Классический электромагнетизм и специальная теория относительности

редактировать

Связь между теорией относительности и доквантовым электромагнетизмом

Теория специальной теории относительности играет важную роль в современной теории классического электромагнетизма. Прежде всего, он дает формулы того, как электромагнитные объекты, в частности электрические и магнитные поля, изменяются при преобразовании Лоренца из одного инерционного кадр ссылки на другой. Во-вторых, он проливает свет на взаимосвязь между электричеством и магнетизмом, показывая, что система отсчета определяет, следует ли наблюдение электростатическим или магнитным законам. В-третьих, это мотивирует компактное и удобное обозначение законов электромагнетизма, а именно «явно ковариантную» тензорную форму.

Уравнения Максвелла, когда они были впервые сформулированы в полной форме в 1865 году, оказались совместимыми со специальной теорией относительности. Более того, кажущиеся совпадения, при которых один и тот же эффект наблюдался из-за различных физических явлений двумя разными наблюдателями, будут показаны специальной теорией относительности как минимум не случайными. Фактически, половина первой статьи Эйнштейна 1905 года по специальной теории относительности «О электродинамике движущихся тел » объясняет, как преобразовать уравнения Максвелла.

Содержание

1 Преобразование полей между инерциальными кадрами
- 1.1 Поля E и B
- 1.2 Поля D и H
- 1.3 Поля φ и A
- 1.4 Поля ρ и J поля
- 1.5 Нерелятивистские приближения
2 Связь между электричеством и магнетизмом
- 2.1 Получение магнетизма из электростатики
- 2.2 Поля смешиваются в разных кадрах
- 2.3 Задача о подвижном магните и проводнике
3 Ковариантная формулировка в вакууме
- 3.1 Тензор поля и 4-ток
- 3.2 Уравнения Максвелла в тензорной форме
- 3.3 4-потенциал
4 См. также
5 Сноски

Преобразование полей между инерциальными системами отсчета

Поля E и B

Лоренцево усиление электрического заряда. Вверху: Заряд покоится в кадре F, поэтому этот наблюдатель видит статическое электрическое поле. Наблюдатель в другой системе отсчета F ′ движется со скоростью v относительно F и видит, что заряд движется со скоростью - v с измененным электрическим полем E из-за сокращение длины и магнитное поле B из-за движения заряда. Внизу: Аналогичная установка, с зарядом в состоянии покоя в системе F '.

Это уравнение, также называемое уравнением Джоуля-Бернулли, учитывает две инерциальные системы отсчета. Штрихованный кадр движется относительно незаштрихованного кадра со скоростью v . Поля, определенные в кадре со штрихом, обозначаются штрихами, а поля, определенные в кадре без штриха, не содержат простых чисел. Компоненты поля, параллельные скорости v, обозначены $E ∥ {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$ и $B ∥ {\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$ ${ \ Displaystyle \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$ , а компоненты поля, перпендикулярные к v, обозначаются как $E ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ perp}}$ и $B ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ perp}}$ . В этих двух кадрах, движущихся с относительной скоростью v, поля E и поля B связаны следующим образом:

E ∥ ′ = E ∥ B ∥ ′ знак равно В ∥ E ⊥ ′ = γ (E ⊥ + v × B) B ⊥ ′ = γ (B ⊥ - 1 c 2 v × E) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E _ {\ parallel }} '= \ mathbf {E _ {\ parallel}} \\\ mathbf {B _ {\ parallel}}' = \ mathbf {B _ {\ parallel}} \\\ mathbf {E _ {\ bot}} '= \ gamma \ left (\ mathbf {E} _ {\ bot} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \\\ mathbf {B _ {\ bot}} '= \ gamma \ left (\ mathbf {B} _ {\ bot} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}

где

γ = def 1 1 - v 2 / c 2 {\ displaystyle \ gamma \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {1} { \ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ gamma \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {1- v ^ {2} / c ^ {2}}}}}

называется фактором Лоренца, а c - скоростью света в свободное место. Обратные преобразования такие же, за исключением v → - v.

Эквивалентное альтернативное выражение:

E ′ = γ (E + v × B) - (γ - 1) (E ⋅ v ^) v ^ B 'знак равно γ (B - v × E c 2) - (γ - 1) (B ⋅ v ^) v ^ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E}' = \ gamma \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) - \ left ({\ gamma -1} \ right) (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {B} '= \ gamma \ left (\ mathbf {B} - {\ frac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E }} {c ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ gamma -1} \ right) (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat { v}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}})\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}})\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}

где $v ^ = v ‖ v ‖ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {v}} = {\ frac {\ mathbf {v}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {v }} = {\ frac {\ mathbf {v}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}}}$ - это единичный вектор скорости . В предыдущих обозначениях на самом деле $(E ⋅ v ^) v ^ = E ∥ {\ displaystyle (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v} } = \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ шляпа {v}} = \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$ и $(B ⋅ v ^) v ^ = B ∥ {\ displaystyle (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {B} \ cdot \ mat hbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$ .

Если одно из полей равно нулю в одной системе отсчета, это не обязательно означает, что оно ноль во всех других системах отсчета. Это можно увидеть, например, сделав незаштрихованное электрическое поле равным нулю при преобразовании в заряженное электрическое поле. В этом случае, в зависимости от ориентации магнитного поля, заправленная система может видеть электрическое поле, даже если его нет в незаправленной системе.

Это не означает, что в двух кадрах видны два совершенно разных набора событий, но одна и та же последовательность событий описывается двумя разными способами (см. Проблема с движущимся магнитом и проводником ниже).

Если частица заряда q движется со скоростью u относительно системы отсчета S, то сила Лоренца в системе отсчета S равна:

F = q E + qu × B {\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}

В кадре S 'сила Лоренца равна:

F ′ = q E ′ + qu ′ × B ′ {\ displaystyle \ mathbf {F '} = q \ mathbf {E'} + q \ mathbf {u '} \ times \ mathbf {B'}}

\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}

Если S и S 'выровнены по осям:

ux ′ = ux + v 1 + (vux) / c 2 uy ′ = uy / γ 1 + (vux) / c 2 uz ′ = uz / γ 1 + (vux) / c 2 {\ displaystyle {\ begin {align} u_ {x} '= {\ frac {u_ {x} + v} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \\ u_ {y} '= {\ frac {u_ {y} / \ gamma} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \\ u_ {z}' = {\ frac {u_ {z } / \ gamma} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}u_{x}'={\frac {u_{x}+v}{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\\u_{y}'={\frac {u_{y}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\\u_{z}'={\frac {u_{z}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\end{aligned}}

Вывод для преобразования силы Лоренца для частного случая u= 0приводится здесь. Более общий вид можно увидеть здесь.

Компонент за компонентом, для относительного движения вдоль оси x это работает следующим образом:

E x ′ = E x B x ′ = B x E y ′ = γ (E y - v B z) B y ′ = γ (B y + vc 2 E z) E z ′ = γ (E z + v B y) B z ′ = γ (B z - vc 2 E y). {\ displaystyle {\ begin {align} E '_ {x} = E_ {x} \ qquad B' _ {x} = B_ {x} \\ E '_ {y} = \ gamma \ left (E_ {y} -vB_ {z} \ right) B '_ {y} = \ gamma \ left (B_ {y} + {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {z} \ справа) \\ E '_ {z} = \ gamma \ left (E_ {z} + vB_ {y} \ right) B' _ {z} = \ gamma \ left (B_ {z} - {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {y} \ right). \\\ end {align}}}

{\begin{aligned}E'_{x}=E_{x}\qquad B'_{x}=B_{x}\\E'_{y}=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)B'_{y}=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)B'_{z}=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}

Преобразования в этой форме можно сделать более компактными, введя электромагнитный тензор (определено ниже), который является ковариантным тензором .

Поля D и H

Для электрического смещения Dи магнитной напряженности H, используя определяющие отношения и результат для c:

D = ϵ 0 E, B = μ 0 H, c 2 = 1 ϵ 0 μ 0, {\ displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \,, \ quad \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {H} \,, \ quad c ^ {2} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} \ mu _ {0}}} \,,}

{ \ Displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \,, \ quad \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {H} \,, \ qu ad c ^ {2} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} \ mu _ {0}}} \,,}

дает

D ′ = γ (D + 1 c 2 v × H) + (1 - γ) (D ⋅ v ^) v ^ H 'знак равно γ (H - v × D) + (1 - γ) (H ⋅ v ^) v ^ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {D}' = \ gamma \ left (\ mathbf {D} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {H} \ right) + (1- \ gamma) (\ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {H} '= \ gamma \ left (\ mathbf {H} - \ mathbf {v} \ times \ mathbf {D} \ right) + (1- \ gamma) (\ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {D} '=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma)(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}})\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma)(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}})\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}

Аналогично для E и B, D и H образуют тензор электромагнитного смещения.

Поля φ и A

Альтернативное более простое преобразование ЭМ поля использует электромагнитные потенциалы - электрический потенциал φ и магнитный потенциал A:

φ ′ = γ (φ - v A ∥) A ∥ ′ знак равно γ (A ∥ - v φ c 2) A ⊥ ′ = A ⊥ {\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi '= \ gamma \ left (\ varphi -vA _ {\ parallel} \ справа) \\ A _ {\ parallel} '= \ gamma \ left (A _ {\ parallel} - {\ frac {v \ varphi} {c ^ {2}}} \ right) \\ A _ {\ bot}' = A _ {\ bot} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\varphi '=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'=A_{\bot }\end{aligned}}

где $A ∥ {\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ parallel}}$ $\ scriptstyle A _ {\ parallel}$ - параллельный компонент A в направлении относительной скорости между кадрами v, а $A ⊥ {\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ bot}}$ $\ scriptstyle A _ {\ bot}$ - перпендикулярный компонент. Они прозрачно напоминают характерную форму других преобразований Лоренца (таких как временное положение и энергия-импульс), в то время как преобразования E и B выше немного сложнее. Компоненты могут быть собраны вместе следующим образом:

A ′ = A - γ φ c 2 v + (γ - 1) (A ⋅ v ^) v ^ φ ′ = γ (φ - A ⋅ v) {\ displaystyle { \ begin {align} \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} - {\ frac {\ gamma \ varphi} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} + \ left (\ gamma -1 \ right) \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ right) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ varphi '= \ gamma \ left (\ varphi - \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {A} '=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}

Поля ρ и J

Аналогично для плотности заряда ρ и плотность тока J,

J ∥ ′ = γ (J ∥ - v ρ) ρ ′ = γ (ρ - vc 2 J ∥) J ⊥ ′ = J ⊥ {\ displaystyle {\ begin {align} J _ {\ parallel} ' = \ gamma \ left (J _ {\ parallel} -v \ rho \ right) \\\ rho '= \ gamma \ left (\ rho - {\ frac {v} {c ^ {2}}} J_ { \ parallel} \ right) \\ J _ {\ bot} '= J _ {\ bot} \ end {align}}}

{\begin{aligned}J_{\parallel }'=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'=J_{\bot }\end{aligned}}

Объединение компонентов вместе:

J ′ = J - γ ρ v + (γ - 1) (J ⋅ v ^) v ^ ρ '= γ (ρ - J ⋅ vc 2) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {J}' = \ mathbf {J} - \ gamma \ rho \ mathbf {v} + \ left (\ gamma -1 \ right) \ left (\ mathb f {J} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ right) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ rho '= \ gamma \ left (\ rho - {\ frac {\ mathbf {J } \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {J} '=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}

Нерелятивистские приближения

Для скоростей v ≪ c релятивистский фактор γ ≈ 1, что дает:

E ′ ≈ E + v × BB ′ ≈ B - 1 c 2 v × EJ ′ ≈ J - ρ v ρ ′ ≈ (ρ - 1 c 2 J ⋅ v) {\ displaystyle { \ begin {align} \ mathbf {E} '\ приблизительно \ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \\\ mathbf {B}' \ приблизительно \ mathbf {B} - { \ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \\\ mathbf {J} '\ приблизительно \ mathbf {J} - \ rho \ mathbf {v} \ \\ rho '\ приблизительно \ left (\ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {E} '\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '\approx \left(\rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}

, так что нет необходимости различать пространственные и временные координаты в уравнениях Максвелла.

Связь между электричеством и магнетизмом

Одну часть силы между движущимися зарядами мы называем магнитной силой. На самом деле это один из аспектов электрического эффекта.

— Ричард Фейнман

Получение магнетизма из электростатики

Выбранная система отсчета определяет, рассматривается ли электромагнитное явление как эффект электростатики, магнетизма или комбинации два. Обычно авторы выводят магнетизм из электростатики, когда учитываются специальная теория относительности и зарядовая инвариантность. Лекции Фейнмана по физике (том 2, главы 13-6) используют этот метод для получения «магнитной» силы на движущийся заряд рядом с проводом с током. См. Также Хаскелл и Ландау.

Поля смешиваются в разных кадрах

Приведенные выше правила преобразования показывают, что электрическое поле в одном кадре вносит вклад в магнитное поле в другом кадре, и наоборот. Это часто описывают, говоря, что электрическое поле и магнитное поле являются двумя взаимосвязанными аспектами одного объекта, называемого электромагнитным полем. В самом деле, все электромагнитное поле может быть закодировано в одном тензоре ранга 2, называемом электромагнитным тензором ; увидеть ниже.

Проблема движущегося магнита и проводника

Известный пример смешения электрических и магнитных явлений в различных системах отсчета называется «проблема движущегося магнита и проводника», цитируемая Эйнштейном в его 1905 г. статья по специальной теории относительности.

Если проводник движется с постоянной скоростью через поле неподвижного магнита, вихревые токи будут возникать из-за магнитной силы, действующей на электроны в проводнике. В системе покоя проводника, с другой стороны, магнит будет двигаться и проводник неподвижно. Классическая электромагнитная теория предсказывает, что будут возникать точно такие же микроскопические вихревые токи, но они будут вызваны электрической силой.

Ковариантная формулировка в вакууме

Законы и математические объекты в классическом электромагнетизме могут быть записанным в форме, которая явно ковариантна. Здесь это делается только для вакуума (или для микроскопических уравнений Максвелла, без использования макроскопических описаний материалов, таких как электрическая диэлектрическая проницаемость ), и используются единицы СИ.

В этом разделе используется Обозначение Эйнштейна, включая соглашение о суммировании Эйнштейна. См. Также Исчисление Риччи для получения краткой информации по тензорной нотации индексов и повышающих и понижающих индексы для определения надстрочных и подстрочных индексов и о том, как переключаться между ними. Метрический тензор Минковского η здесь имеет метрическую сигнатуру (+ - - -).

Тензор поля и 4-ток

Приведенные выше релятивистские преобразования предполагают, что электрическое и магнитное поля связаны вместе в математическом объекте с 6 компонентами: антисимметричной секундой- ранг тензор или бивектор . Это называется тензором электромагнитного поля, обычно записывается как F. В матричной форме:

F μ ν = (0 - E x / c - E y / c - E z / c E x / c 0 - B z B Y E Y / c B z 0 - B x E z / c - B y B x 0) {\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 -E_ { x} / c -E_ {y} / c -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c 0 -B_ {z} B_ {y} \\ E_ {y} / c B_ {z} 0 -B_ { x} \\ E_ {z} / c -B_ {y} B_ {x} 0 \ end {pmatrix}}

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 -E_ {x} / c -E_ {y} / c -E_ {z } / c \\ E_ {x} / c 0 -B_ {z} B_ {y} \\ E_ {y} / c B_ {z} 0 -B_ {x} \\ E_ {z} / c -B_ {y} B_ {x} 0 \ end {pmatrix}}}

где c скорость света - в натуральных единицах c = 1.

Существует еще один способ объединения электрического и магнитного полей в антисимметричный тензор, заменяя E / c → B и B → - E / c, чтобы получить двойственный тензор G.

G μ ν = (0 - B x - B y - B z B x 0 E z / c - E y / c B y - E z / c 0 E x / c B z E y / c - E х / с 0) {\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 -B_ {x} - B_ {y} - B_ {z} \\ B_ {x} 0 E_ {z } / c -E_ {y} / c \\ B_ {y} - E_ {z} / c 0 E_ {x} / c \\ B_ {z} E_ {y} / c -E_ {x} / c 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 -B_ {x} - B_ {y} - B_ {z} \\ B_ {x} 0 E_ {z} / c -E_ {y} / c \\ B_ {y} - E_ {z} / c 0 E_ {x} / c \\ B_ {z} E_ { y} / c -E_ {x} / c 0 \ end {pmatrix}}}

В контексте специальной теории относительности, оба из них преобразуются согласно преобразованию Лоренца согласно

F ′ α β = Λ μ α Λ ν β F μ ν {\ Displaystyle F '^ {\ alpha \ beta} = \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ beta} F ^ {\ mu \ nu} }

F'^{\alpha \beta }=\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }F^{\mu \nu }

где Λ ν - тензор преобразования Лоренца для перехода от одной системы отсчета к другой. При суммировании дважды используется один и тот же тензор.

Заряд и плотность тока, источники полей, также объединяются в четырехвектор

J α = (c ρ, J x, J y, J z) {\ displaystyle J ^ {\ alpha} = \ left (c \ rho, J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ right)}

{\ displaystyle J ^ {\ alpha} = \ left (с \ rho, J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ right)}

называется четырехтоковым.

