использовать градиентную теорему, чтобы легко вывести известную формулу для расчета работы, выполняемой консервативными силами: W = −ΔU). Эта функция U e часто упоминается как электростатическая потенциальная энергия системы зарядов в S (со ссылкой на нулевой потенциал a ). Во многих случаях область S считается неограниченной, а контрольная точка a принимается равной «бесконечности», что можно сделать строгим с помощью ограничения техники. Эта функция U e - незаменимый инструмент, используемый при анализе многих физических систем.

Обобщения

Многие критические теоремы векторного исчисления элегантно обобщаются до утверждений об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях. На языке дифференциальных форм и внешних производных градиентная теорема утверждает, что

∫ ∂ γ ϕ = ∫ γ d ϕ {\ displaystyle \ int _ {\ partial \ gamma } \ phi = \ int _ {\ gamma} \ mathrm {d} \ phi}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ gamma} \ phi = \ int _ {\ gamma} \ mathrm {d} \ phi}

для любой 0-формы, ϕ, определенной на некоторой дифференцируемой кривой γ ⊂ ℝ (здесь интеграл от ϕ над границей γ понимается оценка ϕ на концах γ).

Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной версией теоремы Стокса, в которой говорится, что интеграл любой дифференциальной формы с компактным носителем ω на граница некоторого ориентируемого многообразия Ω равна интегралу от его внешней производной dω по всему Ω, т. е.

∫ ∂ Ω ω = ∫ Ω d ω {\ displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} \ mathrm {d} \ omega}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} \ mathrm {d} \ omega}

Это мощное утверждение является обобщением градиентной теоремы из 1-форм, определенных на одномерных многообразиях к дифференциальным формам, определенным на многообразиях произвольной размерности.

Обратное утверждение градиентной теоремы также имеет мощное обобщение в терминах дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим, что ω - это форма, определенная на стягиваемой области, и интеграл от ω по любому замкнутому многообразию равен нулю. Тогда существует форма ψ такая, что ω = dψ. Таким образом, в сокращаемом домене каждая закрытая форма является точной. Этот результат резюмируется леммой Пуанкаре.

См. Также

Литература

^Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Математика с несколькими переменными, четвертое издание, стр. 374. Pearson Education, Inc.
^ "Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Математика с множественными переменными, четвертое издание, стр. 410. Pearson Education, Inc."