Древнеегипетская математика

редактировать

Древнеегипетская математика - это математика, которая была разработана и использовалась в Древнем Египте c.от 3000 до ок. 300 до н.э., с Древнего царства Египта примерно до начала эллинистического Египта. Древние египтяне использовали систему счисления для счета и решения письменных математических задач, часто включающих умножение и дроби. Доказательства египетской математики ограничены скудным количеством сохранившихся источников, написанных на папирусе. Из этих текстов известно, что древние египтяне понимали концепции геометрии, такие как определение площади поверхности и объема трехмерных форм, полезных для архитектурное проектирование и алгебра, такие как метод ложного положения и квадратные уравнения.

Содержание

1 Обзор
2 Источники
3 Цифры
4 Умножение и деление
5 Алгебра
- 5.1 Квадратные уравнения
6 Геометрия
- 6.1 Последовательность
7 См. Также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Обзор

Письменные свидетельства использования математики датируются по крайней мере 3200 г. до н.э. с ярлыками из слоновой кости, найденными в гробнице Uj в Абидосе. Эти ярлыки, по-видимому, использовались в качестве ярлыков для погребального инвентаря, и некоторые из них имеют цифры. Дополнительное свидетельство использования системы счисления с основанием 10 можно найти в Narmer Macehead, где изображены приношения 400 000 волов, 1 422 000 коз и 120 000 заключенных.

Доказательства использования математики в Древнем Царстве (ок. 2690–2180 до н.э.) встречается редко, но может быть выведен из надписей на стене рядом с мастабой в Мейдуме, где даются рекомендации для наклона мастабы. Линии на схеме расположены на расстоянии одного локтя и показывают использование этой единицы измерения.

Самые ранние истинные математические документы относятся к 12-й династии (ок. 1990–1800 гг. до н.э.). Московский математический папирус, Египетский математический кожаный свиток, Математический папирус Лахуна, которые являются частью гораздо большей коллекции Папирусов Кахуна и Берлинский папирус 6619 относятся к этому периоду. Математический папирус Райнда, относящийся к второму промежуточному периоду (около 1650 г. до н.э.), как считается, основан на более раннем математическом тексте 12-й династии.

Московский математический папирус и Математический папирус Райнда - это так называемые тексты математических задач. Они состоят из набора проблем с решениями. Эти тексты могли быть написаны учителем или учеником, занятым решением типичных математических задач.

Интересной особенностью древнеегипетской математики является использование дробных чисел. Египтяне использовали некоторые специальные обозначения для дробей, такие как $1 2, 1 3 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {3}}}$ ${\ tfrac 12}, {\ tfrac 13}$ и $2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$ ${\ tfrac {2} {3}}$ и в некоторых текстах для $3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$ ${\ tfrac 34}$ , но все остальные дроби были записаны как единичные дроби в форме $1 n {\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$ ${\ tfrac 1n}$ или суммы таких единичных долей. Писцы использовали таблицы, чтобы помочь им работать с этими дробями. Например, египетский кожаный рулон математической математики представляет собой таблицу долей единиц, выраженных в виде сумм других долей единиц. Математический папирус Райнда и некоторые другие тексты содержат таблицы $2 n {\ displaystyle {\ tfrac {2} {n}}}$ ${\ tfrac 2n}$ . Эти таблицы позволили писцам переписать любую дробь вида $1 n {\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$ ${\ tfrac 1n}$ как сумму долей единицы.

В период Нового царства (ок. 1550–1070 до н.э.) математические проблемы упоминаются в литературном Папирусе Анастаси I и Папирусе Уилбура времен Рамсес III записывает размеры земли. В деревне рабочих Дейр-эль-Медина было обнаружено несколько остраков, рекордные объемы которых были удалены при разработке гробниц.

Источники

Современное понимание древнеегипетской математики затруднено из-за нехватки доступных источников. Существующие источники включают следующие тексты (которые обычно датируются Средним царством и вторым промежуточным периодом):

Московский математический папирус
Египетский математический кожаный свиток
Математический папирус Лахуна
Берлинский папирус 6619, написанный около 1800 г. до н.э.
Деревянная табличка Ахмима
Папирус Рейснера, датированный к началу Двенадцатой династии Египта и найден в Наг-эль-Дейре, древнем городе Тинис
. Математический папирус Ринда (RMP), датируемый Второй промежуточный период (ок. 1650 г. до н.э.), но его автор, Ахмес, идентифицирует его как копию ныне утерянного папируса Среднего царства. RMP - самый крупный математический текст.

