Аукцион с полной оплатой

редактировать

В экономике и теории игр используется полная оплата аукцион - это аукцион, в котором каждый участник торгов должен заплатить независимо от того, выиграл ли он приз, который присуждается участнику, предложившему самую высокую цену, как на обычном аукционе.

В аукционе с полной оплатой равновесие по Нэшу таково, что каждый участник аукциона использует смешанную стратегию и их ожидаемый выигрыш равен нулю. Ожидаемый доход продавца равен стоимости приза. Однако некоторые экономические эксперименты показали, что завышение ставок - обычное дело. То есть доход продавца часто превышает размер приза, и в повторных играх даже участники торгов, которые часто выигрывают приз, в конечном итоге, скорее всего, понесут убытки.

Содержание

1 Формы всех- аукционы с оплатой
2 правила
3 Допущение симметрии
4 Использование эквивалентности доходов для прогнозирования функции торгов
5 Примеры
6 Ссылки

Формы аукционов с полной оплатой

Самая простая форма аукциона с полной оплатой - это аукцион Таллока, иногда называемый лотереей Таллока, в котором каждый подает заявку, но и проигравшие, и победители оплачивают свои представленные ставки. Это помогает описать определенные идеи в экономике общественного выбора. долларовый аукцион - это аукцион Таллока для двух игроков или многопользовательская игра, в которой только два участника, предложивших наивысшую цену, платят свои ставки.

Обычная лотерея или розыгрыш также можно рассматривать как связанный процесс, поскольку все держатели билетов заплатили, но только один получает приз. Обычные практические примеры аукционов с полной оплатой можно найти на нескольких веб-сайтах «пенни-аукцион» / аукцион с оплатой ставок.

Существуют и другие формы аукционов с полной оплатой, такие как война на истощение (также известная как биологические аукционы), в которых побеждает тот, кто предложит самую высокую цену, но все (или, как правило, оба) претенденты платят только меньшую ставку. Война на истощение используется биологами для моделирования обычных состязаний или агонистических взаимодействий, разрешенных без обращения к физической агрессии.

Правила

Следующий анализ следует нескольким основным правилам.

Каждый участник торгов подает заявку, которая зависит только от их оценки.
Участники торгов не знают оценок других участников торгов.
Анализ основан на независимой частной стоимости (IPV) среда, в которой оценка каждого участника торгов проводится независимо от равномерного распределения [0,1]. В среде IPV, если мое значение равно 0,6, то вероятность того, что какой-то другой участник торгов имеет более низкое значение, также равна 0,6. Соответственно, вероятность того, что два других участника торгов имеют более низкое значение, составляет $0,6 2 = 0,36 {\ textstyle 0,6 ^ {2} = 0,36}$ ${ \ textstyle 0,6 ^ {2} = 0,36}$ .

Допущение симметрии

В IPV участники торгов симметричны, поскольку оценки взяты из такое же распределение. Это позволяет сосредоточить анализ на симметричных и монотонных стратегиях назначения ставок. Это означает, что два участника торгов с одинаковой оценкой подадут одно и то же предложение. В результате, при симметрии, участник торгов с наибольшим значением всегда будет выигрывать.

Использование эквивалента дохода для прогнозирования функции торгов

Рассмотрим версию для двух игроков аукцион с полной оплатой и $vi, vj {\ displaystyle v_ {i}, v_ {j}}$ ${\ displaystyle v_ {i}, v_ {j}}$ быть независимыми и одинаково распределенными частными оценками на равномерном распределении из [0,1]. Мы хотим найти функцию монотонно возрастающих ставок, $b (v) {\ displaystyle b (v)}$ $b (v)$ , которая образует симметричное равновесие по Нэшу.

Обратите внимание: если игрок $i {\ displaystyle i}$ $i$ делает ставку $b (x) {\ displaystyle b (x)}$ $b (x)$ , он выигрывает аукцион только в том случае, если его ставка превышает ставку игрока $j {\ displaystyle j}$ $j$ , $b (vj) {\ displaystyle b (v_ {j})}$ ${\ displaystyle b (v_ {j})}$ . Вероятность того, что это произойдет, равна

$P [b (x)>b (vj)] = P [x>vj] = x {\ displaystyle \ mathbb {P} [b (x)>b (v_ {j })] = \ mathbb {P} [x>v_ {j}] = x}$ $\mathbb {P} [b(x)>b (v_ {j})] = \ mathbb {P} [x>v_ {j}] = x$ , начиная с $b { displaystyle b}$ $b$ является монотонным и $vj ∼ {\ displaystyle v_ {j} \ sim}$ ${\ displaystyle v_ {j } \ sim}$ Unif [0,1]

Таким образом, вероятность распределение товара по $i {\ displaystyle i}$ $i$ равно $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Таким образом, $i {\ displaystyle i}$ Ожидаемая полезность $i$ , когда он делает ставку, как если бы его частная ценность была $x {\ displaystyle x}$ $x$ , определяется как

$ui (x | vi) = vix - b (x) {\ displaystyle u_ {i} (x | v_ {i}) = v_ {i} xb (x)}$ ${\ displaystyle u_ {i} (x | v_ {i}) = v_ {i} xb (x)}$ .

Для того, чтобы $b {\ displaystyle b}$ $b$ был байесовским-Нэшем Равновесие, $ui (xi | vi) {\ displaystyle u_ {i} (x_ {i} | v_ {i})}$ ${\ displaystyle u_ {i} (x_ {i} | v_ {i})}$ должно иметь максимум в $xi = vi {\ displ aystyle x_ {i} = v_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i} = v_ {i}}$ , так что $i {\ displaystyle i}$ $i$ не имеет стимула отклоняться при $j {\ displaystyle j}$ $j$ придерживается своей ставки $b (vj) {\ displaystyle b (v_ {j})}$ ${\ displaystyle b (v_ {j})}$ .

$⟹ ui ′ (vi) = 0 ⟹ vi = b ′ (vi) {\ displaystyle \ implies u_ {i} '(v_ {i}) = 0 \ implies v_ {i} = b' (v_ {i})}$ $\implies u_{i}'(v_{i})=0\implies v_{i}=b'(v_{i})$

После интегрирования получаем $b (vi) = vi 2 2 {\ displaystyle b (v_ {i}) = {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle b (v_ {i}) = {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}}}$ .

Поскольку эта функция действительно монотонно возрастает, эта стратегия назначения ставок $b {\ displaystyle b}$ $b$ составляет равновесие Байеса-Нэша. В этом примере выручка от аукциона с полной оплатой составляет

$R = b (v 1) + b (v 2) = v 1 2 2 + v 2 2 2 {\ displaystyle R = b (v_ {1}) + b (v_ {2}) = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} + {\ frac {v_ {2} ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle R = b (v_ {1}) + b (v_ {2}) = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} + {\ frac {v_ {2} ^ {2}} {2}}}$

Поскольку $v 1, v 2 {\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$ ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$ взяты iid из Unif [0,1], ожидаемый доход составляет

$E [R] = E [v 1 2 2 + v 2 2 2] = E [v 2] = ∫ 0 1 v 2 dv = 1 3 {\ displaystyle \ mathbb {E} [R] = \ mathbb {E} [{\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} + {\ frac {v_ {2} ^ {2}} {2}}] = \ mathbb {E} [v ^ {2}] = \ int \ limits _ {0} ^ {1} v ^ {2} dv = {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [R] = \ mathbb {E} [{\ frac {v_ {1} ^ {2} } {2}} + {\ frac {v_ {2} ^ {2}} {2}}] = \ mathbb {E} [v ^ {2}] = \ int \ limits _ {0} ^ {1} v ^ {2} dv = {\ frac {1} {3}}}$ .

Согласно теореме об эквивалентности доходов, все аукционы с 2 игрока будут иметь ожидаемый доход $1 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$ ${\ frac {1} {3}}$ , когда частные оценки iid от Unif [0, 1].

