Аукцион общей стоимости

На аукционах общей стоимости стоимость выставленного на продажу предмета идентична участники торгов, но участники торгов имеют другую информацию о стоимости товара. Это контрастирует с частным аукционом стоимости, где частная оценка предмета каждым участником торгов отличается и не зависит от оценок конкурентов.

Классический пример аукциона чистой общей стоимости - это когда с аукциона продается банка, полная четвертей. Баночка будет стоить столько же никому. Однако у каждого участника торгов свое предположение о том, сколько четвертей в банке. Другие примеры из реальной жизни включают аукционы казначейских векселей, первичное публичное размещение акций, спектральные аукционы, очень дорогие картины, произведения искусства, антиквариат и т. Д.

Одним из важных явлений, происходящих на аукционах общей стоимости, является проклятие победителя. Претенденты имеют только приблизительную оценку стоимости товара. Если в среднем участники торгов делают оценки правильно, наибольшая ставка, как правило, была сделана кем-то, кто переоценил стоимость товара. Это пример неблагоприятного выбора, аналогичный классическому примеру «лимоны » из Акерлофа. Рациональные участники торгов будут предвидеть неблагоприятный выбор, так что даже если их информация все равно окажется чрезмерно оптимистичной, когда они выиграют, они в среднем не будут платить слишком много.

Иногда термин «проклятие победителя» используется по-другому, для обозначения случаев, в которых наивные участники торгов игнорируют неблагоприятный выбор и предлагают цену в значительно большей степени, чем полностью рациональный участник торгов, когда они фактически платят больше, чем стоит товар. Это использование распространено в экспериментальной экономической литературе, в отличие от теоретической и эмпирической литературы об аукционах.

• 1 Взаимозависимые аукционы стоимости
• 2 Примеры
  • 2.1 Бинарные сигналы, аукцион первой цены
  • 2.2 Независимые сигналы, аукцион второй цены
  • 2.3 Зависимые сигналы, аукцион второй цены
  • 2.4 Зависимые сигналы, аукцион первой цены
• 3 Связь с конкуренцией Бертрана
• 4 Ссылки

Аукционы общей стоимости и аукционы частной стоимости - это две крайности. Между этими двумя крайностями находятся аукционы взаимозависимой стоимости (также называемые: аффилированные аукционы стоимости ), где оценки участников торгов (например, $\theta \; i\; =\; \theta \; +\; \nu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{i\}\}$) может иметь компонент общего значения ($\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$) и частное значение ($\nu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{i\}\}$) компонент. Эти два компонента можно соотнести так, чтобы частная оценка одного участника торгов могла влиять на оценку другого участника торгов. Эти типы аукционов включают в себя большинство реальных аукционов и иногда иногда ошибочно называют аукционами общей стоимости.

В следующих примерах аукцион общей стоимости моделируется как байесовская игра. Мы пытаемся найти байесовское равновесие по Нэшу (BNE), которое является функцией от информации, хранящейся у игрока, до ставки этого игрока. Мы ориентируемся на симметричный BNE (SBNE), в котором все участники торгов используют одну и ту же функцию.

Бинарные сигналы, аукцион первой цены

Следующий пример основан на.

В аукционе запечатанных предложений первой цены для объекта, который имеет либо высокое качество (значение V), либо низкое качество (значение 0) для них обоих. Каждый участник торгов получает сигнал, который может быть высоким или низким с вероятностью 1/2. Сигнал связан с истинным значением следующим образом:

• Если хотя бы один участник торгов получает низкий сигнал, тогда истинное значение равно 0.
• Если оба получают высокий сигнал, то истинное значение равно V

В этой игре нет SBNE в чистых стратегиях.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Предположим, что было такое равновесие b. Это функция от сигнала к ставке, т.е. игрок с сигналом x делает ставку на b (x). Очевидно, что b (low) = 0, поскольку игрок с низким сигналом с уверенностью знает, что истинное значение равно 0, и не хочет ничего за это платить. Также b (high) ≤ V, иначе не будет выигрыша от участия. Предположим, что у участника торгов 1 b1 (high) = B1>0. Мы ищем лучший ответ для претендента 2, b2 (high) = B2. Есть несколько случаев:

1. Другой участник торгов предлагает B2 < B1. Then, his expected gain is 1/2 (the probability that bidder 2 has a low signal) times −B2 (since in that case he wins a worthless item and pays b2(high)), plus 1/2 (the probability that bidder 2 has a high signal) times 0 (since in that case he loses the item). The total expected gain is −B2/2 which is worse than 0, so it cannot be a best response.
2. Другой участник торгов предлагает B2 = B1. Тогда его ожидаемый выигрыш будет 1/2 раза -B2 плюс 1/2 раза 1/2 раза [V- B2] (так как в этом случае он выиграет элемент с вероятностью 1/2). Общая ожидаемая прибыль составляет (V - 3 B2) / 4.
3. Участник торгов b2 предлагает B2>B1. Тогда его ожидаемый выигрыш будет 1/2 раза -B2 плюс 1/2 раза [V- B2] (так как в этом случае он выигрывает элемент с вероятностью 1). Общий ожидаемый выигрыш составляет (2 В - 4 В2) / 4.

Последнее выражение является положительным только тогда, когда В2 < V/2. But in that case, the expression in #3 is larger than the expression in #2: it is always better to bid slightly more than the other bidder. This means that there is no symmetric equilibrium.

Этот результат отличается от случая частного значения, где всегда есть SBNE (см. аукцион первой цены с запечатанными предложениями ).

Независимые сигналы, аукцион второй цены

Следующий пример основан на.

В аукционе запечатанных предложений второй цены для объекта. Каждый участник торгов $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$получает сигнал $s\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\}$; сигналы независимы и имеют непрерывное равномерное распределение на [0,1]. Оценки:

$vi\; =\; a\; \cdot \; si\; +\; b\; \cdot \; s\; -\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\; =\; a\; \backslash \; cdot\; s\_\; \{i\}\; +\; b\; \backslash \; cdot\; s\; \_\; \{-\; i\}\}$

где $a,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\}$- константы ($a\; =\; 1,\; b\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 1,\; b\; =\; 0\}$означает частные значения; $a\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; b\}$означает общие значения).

Здесь есть уникальный SBNE, в котором каждый игрок делает ставку:

$b\; (si)\; =\; (a\; +\; b)\; \cdot \; si\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (s\_\; \{i\})\; =\; (a\; +\; b)\; \backslash \; cdot\; s\_\; \{i\}\}$

Этот результат отличается от случая частного значения, когда в SBNE каждый игрок правдиво предлагает свою цену (см. аукцион запечатанных ставок второй цены ).

Зависимые сигналы, аукцион второй цены

Этот пример предлагается в качестве объяснения скачка ставок на английских аукционах.

Два участника торгов, Ксения и Яков, примите участие в аукционе за один предмет. Оценки зависят от AB и C - трех независимых случайных величин, взятых из непрерывного равномерного распределения на интервале [0,36]:

• Ксения видит $X:\; =\; A\; +\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; X:\; =\; A\; +\; B\}$;
• Яков видит $Y:\; =\; B\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; Y:\; =\; B\; +\; C\}$;
• Обычное значение элемента $V:\; =\; (X\; +\; Y)\; /\; 2\; =\; (A\; +\; 2\; B\; +\; C)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V:\; =\; (X\; +\; Y)\; /\; 2\; =\; (A\; +\; 2B\; +\; C)\; /\; 2\}$.

Ниже мы рассмотрим несколько форматов аукционов и найдите SBNE в каждом из них. Для простоты мы ищем SBNE, в котором каждый участник торгов делает ставку в $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, умноженную на его / ее сигнал: Xenia делает ставку $r\; \cdot \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; cdot\; X\}$и Яков делает ставку $r\; \cdot \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; cdot\; Y\}$. Мы пытаемся найти значение $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$в каждом случае.

В аукционе с запечатанной ставкой аукционе второй цены есть SBNE с $r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1\}$, т.е. каждый участник торгов подает именно свой сигнал.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство принимает точку зрения Ксении. Мы предполагаем, что она знает, что Яков делает ставку $r\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; rY\}$, но она не знает $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Находим лучший отклик Ксении на стратегию Якова. Предположим, Ксения делает ставку $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$. Возможны два случая:

• $Z\; \ge \; r\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \backslash \; geq\; rY\}$. Тогда Ксения выигрывает и получает чистую прибыль $V\; -\; r\; Y\; =\; (X\; +\; Y\; -\; 2\; r\; Y)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V-rY\; =\; (X\; +\; Y-2rY)\; /\; 2\}$.
• . Тогда Ксения проигрывает, и ее чистый выигрыш равен 0.

В целом ожидаемый выигрыш Ксении (с учетом ее сигнала X) равен:

$\int \; Y\; =\; 0\; Z\; /\; r\; X\; +\; Y\; -\; 2\; r\; Y\; 2\; \cdot \; f\; (Y\; |\; X)\; d\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{Y\; =\; 0\}\; ^\; \{Z\; /\; r\}\; \{X\; +\; Y-2rY\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; cdot\; f\; (Y\; |\; X)\; dY\}$

где $f\; (Y\; |\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (Y\; |\; X)\}\;$- это условная плотность вероятности Y для данного X.

По Фундаментальной теореме исчисления, производная этого выражения как функция Z равна $1\; r\; X\; +\; Z\; /\; r\; -\; 2\; Z\; 2\; \cdot \; f\; (Z\; /\; r\; |\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; r\}\; \{X\; +\; Z\; /\; r-2Z\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; cdot\; f\; (Z\; /\; r\; |\; X)\}\;$. Это ноль, когда $X\; =\; 2\; Z\; -\; Z\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; 2Z-Z\; /\; r\}$. Итак, лучший ответ Ксении - сделать ставку $Z\; =\; r\; X\; 2\; r\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{rX\; \backslash \; over\; 2r-1\}\}$.

В симметричном BNE Ксения делает ставку $Z\; =\; р\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; =\; rX\}$. Сравнение последних двух выражений означает, что $r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1\}$.

Ожидаемый доход аукциониста:

$=\; E\; [min\; (X,\; Y)]\; =\; E\; [B\; +\; min\; (A,\; C)]\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; E\; [\backslash \; min\; (X,\; Y)]\; =\; E\; [B\; +\; \backslash \; min\; (A,\; C)]\}$

$=\; E\; [B]\; +\; E\; [min\; (A,\; C)]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; =\; E\; [B]\; +\; E\; [\backslash \; min\; (A,\; C)]\}$

$=\; 18\; +\; 12\; =\; 30\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; 18\; +\; 12\; =\; 30\}$

На японском аукционе результат такой же, как и на аукционе второй цены, поскольку информация раскрывается только тогда, когда один из участников торгов выходит, но в этом случае аукцион окончен. Таким образом, каждый участник торгов выходит под его наблюдением.

Зависимые сигналы, аукцион первой цены

В приведенном выше примере в аукционе запечатанных предложений первой цены имеется SBNE с $r\; =\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2/3\}$, т. Е. Каждый участник торгов предлагает 2/3 своего сигнала.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство принимает точку зрения Ксении. Мы предполагаем, что она знает, что Яков делает ставку $r\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; rY\}$, но не знает $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Находим лучший отклик Ксении на стратегию Якова. Предположим, Ксения делает ставку $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$. Возможны два случая:

• $Z\; \ge \; r\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \backslash \; geq\; rY\}$. Тогда Ксения выигрывает и получает чистую прибыль $V\; -\; Z\; =\; (X\; +\; Y\; -\; 2\; Z)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V-Z\; =\; (X\; +\; Y-2Z)\; /\; 2\}$.
• . Тогда Ксения проигрывает, и ее чистый выигрыш равен 0.

