Египетская геометрия

редактировать

Египетская геометрия относится к геометрии в том виде, в каком она была разработана и использовалась в Древнем Египте. Их геометрия была необходимым результатом съемок для сохранения планировки и прав собственности на сельхозугодья, которые ежегодно затоплялись рекой Нил.

. У нас есть только ограниченное количество проблемы из Древнего Египта, касающиеся геометрии. Геометрические задачи появляются как в Московском математическом папирусе (MMP), так и в Математическом папирусе Райнда (RMP). Примеры показывают, что древние египтяне умели вычислять площади нескольких геометрических форм, а также объемы цилиндров и пирамид.

Содержание

1 Область
2 Тома
3 Seqed
4 Ссылки
5 Библиография

Область

Древние египтяне записывали свои проблемы в нескольких частях. Они дали название и данные для данной проблемы, в некоторых текстах они покажут, как решить проблему, и в качестве последнего шага они подтвердили, что проблема была правильной. Писцы не использовали никаких переменных, и задачи были написаны в форме прозы. Решения были записаны поэтапно с описанием процесса.

Египетский круг

Египетские единицы длины относятся к раннему династическому периоду. Хотя камень Палермо датируется 5-й династией, он зафиксировал уровень реки Нил во время правления раннединастического фараона Джер, когда высота Нила составляла 6 локтей и 1 пальму (около 3,217 м или 10 футов 6,7 дюйма). Схема Третьей династии показывает, как построить круглое хранилище, используя размеры тела по дуге. Если площадь Квадрата составляет 434 единицы. Площадь круга 433,7.

Остракон , изображающий эту диаграмму, был найден возле ступенчатой пирамиды в Саккара. Кривая разделена на пять частей, и высота кривой указывается в локтях, ладонях и цифрах в каждой из частей.

В какой-то момент длины были стандартизированы с помощью стержней локтей. Примеры были найдены в могилах чиновников, отмечая долгое времяпровождение. Царские локти использовались для земельных мер, таких как дороги и поля. Четырнадцать стержней, включая один стержень в два локтя, были описаны и сравнены Лепсиусом. Два примера известны из гробницы Саккара Майя, казначея Тутанхамона.

Другой был найден в гробнице Кха (TT8 ) в Фивах. Эти локти имеют длину 52,5 см (20,7 дюйма) и разделены на ладони и кисти: каждая ладонь разделена на четыре пальца слева направо, а пальцы далее подразделяются на ро справа налево. Правила также разделены на руки, так что, например, одна ступня дается как три руки и пятнадцать пальцев, а также как четыре ладони и шестнадцать пальцев. [

Cubit жезл из Туринского музея.

Были предприняты геодезические и передвижные измерения. с помощью стержней, шестов и веревочных шнуров с узлами. Сцена в гробнице Менны в Фивах показывает геодезистов, измеряющих участок земли с помощью веревки с узлами, завязанными через равные промежутки времени. Подобные сцены можно найти в гробницах Аменхотеп-Сеси, Хаэмхата и Джесеркаресенеба. Шары веревки также изображены на статуях официальных лиц Нового царства, таких как Сененмут, Аменемхет-Сурер и Пенанхор.

Области
Объект	Источник	Формула (в современной нотации)
треугольник	Задача 51 в RMP и задачи 4, 7 и 17 в MMP	$A = 1 2 bh {\ displaystyle A = { \ frac {1} {2}} bh}$ $A = {\ frac {1} {2}} bh$ . b = база, h = высота
прямоугольники	Задача 49 в RMP и проблема 6 в MMP и Lahun LV.4. задача 1	$A = bh {\ displaystyle A = bh}$ $A=bh$ . b = base, h = height
circle	Задача 51 в RMP и задачи 4, 7 и 17 в MMP	$A = 1 4 (256 81) d 2 {\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} ({\ frac {256} {81}}) d ^ {2}}$ $A = {\ frac {1} {4}} ({\ frac {256} {81}}) d ^ {2}$ . d = диаметр. Здесь используется значение 256/81 = 3,16049... для $π = 3,14159... {\ displaystyle \ pi = 3,14159...}$ $\ pi = 3.14159...$
полушарие	Задача 10 в MMP.

Треугольники :. Древние египтяне знали, что площадь треугольника $A = 1 2 bh {\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} bh}$ $A = {\ frac {1} {2}} bh$ где b = основание и h = высота. Расчеты площади треугольника появляются как в RMP, так и в MMP.

Прямоугольники: . Задача 49 из RMP определяет площадь прямоугольного участка земли. Задача 6 MMP определяет длины стороны прямоугольной области с учетом соотношения длин сторон. Эта проблема, похоже, идентична одной из Математических папирусов Лахуна в Лондоне. Проблема интересна еще и тем, что очевидно, что египтяне знали квадратные корни. У них даже был специальный иероглиф для нахождения квадратного корня. Он выглядит как угол и фигурирует в пятой строке задачи. Мы подозреваем, что у них были таблицы, дающие квадратные корни некоторых часто используемых чисел. Однако таких таблиц не найдено. Задача 18 MMP вычисляет площадь отрезка ткани одежды.

Задача 1 Папируса Лахуна в LV.4 дается следующим образом: Площадь 40 "мГн" на 3 "мГн" должна быть разделена на 10 участках, каждая из которых должна иметь ширину 1/2 1/4 их длины. Перевод проблемы и ее решение в том виде, в каком оно изображено на фрагменте, даны на веб-сайте Университетского колледжа Лондона.

Круги: . Задача 48 RMP сравнивает площадь круга (приблизительно восьмиугольник) и его описывающий квадрат. Результат этой задачи используется в задаче 50.

Разделите каждую сторону пополам. Убираем угловые треугольники. Получившаяся восьмиугольная фигура приближается к окружности. Площадь восьмиугольной фигуры:

$9 2 - 4 1 2 (3) (3) = 63 {\ displaystyle 9 ^ {2} -4 {\ frac {1} {2}} (3) (3) = 63}$ $9 ^ {2} -4 {\ frac {1} {2}} (3) (3) = 63$ Затем мы приближаем 63 к 64 и отмечаем, что $64 = 8 2 {\ displaystyle 64 = 8 ^ {2}}$ $64=8^{2}$

Таким образом, число

4 (8 9) 2 = 3,16049... {\ displaystyle 4 ({\ frac {8} {9}}) ^ {2} = 3,16049...}

4 ({\ frac {8} {9}}) ^ {2} = 3,16049...

играет роль π = 3,14159....

То, что эта восьмиугольная фигура, площадь которой легко вычисляется, так точно аппроксимирует площадь круга, просто удача. Получить лучшее приближение к площади, используя более мелкие деления квадрата и аналогичные аргументы, непросто.

Задача 50 РМП находит площадь круглого поля диаметром 9 хет. Это решается с помощью приближения, согласно которому круговое поле диаметром 9 имеет такую же площадь, что и квадрат со стороной 8. Задача 52 находит площадь трапеции с (очевидно) одинаково наклонными сторонами. Длины параллельных сторон и расстояние между ними являются заданными числами.

Полушарие: . Задача 10 MMP вычисляет площадь полушария.

Объемы

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса. Задача включает диаграмму, показывающую размеры усеченной пирамиды.

Несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (41, 42 и 43 ПСО), в то время как задача 60 ПСО, кажется, касается колонны или конуса вместо пирамида. Он довольно небольшой и крутой, с секедом (наклоном) в четыре ладони (на локоть).

Задача, описанная в разделе IV.3 Математического папируса Лахуна, вычисляет объем зернохранилище с круглым основанием. Похожую проблему и процедуру можно найти в папирусе Райнда (проблема 43). Несколько задач в Московском математическом папирусе (задача 14) и в Математическом папирусе Райнда (числа 44, 45, 46) вычисляют объем прямоугольного амбара.

Задача 14 Московского математического папируса вычисляет объем усеченной пирамиды, также известной как усеченная пирамида.

Объемы
Объект	Источник	Формула (в современных обозначениях)
Цилиндрические зернохранилища	RMP 41	$V = 256 81 r 2 ч {\ displaystyle V = {\ frac {256} {81}} r ^ {2} \ h}$ $V = {\ frac {256} {81}} r ^ {2} \ h$ в кубических кубитах
Цилиндрические зернохранилища	RMP 42, Лахун IV.3	$V = 32 27 d 2 h = 128 27 r 2 h {\ displaystyle V = {\ frac {32} {27}} d ^ {2} \ h = {\ frac {128} {27} } r ^ {2} \ h}$ $V = {\ frac {32} {27}} d ^ {2} \ h = {\ frac {128} {27}} r ^ {2} \ h$ (измеряется в кхарах).
Прямоугольные зернохранилища	RMP 44-46 и MMP 14	$V = wlh {\ displaystyle V = w \ l \ h}$ $V = w \ l \ h$ . w = ширина, l = длина, h = высота
Усеченная пирамида (усеченная пирамида)	MMP 14	$V = 1 3 (a 2 + ab + b 2) h {\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) h}$ $V = {\ frac {1} {3}} (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) h$

Seqed

Задача 56 RMP указывает на понимание идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение пробег / подъем, также известное как seqed. Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (Задача 57) высота пирамиды вычисляется из длины основания и seqed (египетский для наклона), в то время как задача 58 дает длину основания и высоту и использует эти измерения для вычисления seqed.

В задаче 59 часть 1 вычисляет последовательность, тогда как вторая часть может быть вычислением для проверки ответа: если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и с последовательностью из 5 ладоней 1 палец; на какой высоте?

Ссылки

Библиография

Clagett, Marshall (1999). Древнеегипетская наука: Справочник, Том. III: Древнеегипетская математика. Воспоминания об АПС, Т. 232. Филадельфия: Американское философское общество. ISBN 978-0-87169-232-0.
Лепсиус, Карл Ричард (1865). Die Alt-Aegyptische Elle und Ihre Eintheilung (на немецком языке). Берлин: Дюммлер.