уравнением Максвелла в тензоре форма

Используя эти тензоры, уравнения Максвелла сводятся к:

уравнениям Максвелла (ковариантная формулировка)

$∂ F α β ∂ x α = μ 0 J β ∂ G α β ∂ Икс α знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровненный} {\ frac {\ partial F ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = \ му _ {0} J ^ {\ beta} \\ {\ frac {\ partial G ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = 0 \ end {align}}}$ ${\ begin {align} {\ frac {\ partial F ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ { \ alpha}}} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta} \\ {\ frac {\ partial G ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = 0 \ конец {выровнен}}$

, где частные производные могут быть записаны различными способами, см. 4-градиент. Первое уравнение, указанное выше, соответствует как закону Гаусса (для β = 0), так и закону Ампера-Максвелла (для β = 1, 2, 3). Второе уравнение соответствует двум оставшимся уравнениям: закону Гаусса для магнетизма (для β = 0) и закону Фарадея (для β = 1, 2, 3).

Эти тензорные уравнения являются явно ковариантными, что означает, что уравнения можно увидеть ковариантными по позициям индексов. Эта краткая форма записи уравнений Максвелла иллюстрирует идею, разделяемую некоторыми физиками, а именно, что законы физики принимают более простую форму, когда записываются с использованием тензоров.

. Путем понижения индексов на F, чтобы получить F αβ (см. повышающие и понижающие индексы ):

F α β = η α λ η β μ F λ μ {\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ alpha \ lambda} \ eta _ {\ beta \ mu} F ^ {\ lambda \ mu}}

F _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ alpha \ lambda} \ eta _ {\ beta \ mu} F ^ {\ lambda \ mu}

второе уравнение можно записать в терминах F αβ как:

ϵ δ α β γ ∂ F β γ ∂ Икс α знак равно ∂ F α β ∂ x γ + ∂ F γ α ∂ x β + ∂ F β γ ∂ x α = 0 {\ displaystyle \ epsilon ^ {\ delta \ alpha \ beta \ gamma} { \ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = {\ dfrac {\ partial F _ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ gamma \ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha} }} = 0}

\ epsilon ^ {\ delta \ alpha \ beta \ gamma} {\ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = {\ dfrac {\ partial F _ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ gamma \ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = 0

где $ϵ α β γ δ {\ displaystyle \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$ $\ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}$ - контравариантный символ Леви-Чивиты. Обратите внимание на циклическую перестановку индексов в этом уравнении: $α ⟶ β ↖ γ ↙ {\ displaystyle {\ begin {array} {rc} \ scriptstyle {\ alpha \, \, \ longrightarrow \, \, \ beta} \\ \ nwarrow _ {\ gamma} \ swarrow \ end {array}}}$ ${\ begin {array} {rc} \ scriptstyle {\ alpha \, \, \ longrightarrow \, \, \ beta} \\ \ nwarrow _ {\ gamma} \ swarrow \ end {array}}$ .

Другим ковариантным электромагнитным объектом является тензор энергии-напряжения электромагнитного поля, ковариантный ранг 2, который включает в себя вектор Пойнтинга, тензор напряжений Максвелла и плотность электромагнитной энергии.

4-потенциал

Тензор электромагнитного поля также можно записать

F α β = ∂ A β ∂ x α - ∂ A α ∂ x β, {\ displaystyle F ^ { \ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial A ^ {\ beta}} {\ partial x _ {\ alpha}}} - {\ frac {\ partial A ^ {\ alpha}} {\ partial x _ {\ beta }}} \,,}

{\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial A ^ {\ beta}} {\ partial x _ {\ alpha }}} - {\ frac {\ partial A ^ {\ alpha}} {\ partial x _ {\ beta}}} \,,}

где

A α = (φ c, A x, A y, A z), {\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ varphi } {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ right) \,,}

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ varphi} {c}}, A_ { х}, A_ {y}, A_ {z} \ right) \,,}

- это четырехпотенциал и

x α = (ct, - x, - y, - z) {\ displaystyle x _ {\ alpha} = (ct, -x, -y, -z)}

{\ displaystyle x _ {\ alpha} = (ct, -x, -y, -z)}

- это четырехпозиционный.

с использованием 4- потенциал в калибровке Лоренца, альтернативная явно ковариантная формулировка может быть найдена в одном уравнении (обобщение уравнения из-за Бернхарда Римана Арнольда Зоммерфельда, известного как Риман– Уравнение Зоммерфельда, или ковариантная форма уравнений Максвелла):

уравнения Максвелла (ковариант калибровка Лоренца формулировка)

$◻ A μ = μ 0 J μ {\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = \ mu _ {0} J ^ {\ mu }}$ $\ Box A ^ {\ mu} = \ mu _ {0 } J ^ {\ mu}$

где $◻ {\ displaystyle \ Box}$ $\ Box$ - оператор Даламбертиана или четырехлапласиан. Для более полного представления этих тем см. Ковариантная формулировка классического электромагнетизма.

См. Также

Примечания