Эквивалентность доходов - это концепция в теории аукционов, которая гласит, что при определенных условиях любой механизм, приводящий к одним и тем же результатам (т. Е. Распределяет товары одним и тем же участникам торгов), также имеет одинаковый ожидаемый доход.
Есть набор возможных исходов.
Есть агенты, которые по-разному оценивают каждый результат. Оценка агента (также называемого «типом») представлена в виде функции:
который выражает ценность каждой альтернативы в денежном выражении.
У агентов есть квазилинейные функции полезности ; это означает, что если результат такой, и, кроме того, агент получает платеж (положительный или отрицательный), то общая полезность агента составляет:
Вектор всех функций-значений обозначается.
Для каждого агента вектор всех ценностных функций других агентов обозначается. Итак.
Механизм представляет собой пару функций:
Типы агентов - независимые одинаково распределенные случайные величины. Таким образом, механизм порождает байесовскую игру, в которой стратегия игрока является его сообщаемым типом как функцией от его истинного типа. Механизм считается совместимым со стимулами Байеса-Нэша, если существует байесовское равновесие по Нэшу, в котором все игроки сообщают о своем истинном типе.
При этих предположениях теорема об эквивалентности доходов утверждает следующее.
Для любых двух механизмов стимулирования Байеса-Нэша, если:
тогда:
Классическим примером является пара аукционных механизмов: первый аукцион цена и аукциона второй цены. У аукциона первой цены есть вариант, совместимый со стимулом Байеса-Нэша; Аукцион второй цены совместим с доминирующей стратегией и стимулом, что даже сильнее, чем совместимость со стимулом Байеса и Нэша. Эти два механизма удовлетворяют условиям теоремы, потому что:
Действительно, ожидаемая оплата для каждого игрока одинакова на обоих аукционах, и доход аукциониста одинаков; подробности см. на странице аукциона с запечатанными предложениями первой цены.
Фактически, мы можем использовать эквивалент дохода, чтобы доказать, что многие типы аукционов эквивалентны доходу. Например, аукцион первой цены, аукцион второй цены и аукцион с полной оплатой - все они эквивалентны доходу, когда участники торгов симметричны (то есть их оценки независимы и одинаково распределены).
Рассмотрим аукцион с одним предметом второй цены, в котором игрок, сделавший самую высокую ставку, платит вторую по величине ставку. Оптимально, чтобы каждый игрок предлагал свою ставку.
Предположим, выигрывает аукцион и платит вторую по величине ставку, или. Выручка от этого аукциона проста.
На аукционе первой цены, где игрок с наибольшей ставкой просто платит свою ставку, если все игроки делают ставки с использованием функции ставок, это равновесие по Нэшу.
Другими словами, если каждый игрок делает ставку так, чтобы он предлагал ожидаемое значение второй по величине ставки, предполагая, что их ставка была самой высокой, тогда ни у одного игрока нет стимула отклоняться. Если бы это было правдой, то легко видеть, что ожидаемый доход от этого аукциона также если выигрывает аукцион.
Чтобы доказать это, предположим, что игрок 1 делает ставку где, эффективно блефуя, что его ценность, а не. Мы хотим найти такое значение, чтобы ожидаемый выигрыш игрока был максимальным.
Тогда вероятность выигрыша равна. Ожидаемая стоимость этой ставки составляет. Тогда ожидаемый выигрыш игрока равен
Пусть, случайная величина. Затем мы можем переписать приведенное выше как
Используя общий факт, мы можем переписать вышеизложенное как
Взяв производные по, получим
Таким образом, ставка со своим значением максимизирует ожидаемый выигрыш игрока. Поскольку он монотонно возрастает, мы проверяем, что это действительно точка максимума.
На открытом аукционе по возрастающей цене (он же английский аукцион ) доминирующая стратегия покупателя заключается в том, чтобы оставаться на аукционе до тех пор, пока запрашиваемая цена не сравняется с его стоимостью. Затем, если он остается на арене последним, он выигрывает и делает вторую по величине ставку.
Рассмотрим случай двух покупателей, каждый со значением, независимым от распределения с поддержкой [0,1], кумулятивной функцией распределения F (v) и функцией плотности вероятности f (v). Если покупатели действуют в соответствии со своими доминирующими стратегиями, то покупатель со стоимостью v выигрывает, если значение x его оппонента ниже. Таким образом, его вероятность выигрыша равна
и его ожидаемый платеж
Ожидаемый платеж, обусловленный выигрышем, поэтому
Умножение обеих частей на F (v) и дифференцирование на v дает следующее дифференциальное уравнение для e (v).
Преобразуя это уравнение,
Пусть B (v) будет функцией равновесной заявки на закрытом аукционе первой цены. Мы устанавливаем эквивалентность доходов, показывая, что B (v) = e (v), то есть равновесный платеж победителя на одном аукционе равен равновесному ожидаемому платежу победителя на другом.
Предположим, что покупатель имеет значение v и делает ставку b. Его оппонент делает ставку в соответствии со стратегией равновесных ставок. Поддержка распределения ставок оппонента составляет [0, B (1)]. Таким образом, любая ставка не менее B (1) выигрывает с вероятностью 1. Следовательно, лучшая ставка b лежит в интервале [0, B (1)], и поэтому мы можем записать эту ставку как b = B (x), где x лежит в [0,1]. Если противник имеет значение y, он делает ставку B (y). Следовательно, вероятность выигрыша равна
Ожидаемый выигрыш покупателя - это его вероятность выигрыша, умноженная на его чистую прибыль в случае выигрыша, то есть
Дифференцируя, необходимым условием максимума является
То есть, если B (x) - лучший ответ покупателя, он должен удовлетворять этому условию первого заказа. Наконец, отметим, что для того, чтобы B (v) была функцией равновесного предложения, лучший ответ покупателя должен быть B (v). Таким образом, x = v. Подставляя x в необходимое условие,
Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение идентично уравнению для e (v). Поскольку e (0) = B (0) = 0, отсюда следует, что.
Мы можем использовать эквивалент дохода, чтобы предсказать функцию ставок игрока в игре. Рассмотрим вариант два игрока из аукциона второй цены и первой цены аукциона, где значение каждого игрока рисуется равномерно с.
Ожидаемый платеж первого игрока на аукционе второй цены можно рассчитать следующим образом:
Поскольку игроки делают честные ставки на аукционе второй цены, мы можем заменить все цены на значения игроков. Если игрок 1 выигрывает, он оплачивает то, что делает ставка игрока 2, или. Игрок 1 делает ставку сам. Поскольку выплата равна нулю, когда игрок 1 проигрывает, приведенное выше
Поскольку исходят из равномерного распределения, мы можем упростить это до
Мы можем использовать эквивалент дохода, чтобы сгенерировать правильную симметричную функцию торгов на аукционе первой цены. Предположим, что на аукционе первой цены у каждого игрока есть функция торгов, но на данный момент эта функция неизвестна.
Ожидаемый платеж игрока 1 в этой игре тогда
Теперь игрок просто платит то, что предлагает игрок, и давайте предположим, что игроки с более высокими значениями по-прежнему выигрывают, так что вероятность выигрыша - это просто стоимость игрока, как на аукционе второй цены. Позже мы покажем, что это предположение было правильным. Опять же, игрок ничего не платит, если проигрывает аукцион. Тогда получаем
По принципу эквивалентности доходов мы можем приравнять это выражение к доходу от аукциона второй цены, который мы вычислили выше:
Исходя из этого, мы можем сделать вывод о функции торгов:
Обратите внимание, что с этой функцией ставок игрок с более высоким значением все равно выигрывает. Мы можем показать, что это правильная функция ставок равновесия, дополнительным способом, подумав о том, как игрок должен максимизировать свою ставку, учитывая, что все другие игроки делают ставки, используя эту функцию ставок. См. Страницу об аукционе с запечатанными предложениями первой цены.
Точно так же мы знаем, что ожидаемый платеж игрока 1 на аукционе второй цены равен, и он должен быть равен ожидаемому платежу на аукционе с полной оплатой, т. Е.
Таким образом, функция ставок для каждого игрока на аукционе с полной оплатой будет
Важное следствие этой теоремы состоит в том, что любой аукцион по продаже одного предмета, который безоговорочно передает его лицу, предложившему наивысшую цену, будет иметь такой же ожидаемый доход. Это означает, что если мы хотим увеличить доход аукциониста, необходимо изменить функцию результата. Один из способов сделать это - установить для товара цену зарезервирования. Это изменяет функцию «Результат», поскольку теперь предмет не всегда отдается тому, кто предложил самую высокую цену. Тщательно подобрав резервную цену, аукционист может получить значительно более высокий ожидаемый доход.
Теорема об эквивалентности доходов не работает в некоторых важных случаях: