Непараметрический перекос

В статистика и теория вероятности, непараметрический перекос - это статистика , которая иногда используется с случайными величинами, которые принимают действительные значения. Это мера асимметрии распределения случайной величины, то есть тенденции распределения «наклоняться» в ту или иную сторону от среднего. Для его расчета не требуется никакого знания формы основного распределения - отсюда и название непараметрический. У него есть несколько желаемых свойств: он равен нулю для любого симметричного распределения ; на него не влияет сдвиг шкалы ; и он одинаково хорошо выявляет как левый, так и правый перекос. В некоторых статистических выборках было показано, что он менее эффективен, чем обычные меры асимметрии при обнаружении отклонений совокупности от нормальности.

• 1 Свойства
  • 1.1 Определение
  • 1.2 Свойства
• 2 Более точные границы
• 3 Расширения
  • 3.1 Конечные выборки
• 4 Статистические тесты
• 5 Связанная статистика
• 6 значений для индивидуальных распределений
  • 6.1 Симметричные распределения
  • 6.2 Асимметричные распределения
• 7 История
• 8 Взаимосвязь между средним, медианным и модой
  • 8.1 Правило Пирсона
  • 8.2 Унимодальные распределения
  • 8.3 van Zwet условие
• 9 Примечания
  • 9.1 Порядок асимметрии
  • 9.2 Закон Бенфорда
  • 9.3 Связь с коэффициентом Боули
• 10 Ссылки

Определение

непараметрический перекос определяется как

$S\; =\; \mu \; -\; \nu \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$

, где означает (µ), медиана (ν) и стандартное отклонение (σ) совокупности имеют свои обычные значения.

Свойства

Непараметрический перекос составляет одну треть от коэффициента асимметрии Пирсона 2 и находится между -1 и +1 для любого распределения. Этот диапазон подразумевается тем фактом, что среднее значение находится в пределах одного стандартного отклонения от любой медианы.

При аффинном преобразовании переменной (X) значение S не изменяется, кроме на предмет возможного изменения знака. В символах

$S\; (a\; X\; +\; b)\; =\; знак\; \; (a)\; S\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (aX\; +\; b)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{sign\}\; (a)\; \backslash ,\; S\; (X)\}$

где a ≠ 0 и b - константы, а S (X) - непараметрический перекос переменной X.

Границы этой статистики (± 1) были уточнены Маджиндаром, который показал, что его абсолютное значение ограничено

$2\; (pq)\; 1/2\; (p\; +\; q)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\; (pq)\; ^\; \{1/2\}\}\; \{(p\; +\; q)\; ^\; \{1/2\}\}\}\}$

с

$p\; =\; Pr\; (X>E\; \; (X))\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \backslash \; Pr\; (X>\backslash \; operatorname\; \{E\}\; (\; X))\}$

и

, где X - случайная величина с конечной дисперсией, E () - оператор математического ожидания, а Pr () - вероятность возникновения события.

Когда p = q = 0,5, абсолютное значение этой статистики ограничено 1. При p = 0,1 и p = 0,01 статистика Абсолютное значение tic ограничено 0,6 и 0,199 соответственно.

Также известно, что

$|\; \mu \; -\; \nu \; 0\; |\; \le \; E\; \; (|\; X\; -\; \nu \; 0\; |)\; \le \; E\; \; (|\; X\; -\; \mu \; |)\; \le \; \sigma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (|\; X-\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; |)\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (|\; X-\; \backslash \; mu\; |)\; \backslash \; leq\; \backslash \; sigma,\}$

, где ν 0 - любая медиана, а E (.) - оператор ожидания.

Было показано, что

$|\; \mu \; -\; x\; q\; |\; \sigma \; \le \; макс\; ((1\; -\; q)\; q,\; q\; (1\; -\; q))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; mu\; -x\_\; \{q\}\; |\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(1-q)\}\; \{q\}\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{(1-q)\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где x q - квантиль q . Квантили лежат между 0 и 1: медиана (квантиль 0,5) имеет q = 0,5. Это неравенство также использовалось для определения меры асимметрии.

Последнее неравенство было дополнительно уточнено.

$\mu \; -\; \sigma \; 1\; -\; qq\; \le \; xq\; \le \; \mu \; +\; \sigma \; q\; 1\; -\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; му\; -\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1-q\}\; \{q\}\}\}\; \backslash \; leq\; x\_\; \{q\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{1-q\}\}\}\}$

Еще одно расширение для распределения с конечным средним было опубликовано:

$\mu \; -\; 1\; 2\; q\; E\; \; |\; X\; -\; \mu \; |\; \le \; x\; q\; \le \; \mu \; +\; 1\; (2\; -\; 2\; q)\; E\; \; |\; X\; -\; \mu \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2q\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; |\; X-\; \backslash \; mu\; |\; \backslash \; leq\; x\_\; \{q\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2-2q)\; \}\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; |\; X-\; \backslash \; mu\; |\}$

Границы в последней паре неравенств достигаются, когда $Pr\; (X\; =\; a)\; =\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (X\; =\; a)\; =\; q\}$и $Pr\; (X\; =\; b)\; =\; 1\; -\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (X\; =\; b)\; =\; 1-q\}$для фиксированных чисел a < b.

Конечные выборки

Для конечной выборки с размером выборки n ≥ 2 с x r - это статистика порядка r , m - среднее значение выборки и s - стандартное отклонение выборки с поправкой на степени свободы,

$|\; м\; -\; х\; г\; |\; s\; \le \; макс\; [(N\; -\; 1)\; (r\; -\; 1)\; N\; (N\; -\; R\; +\; 1),\; (N\; -\; 1)\; (N\; -\; R)\; NR]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; m-x\_\; \{r\}\; |\; \}\; \{s\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(n-1)\; (r-1)\}\; \{n\; (n-r\; +\; 1)\}\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(n-1)\; (nr)\}\; \{nr\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

Замена r на n / 2 дает результат, подходящий для медианы выборки:

$|\; м\; -\; а\; |\; s\; \le \; n\; 2\; -\; nn\; 2\; =\; n\; -\; 1\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; ma\; |\}\; \{s\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; -n\}\; \{n\; ^\; \{2\}\; \}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{n\}\}\}\}$

где a - медиана выборки.

Хотеллинг и Соломоновы рассматривали распределение тестовой статистики

$D\; =\; n\; (m\; -\; a)\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (ma)\}\; \{s\}\}\}$

где n - размер выборки, m - среднее значение выборки, a - медиана выборки, а s - стандартное отклонение выборки.

Статистические тесты D предполагают, что проверяемая нулевая гипотеза заключается в том, что распределение является симметричным.

Гаствирт оценил асимптотическую дисперсию nD. Если распределение является одномодальным и симметричным относительно 0, асимптотическая дисперсия находится между 1/4 и 1. Допущение консервативной оценки (приравнивание дисперсии к 1) может привести к истинному уровню значимости значительно ниже номинального уровня.

Предполагая, что основное распределение является симметричным, Кабилио и Масаро показали, что распределение S является асимптотически нормальным. Асимптотическая дисперсия зависит от основного распределения: для нормального распределения асимптотическая дисперсия S√n равна 0,5708...

Предполагая, что основное распределение является симметричным, учитывая распределение значений выше и ниже медиана Чжэн и Гаствирт утверждали, что

$2\; n\; (m\; -\; as)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2n\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{ma\}\; \{s\}\}\; \backslash \; right)\}$

где n размер выборки, распределен как t-распределение.

Мира изучила распределение разницы между средним и медианным значением.

$\gamma \; 1\; =\; 2\; (m\; -\; a),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; =\; 2\; (ma),\}$

где m - выборочное среднее, а a - медиана. Если основное распределение является симметричным, то γ 1 само асимптотически нормально. Эта статистика была ранее предложена Бонферрони.

Предполагая симметричное основное распределение, модификация S была изучена Мяо, Гелем и Гаствиртом, которые изменили стандартное отклонение для создания своей статистики. 388>J = 1 n π 2 ∑ | X i - a | {\ displaystyle J = {\ frac {1} {n}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ sum {| X_ {i} -a |}}

где X i - примерные значения, || - абсолютное значение, а сумма берется по всем n выборочным значениям.

Статистика теста была

$T\; =\; m\; -\; a\; J.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m-a\}\; \{J\}\}.\}$

Масштабированная статистика T√n асимптотически нормальна со средним нулем для симметричного распределения. Его асимптотическая дисперсия зависит от основного распределения: предельные значения: для нормального распределения var (T√n) = 0,5708... и для t-распределения с тремя степенями свободы, var (T√n) = 0,9689...

Симметричные распределения

Для симметричных распределений вероятностей значение непараметрического перекоса равно 0.

Асимметричные распределения

Оно положительно для распределений с перекосом вправо и отрицательно для распределений с перекосом влево. Абсолютные значения ≥ 0,2 указывают на заметную асимметрию.

Может быть сложно определить S для некоторых распределений. Обычно это происходит потому, что закрытая форма для медианы неизвестна: примеры таких распределений включают гамма-распределение, распределение обратного хи-квадрат, обратное гамма-распределение. и масштабированное обратное распределение хи-квадрат.

Известны следующие значения S:

• Бета-распределение : 1 < α < β where α and β are the parameters of the distribution, then to a good approximation

$S\; =\; 1\; 3\; (\alpha \; -\; 2\; \beta )\; (\alpha \; +\; \beta \; +\; 1)\; 1/2\; (\alpha \; +\; \beta \; -\; 2/3)\; (\alpha \; \beta )\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha\; -2\; \backslash \; beta)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +1)\; ^\; \{1/2\}\}\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; -2/3)\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; beta)\; ^\; \{1/2\}\}\}\}$

Если 1 < β < α then the positions of α and β are reversed in the formula. S is always < 0.

• Биномиальное распределение : варьируется. Если среднее значение является целым числом, тогда S = 0. Если среднее значение не является целым числом, S может иметь знак или быть нулем. Он ограничен ± min {max {p, 1 - p}, log e 2} / σ, где σ - стандартное отклонение биномиального распределения.
• Распределение заусенцев :
• Бирнбаума – Сондерса распределение :

$S\; =\; 2\; \beta \; 2\; (4\; +\; 5\; \alpha \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; (4\; +\; 5\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\})\}\}\}$

где α - параметр формы, а β - параметр местоположения.

• Распределение Кантора :

$-\; 4\; 3\; \le \; S\; \le \; 4\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; leq\; S\; \backslash \; leq\; \{\; \backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\}$

• Распределение хи-квадрат : Хотя S ≥ 0, его значение зависит от числа степеней свободы (k).

$S\; \approx \; 1\; -\; (1-2\; к)\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{k\}\})\; ^\; \{3\}\}\; \{2\}\}\}$

• Распределение Дагума :
• Экспоненциальное распределение :

$S\; =\; 1\; -\; log\; e\; \; (2)\; \approx \; 0,31\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; 1-\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2)\; \backslash \; приблизительно\; 0,31\}$

• Экспоненциальное распределение с двумя параметры:

$S\; =\; 1\; -\; log\; e\; \; (2)\; \approx \; 0,31\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; 1-\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2)\; \backslash \; приблизительно\; 0,31\}$

• Экспоненциально-логарифмическое распределение

$S\; =\; -\; полилог\; (2,\; 1\; -\; p)\; +\; ln\; \; (1\; +\; p)\; пер\; \; п\; -\; [2\; полилог\; (3,\; 1\; -\; p)\; +\; полилог\; 2\; (2,\; 1\; -\; p)]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{polylog\; (2,1-p)\; +\; \backslash \; ln\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\}\})\; \backslash \; ln\; p\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; [2polylog\; (3,1-p)\; +\; polylog\; ^\; \{2\}\; (2,1-p)]\}\}\}\}$

Здесь S всегда>0.

• Экспоненциально модифицированное распределение Гаусса :

$0\; \le \; S\; \le \; 1\; -\; log\; e\; \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; S\; \backslash \; leq\; 1-\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2)\; \}$

• F-распределение с n и n степенями свободы (n>4):

$S\; =\; n\; -\; 3/2\; n\; -\; 4\; n\; -\; 2\; +\; O\; (n\; -\; 5\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; n\; ^\; \{-\; 3/2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{n-4\}\; \{n-2\}\}\}\; +\; O\; (n\; ^\; \{-\; 5/2\})\}$

• Распределение Фреше : Дисперсия этого распределения определена только для α>2.

$S\; =\; \Gamma \; (1\; -\; 1\; \alpha )\; -\; 1\; \alpha \; log\; e\; \; (2)\; \Gamma \; (1-2\; \alpha )\; -\; (\Gamma \; (1-1\; \alpha ))\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2)\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

• Гамма-распределение : медиана может быть определена только приблизительно примерно для этой раздачи. Если параметр формы α равен ≥ 1, то

$S\; \approx \; \beta \; 3\; \alpha \; +\; 0,2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{3\; \backslash \; alpha\; +0.2\}\}\}$

где β>0 - параметр скорости. Здесь S всегда>0.

• Обобщенное нормальное распределение версия 2

$S\; =\; -\; exp\; \; (-\; k\; 2\; 2)\; -\; 1\; exp\; \; (k\; 2\; 2)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; exp\; (\{\backslash \; frac\; \{-k\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\})\; -\; 1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; exp\; (\{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\})\; -\; 1\}\; \}\}\}$

S всегда < 0.

• Обобщенное распределение Парето : S определяется только тогда, когда параметр формы (k) равен < 1/2. S is < 0 for this distribution.

$S\; =\; (2\; k\; -\; 1\; k\; -\; 2\; k)\; (1-2\; k)\; 0,5\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{k\}\; -1\}\; \{k\}\}\; -\; 2\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right)\; (1-2k)\; ^\; \{0,5\}\}$

• Гамбель распределение :

$6\; [\gamma \; +\; журнал\; е\; \; (журнал\; е\; \; (2))]\; \pi \; \approx \; 0,1643\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; [\backslash \; gamma\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (\backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2))]\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,1643\}$

где γ - постоянная Эйлера.

• Полунормальное распределение :

$S\; \approx \; 2\; -\; 0,6745\; \pi \; \pi \; -\; 2\; \approx \; 0,36279\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 0,6745\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\; -2\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,36279\}$

• Распределение Кумарасвами
• Логико-логистическое распределение (распределение Фиска): пусть β будет параметром формы. Дисперсия и среднее значение этого распределения определяются только при β>2. Чтобы упростить запись, пусть b = β / π.

$S\; =\; b\; -\; sin\; \; (b)\; b\; tan\; \; (b)\; -\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b-\; \backslash \; sin\; (b)\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{b\; \backslash \; tan\; (b)\; -b\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

Стандартное отклонение не существует для значений b>4,932 (приблизительно). Для значений, для которых определено стандартное отклонение, S составляет>0.

• Логнормальное распределение : со средним значением (μ) и дисперсией (σ)

$S\; =\; 1\; (e\; \sigma \; 2\; 2\; +\; 1)\; (е\; \mu \; +\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{(e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; 1)\; (e\; ^\; \{\backslash \; mu\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\})\}\}\}$

• Распределение Лог-Вейбулла :

$S\; \approx \; [log\; e\; \; (log\; e\; \; (2))\; -\; 0,5772]\; 6\; \pi \; \approx \; -\; 0,1643\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\; [\backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (\backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2))\; -\; 0,5772]\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; приблизительно\; -0,1643\}$

• Распределение Lomax : S является определяется только для α>2

$S\; =\; (\alpha \; -\; 1)\; (\alpha \; -\; 2)\; (1\; -\; (\alpha \; -\; 1)\; (2\; 1\; /\; \alpha \; -\; 1))\; \alpha \; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha\; -1)\; (\backslash \; alpha\; -2)\; (1\; -\; (\backslash \; alpha\; -1)\; (2\; ^\; \{1\; /\; \backslash \; alpha\}\; -1))\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{1/2\}\}\}\}$

• Распределение Максвелла – Больцмана :

$S\; \approx \; 2\; -\; 1,5382\; \Gamma \; (3\; 2)\; 2\; (\Gamma \; (5\; 2)\; -\; \Gamma \; (3\; 2))\; \approx \; 0,0854\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\; \}\; -1.5382\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\})\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; (\backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\})\; -\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\; \}\}))\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,0854\}$

• Распределение Накагами

$S\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -1\}$

• Парето распределение : для α>2, где α - параметр формы распределения,

$S\; =\; (\alpha \; -\; 2\; 1\; /\; \alpha \; [\alpha \; -\; 1])\; (\alpha \; -\; 2\; \alpha )\; 1/2,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; (\backslash \; alpha\; -2\; ^\; \{1\; /\; \backslash \; alpha\}\; [\backslash \; alpha\; -1])\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; -2\}\; \{\backslash \; alpha\}\})\; ^\; \{1/2\},\}$

и S всегда>0.

• Распределение Пуассона :

$-\; log\; e\; \; (2)\; \lambda \; 1\; 2\; \le \; S\; \le \; 1\; 3\; \lambda \; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2)\}\; \{\; \backslash \; lambda\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; leq\; S\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; \backslash \; lambda\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\}$

где λ параметр распределения.