Из Нового Царства есть несколько математических текстов и надписей, связанных с вычислениями:

Папирус Анастаси I, художественный текст, написанный как (вымышленный) письмо, написанное писцом по имени Хори и адресованное писцу по имени Аменемоп. Отрезок письма описывает несколько математических задач.
Ostracon Senmut 153, текст, написанный на иератическом языке
Ostracon Turin 57170, текст, написанный на иератическом
Ostraca из Дейр-эль -Medina содержат вычисления. Ostracon IFAO 1206, например, показывает расчет объемов, предположительно связанных с разработкой гробницы.

Цифры

Древние египетские тексты могли быть написаны либо иероглифами, либо иератический. В любом представлении система счисления всегда давалась с основанием 10. Число 1 изображалось простым штрихом, число 2 - двумя штрихами и т. Д. У чисел 10, 100, 1000, 10 000 и 1 000 000 были свои собственные иероглифы. Число 10 - это ковбой для крупного рогатого скота, число 100 представлено спиральной веревкой, число 1000 представлено цветком лотоса, число 10 000 представлено пальцем, число 100 000 представлено лягушкой., а миллион был представлен богом с поднятыми руками в поклонении.

Иероглифы для египетских цифр

100

1000

10,000

100,000

1,000,000

Стела из плит Древнего царства принцесса Неферетиабет (датируется 2590–2565 гг. До н.э.) из ее гробницы в Гизе, роспись по известняку, теперь в Лувр

Египетские цифры восходят к додинастическому периоду. Этикетки из слоновой кости из Абидоса записывают использование этой системы счисления. Также часто можно увидеть цифры в сценах предложения, чтобы указать количество предлагаемых предметов. Дочь царя Неферетиабет показана с принесением в жертву 1000 волов, хлеба, пива и т. Д.

Египетская система счисления была аддитивной. Большие числа были представлены набором глифов, а значение было получено простым сложением отдельных чисел.

Эта сцена изображает подсчет крупного рогатого скота (скопировано египтологом Лепсиусом ). В среднем регистре мы видим 835 голов крупного рогатого скота, слева, сразу за ними около 220 голов (коров?) И справа 2235 коз. В нижнем регистре мы видим 760 ослов слева и 974 козла справа.

Египтяне почти исключительно использовали дроби вида 1 / n. Заметным исключением является дробь 2/3, которая часто встречается в математических текстах. Очень редко для обозначения 3/4 использовался специальный глиф. Дробь 1/2 была представлена глифом, который, возможно, изображал кусок полотна, сложенный пополам. Дробь 2/3 была представлена символом рта с двумя штрихами (разного размера). Остальные дроби всегда представлялись ртом, наложенным на число.

Иероглифы для некоторых дробей

1/2 {\ displaystyle 1/2}

1/2

1/3 {\ displaystyle 1/3 }

1/3

2/3 {\ displaystyle 2/3}

2/3

1/4 {\ displaystyle 1/4}

1/4

1/5 {\ displaystyle 1/5}

1/5

Умножение и деление

Египетское умножение производилось путем многократного удвоения числа, которое нужно умножить (множимое), и выбора того, какое из удвоений складывать вместе (по сути, форма двоичной арифметики), метод, который связан с Старое царство. Рядом с цифрой 1 написано множимое; затем множимое добавлялось к самому себе, и результат записывался рядом с числом 2. Процесс продолжался до тех пор, пока удвоение не дало числа, превышающего половину множителя . Затем удвоенные числа (1, 2 и т. Д.) Будут многократно вычитаться из множителя, чтобы выбрать, какие из результатов существующих вычислений следует сложить вместе, чтобы получить ответ.

Как сокращение для большего чисел, множимое также можно сразу умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т. д.

Например, в задаче 69 о папирусе Ринда (RMP) приведена следующая иллюстрация, как если бы использовались иероглифические символы ( а не реальный иератический сценарий RMP).

Чтобы умножить 80 × 14

Египетское вычисление

Современные вычисления

Результат

Множитель

Результат

Множитель

800

160

320

1120

обозначает промежуточные результаты, которые суммируются для получения окончательный ответ.

Приведенную выше таблицу также можно использовать для деления 1120 на 80. Мы могли бы решить эту проблему, найдя частное (80) как сумму тех множителей 80, которые в сумме дают 1120. В этом примере это будет дает частное 10 + 4 = 14. Более сложный пример алгоритма деления дается в Задаче 66. Всего 3200 ro жира должны быть распределены равномерно в течение 365 дней.