Примеры

Рассмотрим коррумпированного чиновника, который имеет дело с спонсорами кампании: каждый хочет, чтобы он оказал им услугу, которая стоит им где-то от 0 до 1000 долларов (равномерно распределенных). Их фактическая стоимость составляет 250, 500 и 750 долларов. Они могут только наблюдать за своими собственными оценками. Каждый из них угощает чиновника дорогим подарком - если они потратят на подарок X долларов, то он принесет чиновнику X долларов. Чиновник может сделать только одну услугу и окажет услугу дарителю, который преподносит ему самый дорогой подарок.

Это типичная модель аукциона с полной оплатой. Чтобы рассчитать оптимальную ставку для каждого донора, нам нужно нормализовать оценки {250, 500, 750} до {0,25, 0,5, 0,75}, чтобы можно было применить IPV.

Согласно формуле оптимальной ставки:

$bi (vi) = (n - 1 n) vin {\ displaystyle b_ {i} (v_ {i}) = \ left ({\ frac { n-1} {n}} \ right) {v_ {i}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {i} (v_ {i}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {i}} ^ {n}}$

Оптимальные ставки для трех доноров в рамках IPV:

$b 1 (v 1) = (n - 1 n) v 1 n = (2 3) 0,25 3 = 0,0104 {\ displaystyle b_ {1} (v_ {1}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {1} } ^ {n} = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) {0,25} ^ {3} = 0,0104}$ ${\ displaystyle b_ {1} (v_ {1}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {1}} ^ {n} = \ left ({\ frac { 2} {3}} \ справа) {0,25} ^ {3} = 0,0104}$

$b 2 (v 2) = (n - 1 n) v 2 п = (2 3) 0,50 3 = 0,0833 {\ displaystyle b_ {2} (v_ {2}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {2}} ^ { n} = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) {0,50} ^ {3} = 0,0833}$ ${ \ displaystyle b_ {2} (v_ {2}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {2}} ^ {n} = \ left ({\ frac {2 } {3}} \ right) {0,50} ^ {3} = 0,0833}$

$b 3 (v 3) = (n - 1 n) v 3 n = ( 2 3) 0,75 3 = 0,2813 {\ displaystyle b_ {3} (v_ {3}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {3}} ^ {n} = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) {0,75} ^ {3} = 0,2813}$ ${\ displaystyle b_ {3} (v_ {3}) = \ left ({\ frac {n-1} { n}} \ right) {v_ {3}} ^ {n} = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) {0,75} ^ {3} = 0,2813}$

Чтобы получить реальную оптимальную сумму, которую должен дать каждый из трех доноров, просто умножьте значения IPV на 1000:

$b 1 действительный (v 1 = 0,25) = $ 10,4 {\ displaystyle b_ {1} вещественный (v_ {1} = 0,25) = \ $ 10,4}$ ${\ displaystyle b_ {1} реальный (v_ {1} = 0,25) = \ $ 10,4}$

$b 2 действительный (v 2 = 0,50) = 83,3 долл. США {\ disp Laystyle b_ {2} реальный (v_ {2} = 0,50) = \ $ 83,3}$ ${\ displaystyle b_ {2} real (v_ {2} = 0,50) = \ $ 83,3}$

$b 3 реальный (v 3 = 0,75) = $ 281,3 {\ displaystyle b_ {3} реальный (v_ {3} = 0,75) = \ $ 281,3}$ ${\ displaystyle b_ {3} real (v_ {3} = 0,75) = \ $ 281.3}$

Этот пример подразумевает, что чиновник, наконец, получит 375 долларов, но только третий донор, который пожертвовал 281,3 доллара, получит его расположение. Обратите внимание, что два других донора знают, что их оценки недостаточно высоки (низкий шанс на выигрыш), поэтому они не жертвуют много, таким образом уравновешивая возможную огромную выигрышную прибыль и низкие шансы на выигрыш.