• Распределение Рэлея :

$S\; =\; 2\; 4\; -\; \pi \; [(\pi \; 2)\; 0,5\; -\; log\; e\; \; (4)]\; \approx \; 0,1251\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{4-\; \backslash \; pi\}\}\}\; [(\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\})\; ^\; \{0.5\}\; -\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (4)]\; \backslash \; приблизительно\; 0,1251\}$

• Распределение Вейбулла :

$S\; Знак\; равно\; \Gamma \; (1\; +\; 1\; /\; k)\; -\; журнал\; е\; \; (2)\; 1\; /\; k\; (\Gamma \; (1\; +\; 2\; /\; k)\; -\; \Gamma \; (1\; +\; 1\; /\; k))\; 1/2,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1\; +\; 1\; /\; k)\; -\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; (2)\; ^\; \{1\; /\; k\}\}\; \{(\backslash \; Gamma\; (1\; +\; 2\; /\; k)\; -\; \backslash \; Gamma\; (1\; +\; 1\; /\; k))\; ^\; \{1/2\}\}\},\}$

где k - параметр формы распределения. Здесь S всегда>0.

В 1895 г. Пирсон впервые предложил измерять асимметрию путем стандартизации разницы между средним значением и модой, давая

$\mu \; -\; \theta \; \sigma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sigma\}\},\}$

где μ, θ и σ - среднее значение, мода и стандартное отклонение распределения соответственно. Оценки режима генеральной совокупности на основе данных выборки могут быть трудными, но разница между средним значением и модой для многих распределений примерно в три раза превышает разницу между средним и медианным значением, которое предложило Пирсону второй коэффициент асимметрии:

$3\; (\; \mu \; -\; \nu )\; \sigma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu)\}\; \{\backslash \; sigma\}\},\}$

, где ν - медиана распределения. Боули исключил множитель 3 из этой формулы в 1901 году, что привело к непараметрической статистике перекоса.

Взаимосвязь между медианой, средним значением и модой была впервые отмечена Пирсоном, когда он исследовал свои распределения типа III.

Для произвольного распределения мода, медиана и среднее значение могут появляться в любом порядке.

Был проведен анализ некоторых из отношения между средним значением, медианой, модой и стандартным отклонением. и эти отношения накладывают некоторые ограничения на знак и величину непараметрического перекоса.

Простым примером, иллюстрирующим эти отношения, является биномиальное распределение с n = 10 и p = 0,09. На графике это распределение имеет длинный правый хвост. Среднее значение (0,9) находится слева от медианы (1), но перекос (0,906), определенный третьим стандартизированным моментом, положительный. Напротив, непараметрический перекос составляет -0,110.

Правило Пирсона

Правило, согласно которому для некоторых распределений разница между средним и модой в три раза больше, чем между средним и медианой, принадлежит Пирсону, который обнаружил его при исследовании своего Типа 3. раздачи. Его часто применяют к слегка асимметричным распределениям, которые напоминают нормальное распределение, но это не всегда верно.

В 1895 году Пирсон отметил, что для того, что сейчас известно как гамма-распределение, соотношение

$\nu \; -\; \theta \; =\; 2\; (\mu \; -\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; -\; \backslash \; theta\; =\; 2\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu)\}$

где θ, ν и µ - мода, медиана и среднее значение распределения, соответственно, было приблизительно верно для распределений с большим параметром формы.

Дудсон в 1917 году доказал, что медиана лежит между модой и средним значением для умеренно искаженных распределений с конечными четвертыми моментами. Это соотношение сохраняется для всех распределений Пирсона, и все эти распределения имеют положительный непараметрический перекос.

Дудсон также отметил, что для этого семейства распределений с хорошим приближением

$\theta \; =\; 3\; \nu \; -\; 2\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; 3\; \backslash \; nu\; -2\; \backslash \; mu,\}$

где θ, ν и µ - мода, медиана и среднее значение распределения соответственно. Приближение Дудсона было дополнительно исследовано и подтверждено Haldane. Холдейн отметил, что выборки с идентичными и независимыми переменными с третьим кумулянтом имели выборочные средства, которые подчинялись соотношению Пирсона для больших размеров выборки. Холдейн требовал выполнения ряда условий для этого отношения, включая существование расширения Эджворта и уникальность как медианы, так и моды. В этих условиях он обнаружил, что мода и медиана сходятся к 1/2 и 1/6 третьего момента соответственно. Этот результат был подтвержден Холлом в более слабых условиях с использованием характеристических функций..