Разделение 3200 на 365
1	365
2	730
4	1460
8	2920
2/3	243 ⁄ 3
1/10	36 ⁄ 2
1/2190	1/6

Сначала писец будет многократно удваивать 365 до тех пор, пока не будет достигнуто максимально возможное кратное 365, которое меньше 3200. В данном случае 8 умноженное на 365 равно 2920, и дальнейшее сложение числа, кратного 365, явно даст значение больше 3200. Далее следует отметить, что $(2/3 + 1/10 + 1/2190) {\ displaystyle (2/3 + 1/10 +1/2190)}$ $(2/3 + 1/10 + 1/2190)$ умножить на 365 дает нам необходимое нам значение 280. Следовательно, мы находим, что 3200, деленное на 365, должно равняться $8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190 {\ displaystyle 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190}$ $8+2/3+1/10+1/2190$ .

Алгебра

Проблемы египетской алгебры появляются как в математическом папирусе Райнда, так и в Московском математическом папирусе, а также в нескольких других источниках.

Ага. в иероглифах

Ага проблемы связаны с поиском неизвестных величин (называемых Ага), если указана сумма количества и его части. Математический папирус Райнда также содержит четыре задачи такого типа. Проблемы 1, 19 и 25 Московского папируса - это проблемы Ага. Например, в задаче 19 требуется вычислить величину, взятую 1 и ⁄ 2 раз и добавленную к 4, чтобы получить 10. Другими словами, в современных математических обозначениях нас просят решить линейное уравнение . :

3 2 × x + 4 = 10. {\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ times x + 4 = 10. \}

{\ displaystyle {\ frac {3 } {2}} \ times x + 4 = 10. \}

Для решения этих проблем Aha используется метод, называемый методом ложного положения. Этот прием еще называют методом ложного предположения. Писец подставлял в задачу первоначальное предположение ответа. Решение, использующее ложное предположение, будет пропорционально фактическому ответу, и писец найдет ответ, используя это соотношение.

Математические сочинения показывают, что писцы использовали (наименьшее) общее кратное, чтобы преобразовать задачи с дробями в проблемы с использованием целых чисел. В связи с этим рядом с дробями написаны красные вспомогательные числа.

Использование дробей глаза Гора показывает некоторые (элементарные) знания геометрической прогрессии. Знание арифметических прогрессий также очевидно из математических источников.

Квадратные уравнения

Древние египтяне были первой цивилизацией, которая разработала и решила уравнения второй степени (квадратные ). Эта информация содержится во фрагменте Берлинского папируса. Кроме того, египтяне решают алгебраические уравнения первой степени, найденные в Математическом папирусе Райнда.

Геометрия

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса. Задача включает диаграмму, показывающую размеры усеченной пирамиды.

Существует лишь ограниченное количество задач из Древнего Египта, касающихся геометрии. Геометрические задачи появляются как в Московском математическом папирусе (MMP), так и в Математическом папирусе Райнда (RMP). Примеры показывают, что древние египтяне умели вычислять площади нескольких геометрических форм и объемы цилиндров и пирамид.

Площадь:
- Треугольники: Писцы записывают проблемы с вычислением площади треугольника (RMP и MMP).
- Прямоугольники: Проблемы, касающиеся площади прямоугольного участка земли, появляются в RMP и MMP. Аналогичная проблема возникает в Математическом папирусе Лахуна в Лондоне.
- Круги: Задача 48 RMP сравнивает площадь круга (аппроксимированного восьмиугольником) и его описывающего квадрата. Результат этой задачи используется в задаче 50, где писец находит площадь круглого поля диаметром 9 хет.
- Полусфера: Задача 10 в MMP находит площадь полушария.
Объемы:
- Цилиндрические зернохранилища : Несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (RMP 41–43), в то время как задача 60 RMP, кажется, касается колонны или конуса вместо пирамиды. Он довольно небольшой и крутой, с секедом (обратным уклоном) четырех пальм (на локоть). В разделе IV.3 Математического папируса Лахуна объем зернохранилища с круглым основанием определяется с использованием той же процедуры, что и RMP 43.
- Прямоугольные зернохранилища: Несколько проблем в Московский математический папирус (задача 14) и в Математическом папирусе Райнда (числа 44, 45, 46) вычислить объем прямоугольного амбара.
- Усеченная пирамида (усеченная пирамида): Объем усеченной пирамиды вычисляется в MMP 14.

Задача 56 в последовательности

RMP указывает на понимание идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение пробег / подъем, также известное как seqed. Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (Задача 57) высота пирамиды вычисляется исходя из длины основания и секед (египетское обозначение обратной величины наклона), в то время как задача 58 дает длину основания и высоту и использует эти измерения для вычислить seqed. В задаче 59 часть 1 вычисляет последовательность, тогда как вторая часть может быть вычислением для проверки ответа: если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и последовательностью из 5 ладоней и 1 пальца; на какой высоте он находится?

См. также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки