Пространство Фока

редактировать

Алгебраическая конструкция для изучения идентичных частиц в квантовой механике

Пространство Фока - это алгебраическая конструкция, используемая в квантовой механике для построения пространства квантовых состояний переменного или неизвестного числа идентичных частиц из одной частицы Гильбертово пространство H. Назван в честь В. А. Фок, который первым представил его в своей статье 1932 года «Konfigurationsraum und zweite Quantelung».

Неформально пространство Фока представляет собой сумму набора гильбертовых пространств, представляющих состояния с нулевой частицей, состояния с одной частицей, два состояния частиц и так далее. Если идентичные частицы являются бозонами, n-частичные состояния являются векторами в симметризованном тензорном произведении n одночастичных гильбертовых пространств H. Если идентичные частицы являются фермионами, n-частичные состояния являются векторами в антисимметризованном тензорном произведении n одночастичных гильбертовых пространств H. Общее состояние в пространстве Фока - это линейная комбинация n-частичных состояний, по одному для каждого n.

Технически пространство Фока (гильбертово пространство завершение из) прямая сумма симметричных или антисимметричных тензоров в тензорные степени одночастичного гильбертова пространства H,

F ν (H) = ⨁ n = 0 ∞ S ν H ⊗ n ¯. {\ displaystyle F _ {\ nu} (H) = {\ overline {\ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} S _ {\ nu} H ^ {\ otimes n}}} ~.}

{\ displaystyle F _ {\ nu} (H) = {\ overline {\ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} S _ {\ nu} H ^ {\ otimes n}}} ~.}

Здесь $S ν {\ displaystyle S _ {\ nu}}$ $S _ {\ nu}$ - оператор , который симметризует или антисимметризует тензор, в зависимости от того, описывает ли гильбертово пространство частицы. подчиняясь бозонному $(ν = +) {\ displaystyle (\ nu = +)}$ $(\ nu = +)$ или фермионному $(ν = -) {\ displaystyle (\ nu = -)}$ $(\ nu = -)$ статистика, а верхняя черта представляет собой заполнение пробела. Бозонное (соответственно фермионное) пространство Фока можно также построить как (пополнение гильбертова пространства) симметричных тензоров $F + (H) = S ∗ H ¯ {\ displaystyle F _ {+} (H) = {\ overline {S ^ {*} H}}}$ $F _ + (H) = \ overline {S ^ * H}$ (соответственно чередующиеся тензоры $F - (H) = ⋀ ∗ H ¯ {\ displaystyle F _ {-} (H) = {\ overline {{\ bigwedge} ^ {*} H}}}$ $F _- (H) = \ overline {{\ bigwedge} ^ * H}$ ). Для каждого базиса H существует естественный базис пространства Фока, состояния Фока.

Содержание

1 Определение
2 Состояния продукта, неразличимые частицы и полезный базис для пространства Фока
3 Интерпретация волновой функции
4 Связь с пространством Сегала – Баргмана
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Определение

Пространство Фока - это (гильбертово) прямая сумма из тензорных произведений копий одночастичного гильбертова пространства $H {\ displaystyle H}$ $H$

F ν (H) = ⨁ n = 0 ∞ S ν ЧАС ⊗ N знак равно С ⊕ ЧАС ⊕ (S ν (H ⊗ H)) ⊕ (S ν (H ⊗ H ⊗ H)) ⊕… {\ displaystyle F _ {\ nu} (H) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} S _ {\ nu} H ^ {\ otimes n} = \ mathbb {C} \ oplus H \ oplus \ left (S _ {\ nu} \ left (H \ otimes H \ right) \ right) \ oplus \ left (S _ {\ nu} \ left (H \ otimes H \ otimes H \ right) \ right) \ oplus \ ldots}

F_ \ nu (H) = \ bigoplus_ {n = 0} ^ {\ infty} S_ \ nu H ^ {\ otimes n} = \ mathbb {C} \ oplus H \ oplus \ left (S_ \ nu \ left (H \ otimes H \ right) \ right) \ oplus \ left (S_ \ nu \ left (H \ otimes H \ otimes H \ right) \ right) \ oplus \ ldots

Здесь $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , комплексные скаляры, состоит из состояний, соответствующих отсутствию частиц, $H {\ displaystyle H}$ $H$ состояния одной частицы, $S ν (H ⊗ H) {\ displaystyle S _ {\ nu} (H \ otimes H)}$ $S_ \ nu (H \ otimes H)$ состояния двух одинаковых частиц и т. д.

Типичное состояние в $F ν (H) {\ displaystyle F _ {\ nu} (H)}$ $F_ \ nu (H)$ задается как

| Ψ⟩ ν = | Ψ 0⟩ ν ⊕ | Ψ 1⟩ ν ⊕ | Ψ 2⟩ ν ⊕… = a 0 | 0⟩ ⊕ a 1 | ψ 1⟩ ⊕ ∑ i j a i j | ψ 2 я, ψ 2 J⟩ ν ⊕… {\ displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ Psi _ {0} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {1} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {2} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots = a_ {0} | 0 \ rangle \ oplus a_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle \ oplus \ sum _ {ij} a_ {ij} | \ psi _ {2i}, \ psi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots}

{\ displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ Psi _ {0} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {1} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {2} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots = a_ {0} | 0 \ rangle \ oplus a_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle \ oplus \ sum _ { ij} a_ {ij} | \ psi _ {2i}, \ psi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots}

где

| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}

| 0 \ rangle

- вектор длины 1, называемый состоянием вакуума, и

a 0 ∈ C {\ displaystyle \, a_ {0} \ in \ mathbb {C }}

\, a_0 \ in \ mathbb {C}

- комплексный коэффициент,

| ψ 1⟩ ∈ H {\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle \ in H}

| \ psi_1 \ rangle \ in H

- состояние в гильбертовом пространстве с одной частицей, и

a 1 ∈ C {\ displaystyle \, a_ {1} \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle \, a_ {1} \ in \ mathbb {C}}

- комплексный коэффициент,

| ψ 2 я, ψ 2 J⟩ ν знак равно 1 2 (| ψ 2 я⟩ ⊗ | ψ 2 j⟩ + ν | ψ 2 j⟩ ⊗ | ψ 2 я⟩) ∈ S ν (H ⊗ H) {\ displaystyle | \ psi _ {2i} \,, \ psi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} (| \ psi _ {2i} \ rangle \ otimes | \ psi _ { 2j} \ rangle + \ nu \, | \ psi _ {2j} \ rangle \ otimes | \ psi _ {2i} \ rangle) \ in S _ {\ nu} (H \ otimes H)}

{\ displaystyle | \ psi _ {2i} \,, \ psi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} (| \ psi _ {2i} \ rangle \ otimes | \ psi _ {2j} \ rangle + \ nu \, | \ psi _ {2j} \ rangle \ otimes | \ psi _ {2i} \ rangle) \ in S _ {\ nu} (H \ otimes H)}

, а

aij = ν aji ∈ C {\ displaystyle a_ {ij} = \ nu a_ {ji} \ in \ mathbb {C}}

a_ {ij} = \ nu a_ {ji} \ in \ mathbb {C}

- комплексный коэффициент

и т. д..

Сходимость этой бесконечной суммы важна, если $F ν (H) {\ displaystyle F _ {\ nu} (H)}$ $F_ \ nu (H)$ должно быть гильбертовым пространством. Технически нам требуется, чтобы $F ν (H) {\ displaystyle F _ {\ nu} (H)}$ $F_ \ nu (H)$ было пополнением гильбертова пространства алгебраической прямой суммы. Он состоит из всех бесконечных наборов $| Ψ⟩ ν = (| Ψ 0⟩ ν, | Ψ 1⟩ ν, | Ψ 2⟩ ν,…) {\ displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = (| \ Psi _ {0} \ rangle _ {\ nu}, | \ Psi _ {1} \ rangle _ {\ nu}, | \ Psi _ {2} \ rangle _ {\ nu}, \ ldots)}$ $| \ Psi \ rangle_ \ nu = (| \ Psi_0 \ rangle_ \ nu, | \ Psi_1 \ rangle_ \ nu, | \ Psi_2 \ rangle_ \ nu, \ ldots)$ такие, что норма, определяемая внутренним продуктом, конечно

