Тензор напряженности поля глюонов

редактировать

В теоретической физике элементарных частиц, тензор напряженности поля глюонов - тензорное поле второго порядка, характеризующее глюонное взаимодействие между кварками.

сильное взаимодействие является одним из фундаментальных взаимодействия природы, а квантовая теория поля (КТП) для ее описания называется квантовой хромодинамикой (КХД). Кварки взаимодействуют друг с другом посредством сильного взаимодействия из-за их цветового заряда, опосредованного глюонами. Сами глюоны обладают цветным зарядом и могут взаимодействовать друг с другом.

Тензор напряженности глюонного поля представляет собой тензорное поле ранга 2 в пространстве-времени со значениями в сопряженном пучке хромодинамической SU (3) калибровочная группа (необходимые определения см. В векторном расслоении ).

Содержание

1 Условные обозначения
2 Определение
- 2.1 Компоненты тензора
- 2.2 Дифференциальные формы
- 2.3 Сравнение с электромагнитным тензором
3 Плотность лагранжиана КХД
4 Калибровочные преобразования
5 Уравнения движения
6 См. Также
7 Ссылки
- 7.1 Примечания
- 7.2 Дополнительная литература
  - 7.2.1 Книги
  - 7.2.2 Избранные статьи
8 Внешние ссылки

Соглашение

В этой статье латинские индексы (обычно a, b, c, n) принимают значения 1, 2,..., 8 для восьми глюонных цветовых зарядов, а греческие индексы (обычно α, β, μ, ν) принимают значения 0 для времениподобных компонентов и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов четырехвекторов и четырехмерных тензоров пространства-времени. Во всех уравнениях соглашение о суммировании используется для всех цветовых и тензорных индексов, если в тексте явно не указано, что нет суммы, которую нужно взять (например, «нет суммы»).

Определение

Ниже определения (и большая часть обозначений) следуют К. Яги, Т. Хацуда, Ю. Миаке и Грейнер, Шефер.

Тензорные компоненты

Тензор обозначается G, (или F, F или какой-то другой вариант) и имеет компоненты, определенные , пропорциональные коммутатору ковариантной производной кварка Dμ:

G α β = ± 1 игс [D α, D β], {\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} = \ pm {\ frac {1} {ig_ {s}}} [D _ {\ alpha}, D _ {\ beta}] \,,}

{\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} = \ pm {\ frac {1} {ig_ {s}}} [D _ {\ alpha}, D _ {\ beta}] \,,}

где:

D μ = ∂ μ ± igsta A μ a, {\ displaystyle D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ pm ig_ {s } t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ^ {a} \,,}

D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ pm ig_ {s} t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ^ {a} \,,

, где

i - это мнимая единица, ;
gs- это связь константа сильной силы;
ta= λ a / 2 - матрицы Гелл-Манна λa, деленные на 2;
a - индекс цвета в присоединенном представлении элемента SU (3), которые принимают значения 1, 2,..., 8 для восьми генераторов группы, а именно матриц Гелл-Манна ;
μ - индекс пространства-времени, 0 для timelik компоненты е и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов;
$A μ = ta A μ a {\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} = t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ^ {a}}$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} = t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ^ {a}$ выражает глюонное поле, калибровочное поле спина -1 или, на дифференциально-геометрическом языке, соединение в SU (3) основной пучок ;
$A μ {\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu}}$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu }$ - четыре его (зависит от системы координат) компоненты, которые в фиксированной калибровке являются 3 × 3 бесследными эрмитовыми матричными -значными функциями, а $A μ a {\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ^ {a }}$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} ^ {a}$ - 32 функции с действительным знаком, четыре компонента для каждого из восьми четырехвекторных полей.

Разные авторы выбирают разные знаки.

Расширение коммутатора дает;

G α β знак равно ∂ α A β - ∂ β A α ± igs [A α, A β] {\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} \ pm ig_ {s} [{\ mathcal {A}} _ {\ alpha}, {\ mathcal {A }} _ {\ beta}]}

G _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} {\ mat hcal {A}} _ {\ alpha} \ pm ig_ {s} [{\ mathcal {A}} _ {\ alpha}, {\ mathcal {A}} _ {\ beta}]

Подстановка $ta A α a = A α {\ displaystyle t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {a} = {\ mathcal {A}} _ {\ alpha}}$ $t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {a} = {\ mathcal {A}} _ {\ alpha}$ и используя соотношение коммутации $[ta, tb] = ifabctc {\ displaystyle [t_ {a}, t_ {b} ] = if_ {ab} {} ^ {c} t_ {c}}$ ${\ displaystyle [t_ {a}, t_ {b}] = if_ {ab} {} ^ {c} t_ {c}}$ для матриц Гелл-Манна (с переименованием индексов), в которых f - структурные константы из SU (3) каждая из составляющих напряженности глюонного поля может быть выражена как линейная комбинация матриц Гелл-Манна следующим образом:

G α β = ∂ α ta A β a - ∂ β ta A α a ± igs [tb, tc] A α b A β c = ta (∂ α A β a - ∂ β A α a ± i 2 fbcags A α b A β c) = ta G α β a, {\ displaystyle {\ begin {align} G _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {a} - \ partial _ {\ beta} t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {a} \ pm ig_ {s} \ left [t_ {b}, t_ {c} \ right] {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {b} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {c} \\ = t_ {a} \ left (\ partial _ {\ alpha} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {a} - \ partial _ {\ beta} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {a} \ pm i ^ {2} f_ {bc} { } ^ {a} g_ {s} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {b} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {c} \ right) \\ = t_ { a} G _ {\ alpha \ beta} ^ {a} \\\ end {align}} \,,}

{\ displaystyle {\ begin {align} G _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {a} - \ partial _ {\ beta} t_ {a} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {a} \ pm ig_ {s} \ left [t_ {b}, t_ {c} \ right] {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {b} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {c} \\ = t_ {a} \ left (\ partial _ {\ alpha} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {a} - \ partial _ {\ beta} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {a} \ pm i ^ {2} f_ {bc} {} ^ {a} g_ {s} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {b} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {c} \ right) \\ = t_ {a} G _ {\ alpha \ beta} ^ {a} \\\ end {выровнено}} \,,}

так, чтобы:

G α β a = ∂ α A β a - ∂ β A α a ∓ gsfabc A α б A β с, {\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} ^ {a} = \ partial _ {\ alpha} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {a} - \ partial _ {\ beta} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {a} \ mp g_ {s} f ^ {a} {} _ {bc} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {b} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {c} \,,}

{ \ Displaystyle G _ {\ alpha \ beta} ^ {a} = \ partial _ {\ alpha} {\ mathcal {A}} _ {\ beta} ^ {a} - \ partial _ {\ beta} {\ mathcal {A }} _ {\ alpha} ^ {a} \ mp g_ {s} f ^ {a} {} _ {bc} {\ mathcal {A}} _ {\ alpha} ^ {b} {\ mathcal {A} } _ {\ beta} ^ {c} \,,}

где снова a, b, c = 1, 2,..., 8 - индексы цвета. Как и в случае с глюонным полем, в конкретной системе координат и фиксированной калибровке G αβ представляют собой бесследные эрмитовы матричнозначные функции 3 × 3, а G αβ - вещественные функции, компоненты восьми четырехмерных тензорных полей второго порядка.

Дифференциальные формы

Цветовое поле глюона может быть описано с использованием языка дифференциальных форм, в частности, как сопряженная связнозначная 2-форма кривизны (заметим, что слои присоединенного расслоения - это su (3) алгебра Ли );

G = d A ∓ GS A ∧ A, {\ displaystyle \ mathbf {G} = \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ mathcal {A}}} \ mp g_ {s} \, {\ boldsymbol { \ mathcal {A}}} \ wedge {\ boldsymbol {\ mathcal {A}}} \,,}

\ mathbf {G} = \ mathrm {d} {\ boldsymbol { \ mathcal {A}}} \ mp g_ {s} \, {\ boldsymbol {\ mathcal {A}}} \ wedge {\ boldsymbol {\ mathcal {A}}} \,,

где $A {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {A}}}}$ ${\ boldsymbol {\ mathcal {A}}}$ - глюонное поле, векторный потенциал 1-форма, соответствующая G, а ∧ - (антисимметричное) произведение клина этой алгебры, дающее структурные константы f. Картановская -производная формы поля (то есть, по существу, дивергенция поля) была бы равна нулю в отсутствие «глюонных членов», то есть тех $A {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ \ mathcal {A}}}}$ ${\ boldsymbol {\ mathcal {A}}}$ , которые представляют неабелев символ SU (3).

Более математически формальный вывод тех же идей (но с немного измененной настройкой) можно найти в статье о метрических связях.

Сравнение с электромагнитным тензором

Это почти параллельна тензору электромагнитного поля (также обозначается F) в квантовой электродинамике, заданному электромагнитным четырехпотенциалом A, описывающим фотон со спином 1 ;

F α β знак равно ∂ α A β - ∂ β A α, {\ Displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha} \,,}

F _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha} \,,

или на языке дифференциальных форм:

F = d A. {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathrm {d} \ mathbf {A} \,.}

\ mathbf {F} = \ mathrm {d} \ mathbf {A} \,.

Ключевое различие между квантовой электродинамикой и квантовой хромодинамикой состоит в том, что сила глюонного поля содержит дополнительные члены, которые приводят к самодействия между глюонами и асимптотическая свобода. Это осложнение из-за того, что сильное взаимодействие делает его по своей сути нелинейным, вопреки линейной теории электромагнитного взаимодействия. КХД - это неабелева калибровочная теория. Слово неабелева на теоретико-групповом языке означает, что групповая операция не является коммутативной, что делает соответствующую алгебру Ли нетривиальной.

Плотность лагранжиана КХД

Характерная для теорий поля динамика напряженности поля резюмируется подходящей плотностью лагранжиана и подстановкой в уравнение Эйлера – Лагранжа (для полей) получает уравнение движения для поля. Плотность лагранжиана для безмассовых кварков, связанных глюонами, составляет:

L = - 1 2 tr (G α β G α β) + ψ ¯ (i D μ) γ μ ψ {\ displaystyle {\ mathcal {L} } = - {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} \ left (G _ {\ alpha \ beta} G ^ {\ alpha \ beta} \ right) + {\ bar {\ psi}} \ left (iD _ {\ mu} \ right) \ gamma ^ {\ mu} \ psi}

{\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} \ left (G _ {\ alpha \ beta} G ^ {\ alpha \ beta} \ right) + {\ bar {\ psi}} \ left (iD _ {\ mu} \ right) \ gamma ^ {\ mu} \ psi

где "tr" обозначает след матрицы G 3 × 3 αβ G, и γ - это гамма-матрицы 4 × 4 . В фермионном члене $я ψ ¯ (i D μ) γ μ ψ {\ displaystyle i {\ bar {\ psi}} \ left (iD _ {\ mu} \ right) \ gamma ^ {\ mu} \ psi }$ ${\ displaystyle i {\ bar {\ psi}} \ left (iD _ {\ mu} \ right) \ gamma ^ {\ mu} \ psi}$ , индексы цвета и спинора подавляются. С явными индексами $ψ i, α {\ displaystyle \ psi _ {i, \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {i, \ alpha}}$ , где $i = 1,…, 3 {\ displaystyle i = 1, \ ldots, 3}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, 3}$ - это индексы цвета, а $α = 1,…, 4 {\ displaystyle \ alpha = 1, \ ldots, 4}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1, \ ldots, 4}$ - спинорные индексы Дирака.

Калибровочные преобразования

В отличие от КЭД тензор напряженности глюонного поля сам по себе не является калибровочно-инвариантным. Калибровочно инвариантно только произведение двух, сжатых по всем индексам.

Уравнения движения

Рассматриваемые как классическая теория поля уравнения движения кварковых полей следующие:

(i ℏ γ μ D μ - mc) ψ = 0 {\ displaystyle (i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -mc) \ psi = 0}

(я \ hbar \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -mc) \ psi = 0

, который похож на уравнение Дирака, и уравнения движения для глюона ( калибровочные) поля:

[D μ, G μ ν] = gsj ν {\ displaystyle \ left [D _ {\ mu}, G ^ {\ mu \ nu} \ right] = g_ {s} j ^ { \ nu}}

\ left [D _ {\ mu}, G ^ {\ mu \ nu} \ right] = g_ {s} j ^ {\ nu}

, которые аналогичны уравнениям Максвелла (если записаны в тензорной записи). В частности, это уравнения Янга – Миллса для кварковых и глюонных полей. Это источник тензора напряженности глюонного поля, аналогичный электромагнитному четырехтоковому как источнику электромагнитного тензора. Он задается выражением

j ν = tbjb ν, jb ν = ψ ¯ γ ν tb ψ, {\ displaystyle j ^ {\ nu} = t ^ {b} j_ {b} ^ {\ nu} \,, \ quad j_ {b} ^ {\ nu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ nu} t ^ {b} \ psi,}