Отношение Дудсона было изучено Кендаллом и Стюартом в логнормальном распределении, для которого они нашли близкое к нему точное соотношение. 252>

Холл также показал, что для распределения с правильно меняющимися хвостами и показателем α

$\mu \; -\; \theta \; =\; \alpha \; (\mu \; -\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; alpha\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu)\}$

Унимодальные распределения

В 1823 году Гаусс показал, что для унимодального распределения

$\sigma \; \le \; \omega \; \le \; 2\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; leq\; \backslash \; omega\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; sigma\}$

и

$|\; \nu \; -\; \mu \; |\; \le \; 3\; 4\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; nu\; -\; \backslash \; mu\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\}\; \backslash \; omega,\}$

, где ω - среднеквадратичное отклонение от режима.

Для большого класса унимодальных распределений, которые имеют положительный перекос, мода, медиана и среднее падают в указанном порядке. И наоборот, для большого класса унимодальных распределений, которые имеют отрицательный перекос, среднее значение меньше медианы, которое, в свою очередь, меньше, чем мода. В символах этих положительно скошенных одномодальных распределений

$\theta \; \le \; \nu \; \le \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; leq\; \backslash \; nu\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\}$

и для этих отрицательно скошенных одномодальных распределений

$\mu \; \le \; \nu \; \le \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; leq\; \backslash \; nu\; \backslash \; leq\; \backslash \; theta\}$

Этот класс включает важные распределения F, бета и гамма.

Это правило не выполняется для унимодального распределения Вейбулла.

Для унимодального распределения известны следующие точные границы:

$|\; \theta \; -\; \mu \; |\; \sigma \; \le \; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; mu\; |\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\},\}$

$|\; \nu \; -\; \mu \; |\; \sigma \; \le \; 0,6,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; nu\; -\; \backslash \; mu\; |\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,6\}\},\}$

$|\; \theta \; -\; \nu \; |\; \sigma \; \le \; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; nu\; |\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\},\}$

где μ, ν и θ - среднее значение, медиана и режим соответственно.

Средняя граница ограничивает непараметрический перекос унимодального распределения примерно до ± 0,775.

условие Ван Звета

Следующее неравенство,

$\theta \; \le \; \nu \; \le \; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; leq\; \backslash \; nu\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu,\}$

где θ, ν а µ - мода, медиана и среднее значение распределения соответственно, выполняется, если

$F\; (\nu \; -\; x)\; +\; F\; (\nu \; +\; x)\; \ge \; 1\; для\; всех\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; nu\; -x)\; +\; F\; (\backslash \; nu\; +\; x)\; \backslash \; geq\; 1\; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; x,\}$

где F - кумулятивная функция распределения распределения. С тех пор эти условия были обобщены и распространены на дискретные распределения. Любое распределение, для которого это верно, имеет либо нулевой, либо положительный непараметрический перекос.

Упорядочивание асимметрии

В 1964 году ван Цвет предложил ряд аксиом для упорядочивания мер асимметрии. Непараметрический перекос не удовлетворяет этим аксиомам.

Закон Бенфорда

Закон Бенфорда - это эмпирический закон, касающийся распределения цифр в списке чисел. Было высказано предположение, что случайные вариации из распределений с положительным непараметрическим перекосом будут подчиняться этому закону.

Отношение к коэффициенту Боули

Эту статистику можно получить из коэффициента асимметрии Боули

$SK\; 2\; =\; Q\; 3\; +\; Q\; 1\; -\; 2\; Q\; 2\; Q\; 3\; -\; Q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; SK\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Q\_\; \{3\}\; +\; Q\_\; \{1\}\; -2Q\_\; \{2\}\}\; \{Q\_\; \{3\}\; -Q\_\; \{\; 1\}\}\}\}$

где Q i - i-й квартиль распределения.

Хинкли обобщил это

$SK\; =\; F\; -\; 1\; (1\; -\; \alpha )\; +\; F\; -\; 1\; (\alpha )\; -\; 2\; Q\; 2\; Q\; 3\; -\; Q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; SK\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; ^\; \{\; -1\}\; (1-\; \backslash \; альфа)\; +\; F\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; alpha)\; -2Q\_\; \{2\}\}\; \{Q\_\; \{3\}\; -Q\_\; \{1\}\}\}\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$находится в диапазоне от 0 до 0,5. Коэффициент Боули - это особый случай, когда $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$равняется 0,25.

Греневельд и Миден устранили зависимость от, интегрировав по ней.

$S\; K\; 3\; =\; \mu \; -\; Q\; 2\; E\; |\; y\; -\; Q\; 2\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; SK\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -Q\_\; \{2\}\}\; \{E\; |\; y-Q\_\; \{2\}\; |\}\}\}$

Знаменатель является мерой дисперсии. Заменяя знаменатель на стандартное отклонение, мы получаем непараметрический перекос.