‖ | Ψ⟩ ν ‖ ν 2 = ∑ n = 0 ∞ ⟨Ψ n | Ψ n⟩ ν < ∞ {\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }

{\ displaystyle \ || \ Psi \ rangle _ {\ nu} \ | _ {\ nu } ^ {2} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ langle \ Psi _ {n} | \ Psi _ {n} \ rangle _ {\ nu} <\ infty}

, где норма частиц $n {\ displaystyle n}$ $n$ определяется как

⟨Ψ n | Ψ n⟩ ν = ∑ i 1,… i n, j 1,… j n a i 1,…, i n ∗ a j 1,…, j n ⟨ψ i 1 | ψ j 1⟩ ⋯ ⟨ψ i n | ψ Jn⟩ {\ Displaystyle \ langle \ Psi _ {n} | \ Psi _ {n} \ rangle _ {\ nu} = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots i_ {n}, j_ {1}, \ ldots j_ {n}} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} ^ {*} a_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {n}} \ langle \ psi _ {i_ {1 }} | \ psi _ {j_ {1}} \ rangle \ cdots \ langle \ psi _ {i_ {n}} | \ psi _ {j_ {n}} \ rangle}

\ langle \ Psi _ {n} | \ Psi _ {n} \ rangle _ {\ nu} = \ sum _ {{i_ {1}, \ ldots i_ {n}, j_ {1}, \ ldots j_ {n}}} a _ {{i_ { 1}, \ ldots, i_ {n}}} ^ {*} a _ {{j_ {1}, \ ldots, j_ {n}}} \ langle \ psi _ {{i_ {1}}} | \ psi _ {{j_ {1}}} \ rangle \ cdots \ langle \ psi _ {{i_ {n}}} | \ psi _ {{j_ {n}}} \ rangle

т.е. ограничение нормы на тензорное произведение $H ⊗ n {\ displaystyle H ^ {\ otimes n}}$ $H ^ {\ otimes n}$

Для двух состояний

| Ψ⟩ ν = | Ψ 0⟩ ν ⊕ | Ψ 1⟩ ν ⊕ | Ψ 2⟩ ν ⊕… = a 0 | 0⟩ ⊕ a 1 | ψ 1⟩ ⊕ ∑ i j a i j | ψ 2 я, ψ 2 J⟩ ν ⊕… {\ displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ Psi _ {0} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {1} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {2} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots = a_ {0} | 0 \ rangle \ oplus a_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle \ oplus \ sum _ {ij} a_ {ij} | \ psi _ {2i}, \ psi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots}

{\ displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ Psi _ {0} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {1} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Psi _ {2} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots = a_ {0} | 0 \ rangle \ oplus a_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle \ oplus \ sum _ { ij} a_ {ij} | \ psi _ {2i}, \ psi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots}

| Φ⟩ ν = | Φ 0⟩ ν ⊕ | Φ 1⟩ ν ⊕ | Φ 2⟩ ν ⊕… = b 0 | 0⟩ ⊕ b 1 | ϕ 1⟩ ⊕ ∑ i j b i j | ϕ 2 я, ϕ 2 J⟩ ν ⊕… {\ displaystyle | \ Phi \ rangle _ {\ nu} = | \ Phi _ {0} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Phi _ {1} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Phi _ {2} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots = b_ {0} | 0 \ rangle \ oplus b_ {1} | \ phi _ {1} \ rangle \ oplus \ sum _ {ij} b_ {ij} | \ phi _ {2i}, \ phi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots}

{\ displaystyle | \ Phi \ rangle _ {\ nu} = | \ Phi _ {0} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Phi _ { 1} \ rangle _ {\ nu} \ oplus | \ Phi _ {2} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots = b_ {0} | 0 \ rangle \ oplus b_ {1} | \ phi _ {1 } \ rangle \ oplus \ sum _ {ij} b_ {ij} | \ phi _ {2i}, \ phi _ {2j} \ rangle _ {\ nu} \ oplus \ ldots}

внутренний продукт на $F ν (H) {\ displaystyle F _ {\ nu} (H)}$ $F_ \ nu (H)$ затем определяется как

⟨Ψ | Φ⟩ ν: = ∑ n ⟨Ψ n | Φ n⟩ ν = a 0 ∗ b 0 + a 1 ∗ b 1 ⟨ψ 1 | ϕ 1⟩ + ∑ i j k l a i j ∗ b k l ⟨ψ 2 i | ϕ 2 k⟩ ⟨ψ 2 j | ϕ 2 l⟩ ν +… {\ Displaystyle \ langle \ Psi | \ Phi \ rangle _ {\ nu}: = \ sum _ {n} \ langle \ Psi _ {n} | \ Phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} = a_ {0} ^ {*} b_ {0} + a_ {1} ^ {*} b_ {1} \ langle \ psi _ {1} | \ phi _ {1} \ rangle + \ sum _ {ijkl} a_ {ij} ^ {*} b_ {kl} \ langle \ psi _ {2i} | \ phi _ {2k} \ rangle \ langle \ psi _ {2j} | \ phi _ {2l} \ rangle _ {\ nu} + \ ldots}

{\ displaystyle \ langle \ Psi | \ Phi \ rangle _ {\ nu}: = \ sum _ {n} \ langle \ Psi _ {n} | \ Phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} = a_ {0} ^ {*} b_ {0} + a_ {1} ^ {*} b_ {1} \ langle \ psi _ {1 } | \ phi _ {1} \ rangle + \ sum _ {ijkl} a_ {ij} ^ {*} b_ {kl} \ langl e \ psi _ {2i} | \ phi _ {2k} \ rangle \ langle \ psi _ {2j} | \ phi _ {2l} \ rangle _ {\ nu} + \ ldots}

где мы используем внутренние произведения для каждого из $n {\ displaystyle n}$ $n$ -частичных гильбертовых пространств. Обратите внимание, что, в частности, подпространства частиц $n {\ displaystyle n}$ $n$ ортогональны для различных $n {\ displaystyle n}$ $n$ .

состояний продукта, неотличимых частиц и полезной основы для Пространство Фока

A состояние продукта пространства Фока - это состояние формы

| Ψ⟩ ν = | ϕ 1, ϕ 2, ⋯, ϕ n⟩ ν = | ϕ 1⟩ | ϕ 2⟩ ⋯ | ϕ N⟩ {\ Displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu} = | \ phi _ {1} \ rangle | \ phi _ {2} \ rangle \ cdots | \ phi _ {n} \ rangle}

| \ Psi \ rangle_ \ nu = | \ phi_1, \ phi_2, \ cdots, \ phi_n \ rangle_ \ nu = | \ phi_1 \ rangle | \ phi_2 \ rangle \ cdots | \ phi_n \ rangle

, который описывает набор $n {\ displaystyle n}$ $n$ частиц, одна из которых имеет квантовое состояние $ϕ 1 {\ displaystyle \ phi _ {1} \,}$ $\ phi_1 \,$ , другая $ϕ 2 {\ displaystyle \ phi _ {2} \,}$ $\ phi_2 \,$ и так далее до частицы $n {\ displaystyle n}$ $n$ , где каждый $ϕ i {\ displaystyle \ phi _ {i} \,}$ $\ phi_i \,$ - любое состояние из одночастичного гильбертова пространства $H {\ displaystyle H}$ $H$ . Здесь сопоставление (запись одночастичных кетов рядом, без $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ ) - это симметричное (соответственно антисимметричное) умножение в симметричной (антисимметричной) тензорной алгебре . Общее состояние в пространстве Фока - это линейная комбинация состояний продукта. Состояние, которое не может быть записано как выпуклая сумма состояний продукта, называется запутанным состоянием.

Когда мы говорим об одной частице в состоянии $ϕ i {\ displaystyle \ phi _ {i} \,}$ $\ phi_i \,$ , следует иметь в виду, что в квантовой механике идентичные частицы неотличимы. В одном и том же пространстве Фока все частицы идентичны. (Чтобы описать множество разновидностей частиц, мы берем тензорное произведение столько различных пространств Фока, сколько разновидностей рассматриваемых частиц). Это одна из самых мощных черт этого формализма, заключающаяся в том, что состояния неявно правильно симметризованы. Например, если указанное выше состояние $| Ψ⟩ - {\ displaystyle | \ Psi \ rangle _ {-}}$ $| \ Psi \ rangle_-$ фермионный, будет 0, если два (или более) из $ϕ i {\ displaystyle \ phi _ {i } \,}$ $\ phi_i \,$ равны, потому что антисимметричный (внешний) product $| ϕ i⟩ | ϕ я⟩ знак равно 0 {\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle | \ phi _ {i} \ rangle = 0}$ $| \ phi_i \ rangle | \ phi_i \ rangle = 0$ . Это математическая формулировка принципа исключения Паули, согласно которому никакие два (или более) фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии. Фактически, всякий раз, когда термины в формальном продукте линейно зависимы; для антисимметричных тензоров произведение будет равно нулю. Кроме того, произведение ортонормированных состояний собственно ортонормировано по построению (хотя, возможно, 0 в случае Ферми, когда два состояния равны).

Полезной и удобной основой для пространства Фока является основание числа занятых. Учитывая основу ${| ψ я⟩} я знак равно 0, 1, 2,… {\ displaystyle \ {| \ psi _ {i} \ rangle \} _ {i = 0,1,2, \ dots}}$ $\ {| \ psi_i \ rangle \} _ {i = 0,1,2, \ dots}$ из $H {\ displaystyle H}$ $H$ , мы можем обозначить состояние с помощью $n 0 {\ displaystyle n_ {0}}$ $n_{0}$ частиц в состоянии $| ψ 0⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle}$ $| \ psi _ {0} \ rangle$ , $n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ частицы в состоянии $| ψ 1⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$ $| \ psi _ {1} \ rangle$ ,..., $nk {\ displaystyle n_ {k}}$ $n_ {k}$ частицы в состоянии $| ψ k⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {k} \ rangle}$ $| \ psi_k \ rangle$ , и никаких частиц в остальных состояниях, путем определения

| n 0, n 1,…, n k⟩ ν = | ψ 0⟩ n 0 | ψ 1⟩ n 1 ⋯ | ψ К⟩ nk, {\ displaystyle | n_ {0}, n_ {1}, \ ldots, n_ {k} \ rangle _ {\ nu} = | \ psi _ {0} \ rangle ^ {n_ {0}} | \ psi _ {1} \ rangle ^ {n_ {1}} \ cdots | \ psi _ {k} \ rangle ^ {n_ {k}},}

| n_ {0}, n_ {1}, \ ldots, n_ {k} \ rangle _ {\ nu} = | \ psi _ {0} \ rangle ^ {{n_ {0} }} | \ psi _ {1} \ rangle ^ {{n_ {1}}} \ cdots | \ psi _ {k} \ rangle ^ {{n_ {k}}},

где каждый $ni {\ displaystyle n_ { i}}$ $n_ {i}$ принимает значение 0 или 1 для фермионных частиц и 0, 1, 2,... для бозонных частиц. Обратите внимание, что конечные нули могут быть отброшены без изменения состояния. Такое состояние называется состоянием Фока. Когда $| ψ i⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ $| \ psi _ {i} \ rangle$ понимаются как стационарные состояния свободного поля, состояния Фока описывают совокупность невзаимодействующих частиц в определенных числах. Наиболее общее состояние Фока - это линейная суперпозиция чистых состояний.

Два очень важных оператора - это операторы создания и уничтожения, которые при воздействии на состояние Фока добавляют или соответственно удаляют частицу в приписанном квантовом состоянии. Они обозначаются $a † (ϕ) {\ displaystyle a ^ {\ dagger} (\ phi) \,}$ $a ^ { \ dagger} (\ phi) \,$ для создания и $a (ϕ) {\ displaystyle a (\ phi) \,}$ $a (\ phi) \,$ для аннигиляции соответственно. Чтобы создать («добавить») частицу, квантовое состояние $| ϕ⟩ {\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ $| \ phi \ rangle$ является симметричным или внешним - умноженным на $| ϕ⟩ {\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ $| \ phi \ rangle$ ; и, соответственно, чтобы уничтожить ("удалить") частицу, берется (четный или нечетный) внутренний продукт с $⟨ϕ | {\ displaystyle \ langle \ phi |}$ $\ langle \ phi |$ , который является дополнением к $a † (ϕ) {\ displaystyle a ^ {\ dagger} (\ phi) \,}$ $a^\dagger(\phi)\,$ . Часто бывает удобно работать с состояниями базиса $H {\ displaystyle H}$ $H$ , чтобы эти операторы удаляли и добавляли ровно одну частицу в данном базисном состоянии. Эти операторы также служат генераторами для более общих операторов, действующих в пространстве Фока, например, числовой оператор , задающий количество частиц в определенном состоянии $| ϕ я⟩ {\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}$ $| \ phi _ {i} \ rangle$ is $a † (ϕ i) a (ϕ i) {\ displaystyle a ^ {\ dagger} (\ phi _ {i}) a (\ phi _ {i}) \,}$ $a ^ {\ dagger} (\ phi_i) a (\ phi_i) \,$ .

Интерпретация волновой функции

Часто дается одночастичное пространство $H {\ displaystyle H}$ $H$ как $L 2 (X, μ) {\ displaystyle L_ {2} (X, \ mu)}$ $L_2 (X, \ mu)$ , пространство интегрируемых с квадратом функций на пространстве $X {\ displaystyle X}$ $X$ с measure $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ (строго говоря, классы эквивалентности квадратично интегрируемых функций, где функции эквивалентны, если они различаются на множестве нулевой меры ). Типичным примером является свободная частица с $H = L 2 (R 3, d 3 x) {\ displaystyle H = L_ {2} (\ mathbb {R} ^ {3}, d ^ {3} x)}$ $H = L_2 (\ mathbb {R} ^ 3, d ^ 3x)$ пространство квадратично интегрируемых функций на трехмерном пространстве. Тогда пространства Фока имеют естественную интерпретацию как симметричные или антисимметричные квадратично интегрируемые функции следующим образом.

Пусть $X 0 = {∗} {\ displaystyle X ^ {0} = \ {* \}}$ $X ^ 0 = \ {* \}$ и $X 1 = X {\ displaystyle X ^ {1} = X}$ $X ^ 1 = X$ , $X 2 = X × X {\ displaystyle X ^ {2} = X \ times X}$ $X ^ 2 = X \ times X$ , $X 3 = X × X × X {\ displaystyle X ^ {3} = X \ times X \ times X}$ $X ^ 3 = X \ times X \ times X$ и т. д. Рассмотрим пространство наборов точек, которое является непересекающимся объединением

X ∗ = X 0 ⨆ X 1 ⨆ X 2 ⨆ X 3 ⨆… {\ displaystyle X ^ {*} = X ^ {0} \ bigsqcup X ^ {1} \ bigsqcup X ^ {2} \ bigsqcup X ^ {3} \ bigsqcup \ ldots}

X ^ * = X ^ 0 \ bigsqcup X ^ 1 \ bigsqcup X ^ 2 \ bigsqcup X ^ 3 \ bigsqcup \ ldots

Он имеет естественную меру $μ ∗ {\ displaystyle \ mu ^ {*}}$ $\ mu ^ {*}$ такой, что $μ ∗ (X 0) = 1 {\ displaystyle \ mu ^ {*} (X ^ {0}) = 1}$ $\ mu ^ * (X ^ 0) = 1$ и ограничение $μ ∗ {\ displaystyle \ mu ^ {*}}$ $\ mu ^ {*}$ to $X n {\ displaystyle X ^ {n}}$ $X ^ {n}$ is $μ n {\ displaystyle \ mu ^ { n}}$ $\mu^n$ . Тогда можно идентифицировать четное пространство Фока $F + (L 2 (X, μ)) {\ displaystyle F _ {+} (L_ {2} (X, \ mu)) \,}$ $F _ + (L_2 (X, \ mu)) \,$ с пространством симметричных функций в $L 2 (X ∗, μ ∗) {\ displaystyle L_ {2} (X ^ {*}, \ mu ^ {*})}$ $L_2 (X ^ *, \ mu ^ *)$ , тогда как нечетное Пространство Фока $F - (L 2 (X, μ)) {\ displaystyle F _ {-} (L_ {2} (X, \ mu)) \,}$ $F _- (L_2 (X, \ mu)) \,$ можно отождествить с пробелом антисимметричных функций. Идентификация следует непосредственно из изометрического отображения

L 2 (X, μ) ⊗ n → L 2 (X n, μ n) {\ displaystyle L_ {2} (X, \ mu) ^ {\ otimes n} \ to L_ {2} (X ^ {n}, \ mu ^ {n})}

L_2 (X, \ mu) ^ {\ otimes n} \ to L_2 (X ^ n, \ mu ^ n)

ψ 1 (x) ⊗ ⋯ ⊗ ψ n (x) ↦ ψ 1 (x 1) ⋯ ψ N (Xn) {\ Displaystyle \ psi _ {1} (x) \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {n} (x) \ mapsto \ psi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ psi _ {n} (x_ {n})}

\ psi_1 (x) \ otimes \ cdots \ otimes \ psi_n (x) \ mapsto \ psi_1 (x_1) \ cdots \ psi_n (x_n)

Заданные волновые функции $ψ 1 = ψ 1 (x),…, ψ n = ψ n (x) {\ displaystyle \ psi _ {1} = \ psi _ {1} (x), \ ldots, \ psi _ {n} = \ psi _ {n} (x)}$ $\ psi_1 = \ psi_1 (x), \ ldots, \ psi_n = \ psi_n (x)$ , определитель Слейтера

Ψ (x 1, … Xn) = 1 n! | ψ 1 (x 1)… ψ n (x 1) ⋮ ⋮ ψ 1 (x n)… ψ n (x n) | {\ displaystyle \ Psi (x_ {1}, \ ldots x_ {n}) = {\ frac {1} {\ sqrt {n!}}} \ left | {\ begin {matrix} \ psi _ {1} ( x_ {1}) \ ldots \ psi _ {n} (x_ {1}) \\\ vdots \ vdots \\\ psi _ {1} (x_ {n}) \ dots \ psi _ { n} (x_ {n}) \\\ end {matrix}} \ right |}

\ Psi (x_1, \ ldots x_n) = \ frac {1} {\ sqrt {n!}} \ Left | \ begin {matrix} \ psi_1 (x_1) \ ldots \ psi_n (x_1) \\ \ vdots \ vdots \\ \ psi_1 (x_n) \ dots \ psi_n (x_n) \\ \ end {matrix} \ right |

- антисимметричная функция на $X n {\ displaystyle X ^ {n}}$ $X ^ {n}$ . Таким образом, его можно естественно интерпретировать как элемент сектора $n {\ displaystyle n}$ $n$ -частиц нечетного пространства Фока. Нормализация выбирается так, чтобы $‖ Ψ ‖ = 1 {\ displaystyle \ | \ Psi \ | = 1}$ $\ | \ Psi \ | = 1$ , если функции $ψ 1,…, ψ n {\ displaystyle \ psi _ {1}, \ ldots, \ psi _ {n}}$ $\ psi_1, \ ldots, \ psi_n$ ортонормированы. Существует аналогичный «слейтер-перманент» с определителем, замененным на перманент, который дает элементы $n {\ displaystyle n}$ $n$ -сектора четного пространства Фока.

Связь с пространством Сегала – Баргмана

Определите пространство Сегала – Баргманна пространство $BN {\ displaystyle B_ {N}}$ $B_ {N}$ комплексных голоморфных функций, интегрируемых с квадратом относительно гауссовской меры :

F 2 (CN) = {f: CN → C ∣ ‖ f ‖ F 2 (CN) < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})=\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {2} (\ mathbb {C } ^ {N}) = \ {f \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {N} \ to \ mathbb {C} \ mid \ Vert f \ Vert _ {{\ mathcal {F}} ^ {2} (\ mathbb {C} ^ {N})} <\ infty \}}

где

f ‖ F 2 (CN): = ∫ C n | f (z) | 2 e - π | z | 2 dz {\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {{\ mathcal {F}} ^ {2} (\ mathbb {C} ^ {N})}: = \ int _ {\ mathbb {C} ^ {n} } \ vert f (\ mathbf {z}) \ vert ^ {2} e ^ {- \ pi \ vert \ mathbf {z} \ vert ^ {2}} \, d \ mathbf {z}}

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ mathcal {F}} ^ {2} (\ mathbb {C} ^ {N})}: = \ int _ {\ math bb {C} ^ {n}} \ vert f (\ mathbf {z}) \ vert ^ {2} e ^ {- \ pi \ vert \ mathbf {z} \ vert ^ {2}} \, d \ mathbf {z}}

Тогда определение пространства $B ∞ {\ displaystyle B _ {\ infty}}$ $B_ \ infty$ как вложенного объединения пространств $BN {\ displaystyle B_ {N}}$ $B_ {N}$ над целые числа $N ≥ 0 {\ displaystyle N \ geq 0}$ ${\ displaystyle N \ geq 0}$ , Сигал и Баргманн показали, что $B ∞ {\ displaystyle B _ {\ infty}}$ $B_ \ infty$ изоморфен бозонное пространство Фока. Моном

x 1 n 1... Икс К N К {\ Displaystyle x_ {1} ^ {n_ {1}}... x_ {k} ^ {n_ {k}}}

{\ displaystyle x_ {1 } ^ {n_ {1}}... x_ {k} ^ {n_ {k}}}

соответствует состоянию Фока

| n 0, n 1,…, n k⟩ ν = | ψ 0⟩ n 0 | ψ 1⟩ n 1 ⋯ | ψ к⟩ п к. {\ displaystyle | n_ {0}, n_ {1}, \ ldots, n_ {k} \ rangle _ {\ nu} = | \ psi _ {0} \ rangle ^ {n_ {0}} | \ psi _ { 1} \ rangle ^ {n_ {1}} \ cdots | \ psi _ {k} \ rangle ^ {n_ {k}}.}

{\ displaystyle | n_ {0}, n_ {1}, \ ldots, n_ {k} \ rangle _ {\ nu} = | \ psi _ {0} \ rangle ^ {n_ {0}} | \ psi _ {1} \ rangle ^ {n_ {1}} \ cdots | \ psi _ {k} \ rangle ^ {n_ {k}}.}

См. Также

Состояние Фока
Тензорная алгебра
Голоморфная Пространство Фока
Операторы создания и уничтожения
определитель Слейтера
Теорема Вика
Некоммутативная геометрия
Большой канонический ансамбль, тепловое распределение в пространстве Фока

Ссылки

^V. Фок, З. Phys. 75 (1932), 622-647
^M.C. Рид, Б. Саймон, "Методы современной математической физики, том II", Academic Press, 1975. Стр. 328.
^Баргманн В. (1961). «О гильбертовом пространстве аналитических функций и ассоциированном интегральном преобразовании I». Сообщения по чистой и прикладной математике. 14 : 187–214. doi : 10.1002 / cpa.3160140303. hdl : 10338.dmlcz / 143587.
^Сегал, И.Э. (1963). «Математические проблемы релятивистской физики». Труды летнего семинара, Боулдер, Колорадо, 1960, Vol. II. Глава. VI.
^Bargmann, V (1962). «Замечания о гильбертовом пространстве аналитических функций». Proc. Natl. Акад. Sci. 48 (2): 199–204. Bibcode : 1962PNAS... 48..199B. doi : 10.1073 / pnas.48.2.199. PMC 220756. PMID 16590920.
^Stochel, Jerzy B. (1997). «Представление обобщенных операторов уничтожения и рождения в пространстве Фока» (PDF). Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica. 34 : 135–148. Проверено 13 декабря 2012 г.

Внешние ссылки

Диаграммы Фейнмана и продукты Вика, связанные с квантово-фоковским пространством - некоммутативный анализ, Эдвард Г. Эффрос и Михай Попа, Департамент математики, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе
Р. Героч, Математическая физика, Chicago University Press, глава 21.