{\ displaystyle j ^ {\ nu} = t ^ {b} j_ {b} ^ {\ nu} \,, \ quad j_ {b} ^ {\ nu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ nu} t ^ {b} \ psi,}

который является сохраняющимся током, поскольку сохраняется цветной заряд. Другими словами, цветной четырехпоток должен удовлетворять уравнению непрерывности :

D ν j ν = 0. {\ displaystyle D _ {\ nu} j ^ {\ nu} = 0 \,.}

{\ displaystyle D _ {\ nu} j ^ {\ nu} = 0 \,.}

См. также

Литература

Примечания

Дополнительная литература

Книги

H. Fritzsch (1982). Кварки: материя. Аллен переулок. ISBN 978-0-7139-15334.
Б.Р. Мартин; Г. Шоу (2009). Физика частиц. Серия Manchester Physics (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-03294-7.
С. Саркар; Х. Сац; Б. Синха (2009). Физика кварк-глюонной плазмы: вводные лекции. Springer. ISBN 978-3642022852.
Дж. Тхань Ван Тран (редактор) (1987). Адроны, кварки и глюоны: Труды адронной сессии двадцать второй Ренконтр де Морион, Ле-Арк-Савойя-Франция. Atlantica Séguier Frontières. ISBN 978-2863320488. CS1 maint: дополнительный текст: список авторов (ссылка )
R. Alkofer; H. Reinhart (1995). Хиральная кварковая динамика. Спрингер. ISBN 978-3540601371.
К. Чанг (2008). Адронное рождение сечения ψ (2S) и поляризация. ISBN 978-0549597742.
Дж. Коллинз (2011). Основы пертурбативной КХД. Cambridge University Press. ISBN 978- 0521855334.
WNA Cottingham; DAA Greenwood (1998). Стандартная модель физики элементарных частиц. Cambridge University Press. ISBN 978-0521588324.

Избранные статьи

JP Maa; Q. Wang; GP Zhang (2012). «КХД-эволюция операторов с нечетной киральностью твист-3». Physics Letters B. 718 (4–5): 1358–1363. arXiv : 1210.1006. Bibcode : 2013PhLB..718.1358M. doi : 10.1016 / j.physletb. 2012.12.007. S2CID 118575585.
М. Д'Элиа, А. Ди Джакомо, Э. Меггиоларо (1997). "Поле силовые корреляторы в полной КХД ». Physics Letters B. 408 (1–4): 315–319. arXiv : hep-lat / 9705032. Bibcode : 1997PhLB..408..315D. DOI : 10.1016 / S0370-2693 (97) 00814-9. S2CID 119533874. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
A. Di Giacomo; M. D'elia; H. Panagopoulos; E. Meggiolaro (1998). "Калибровочно-инвариантные корреляторы напряженности поля в КХД". arXiv : hep-lat / 9808056.
M. Neubert (1993). "Теорема вириала для кинетической энергии тяжелого кварка внутри адронов ". Physics Letters B. 322 (4): 419–424. arXiv : hep-ph / 9311232. Bibcode : 1994PhLB..322..419N. doi : 10.1016 / 0370-2693 (94) 91174-6. S2CID 14214029.
M. Neubert; N. Brambilla ; HG Dosch; A. Vairo (1998). "Корреляторы напряженности поля и двойная эффективная динамика в КХД". Physical Review D. 58 (3): 034010. arXiv : hep-ph / 9802273. Bibcode : 1998PhRvD..58c4010B. doi : 10.1103 / PhysRevD.58.034010. S2CID 1824834.
M. Neubert (1996). "Правило сумм КХД расчет кинетической энергии и хромовзаимодействия ион тяжелых кварков внутри мезонов » (PDF). Physics Letters B.

Внешние ссылки

K. Эллис (2005). "QCD" (PDF). Фермилаб. Архивировано 26 сентября 2006 года. CS1 maint: непригодный URL (ссылка )
«Глава 2: Лагранжиан QCD» (PDF). Technische Universität München. Проверено 2013-10- 17.