В целом ожидаемый выигрыш Ксении (с учетом ее сигнала X и ее ставки Z) составляет:

$G\; (X,\; Z)\; =\; \int \; Y\; =\; 0\; Z\; /\; r\; X\; +\; Y\; -\; 2\; Z\; 2\; \cdot \; е\; (Y\; |\; X)\; d\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (X,\; Z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{Y\; =\; 0\}\; ^\; \{Z\; /\; r\}\; \{X\; +\; Y-2Z\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; cdot\; f\; (Y\; |\; X)\; dY\}$

где $f\; (Y\; |\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (Y\; |\; X)\}\;$- условная плотность вероятности Y для данного X.

Поскольку $Y\; =\; X\; +\; C\; -\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; X\; +\; CA\}$, условная плотность вероятности Y равна:

• $f\; (Y\; |\; X)\; Знак\; равно\; Y\; -\; (Икс\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (Y\; |\; X)\; =\; Y-\; (X-1)\}$, когда $X\; -\; 1\; \le \; Y\; \le \; X\; \{\backslash \; Displaystyle\; X-1\; \backslash \; leq\; Y\; \backslash \; leq\; X\}$
• $f\; (Y\; |\; X)\; =\; (X\; +\; 1)\; -\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (Y\; |\; X)\; =\; (X\; +\; 1)\; -Y\}$при $X\; \le \; Y\; \le \; X\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; leq\; Y\; \backslash \; leq\; X\; +\; 1\}$

Подставляя это в формулу выше, получаем, что прирост Xenia равен:

$G\; (X,\; Z)\; =\; 1\; r\; 3\; (XZ\; 2\; r\; /\; 2\; +\; Z\; 3/3\; -\; Z\; 3\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (X,\; Z)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; r\; ^\; \{3\}\}\; (XZ\; ^\; \{2\}\; r\; /\; 2\; +\; Z\; ^\; \{\; 3\}\; /\; 3-Z\; ^\; \{3\}\; r)\}$

Это имеет максимум, когда $Z\; =\; r\; X\; 3\; r\; -\; 1\; \{\backslash \; disp\; Laystyle\; Z\; =\; \{rX\; \backslash \; over\; 3r-1\}\}$. Но поскольку нам нужен симметричный BNE, мы также хотим иметь $Z\; =\; r\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; rX\}$. Эти два равенства вместе означают, что $r\; =\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2/3\}$.

Ожидаемый доход аукциониста:

$=\; E\; [max\; (f\; X,\; f\; Y)]\; =\; (2\; /\; 3)\; E\; [B\; +\; max\; (A,\; C)]\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; E\; [\backslash \; max\; (fX,\; fY)]\; =\; (2/3)\; E\; [B\; +\; \backslash \; max\; (A,\; C)]\}$

$=\; (2/3)\; (E\; [B]\; +\; E\; [макс\; (A,\; C)])\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; (2/3)\; (E\; [B]\; +\; E\; [\backslash \; max\; (A,\; C)])\}$

$=\; (2/3)\; (18\; +\; 24)\; =\; 28\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; (2/3)\; (18\; +\; 24)\; =\; 28\}$

Обратите внимание, что здесь принцип эквивалентности доходов НЕ удерживать - доход аукциониста ниже на аукционе первой цены, чем на аукционе второй цены (эквивалентность выручки сохраняется только тогда, когда значения независимы).

Аукционы общей стоимости сопоставимы с конкуренцией Бертрана. Здесь фирмы - участники торгов, а покупатели - аукционисты. Фирмы "назначают" цены до, но не превышают истинную стоимость товара. Конкуренция между фирмами должна вытеснять прибыль. Количество фирм будет влиять на успех или неудачу процесса аукциона в приближении цены к истинной стоимости. Если количество фирм невелико, возможен сговор. См. Монополия, Олигополия.