Распределение Кантора

редактировать
Распределение вероятности
Кантора
Кумулятивная функция распределения Кумулятивная функция распределения для распределения Кантора
Параметрынет
Поддержка набор Кантора
PMF нет
CDF функция Кантора
Среднее 1/2
Медиана где угодно в [1/3, 2/3]
Режим нет данных
Дисперсия 1/8
Асимметрия 0
Пример. эксцесс −8/5
MGF et / 2 ∏ k = 1 ∞ cosh ⁡ (t 3 k) {\ displaystyle e ^ {t / 2} \ prod _ {k = 1} ^ { \ infty} \ cosh \ left ({\ frac {t} {3 ^ {k}}} \ right)}{\ displaystyle e ^ {t / 2} \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ co sh \ left ({\ frac {t} {3 ^ {k}}} \ right)}
CF eit / 2 ∏ k = 1 ∞ cos ⁡ (t 3 k) {\ displaystyle e ^ { it / 2} \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {t} {3 ^ {k}}} \ right)}{\ displaystyle e ^ {it / 2} \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {t} {3 ^ {k}}} \ right)}

Распределение Кантора - это распределение вероятностей, кумулятивная функция распределения которого является функцией Кантора.

Это распределение не имеет ни функции плотности вероятности, ни функция массы вероятности, поскольку, хотя ее кумулятивная функция распределения является непрерывной функцией, распределение не является абсолютно непрерывным ни по мере Лебега, ни есть ли у него точечные массы. Таким образом, это ни дискретное, ни абсолютно непрерывное распределение вероятностей, ни их смесь. Скорее, это пример сингулярного распределения.

Его кумулятивная функция распределения непрерывна везде, но почти везде горизонтальна, поэтому иногда ее называют лестницей дьявола, хотя этот термин имеет более общий характер. имея в виду.

Содержание

  • 1 Характеристика
  • 2 Моменты
  • 3 Ссылки
  • 4 Дополнительная литература

Характеристика

Поддержка распределения Кантора - это множество Кантора, которое само является пересечением (счетно бесконечного множества) множеств:

C 0 = [0, 1] C 1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] C 2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1] C 3 = [0, 1/27] ∪ [2 / 27, 1/9] ∪ [2/9, 7/27] ∪ [8/27, 1/3] ∪ [2/3, 19/27] ∪ [20/27, 7/9] ∪ [8 / 9, 25/27] ∪ [26/27, 1] C 4 = [0, 1/81] ∪ [2/81, 1/27] ∪ [2/27, 7/81] ∪ [8/81, 1/9] ∪ [2/9, 19/81] ∪ [20/81, 7/27] ∪ [8/27, 25/81] ∪ [26/81, 1/3] ∪ [2/3, 55/81] ∪ [56/81, 19/27] ∪ [20/27, 61/81] ∪ [62/81, 21/27] ∪ [8/9, 73/81] ∪ [74/81, 25/27] ∪ [26/27, 79/81] ∪ [80/81, 1] C 5 = ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} C_ {0} = {} [0,1] \ \ [8pt] C_ {1} = {} [0,1 / 3] \ чашка [ 2 / 3,1] \\ [8pt] C_ {2} = {} [0,1 / 9] \ cup [2 / 9,1 / 3] \ cup [2 / 3,7 / 9] \ cup [8 / 9,1] \\ [8pt] C_ {3} = {} [0,1 / 27] \ cup [2 / 27,1 / 9] \ cup [2 / 9,7 / 27] \ чашка [8 / 27,1 / 3] \ чашка \\ [4pt] {} [2 / 3,19 / 27] \ чашка [20 / 27,7 / 9] \ чашка [8 / 9,25 / 27 ] \ cup [26 / 27,1] \\ [8pt] C_ {4} = {} [0,1 / 81] \ cup [2 / 81,1 / 27] \ cup [2 / 27,7 / 81] \ чашка [8 / 81,1 / 9] \ чашка [2 / 9,19 / 81] \ чашка [20 / 81,7 / 27] \ чашка \\ [4pt] [8 / 27,25 / 81] \ чашка [26 / 81,1 / 3] \ чашка [2 / 3,55 / 81] \ чашка [56 / 81,19 / 27] \ чашка [20 / 27,61 / 81] \ чашка \\ [4pt] [62 / 81,21 / 27] \ чашка [8 / 9,73 / 81] \ чашка [74 / 81,25 / 27] \ чашка [26 / 27,79 / 81] \ чашка [80 / 81,1] \\ [8pt] C_ {5} = {} \ cdots \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} C_ {0} = {} [0,1] \\ [8pt] C_ {1} = {} [0,1 / 3] \ cup [2 / 3,1] \\ [8pt] C_ {2} = {} [0,1 / 9] \ cup [2 / 9,1 / 3] \ cup [2 / 3,7 / 9] \ cup [8 / 9,1] \\ [8pt] C_ {3} = {} [0,1 / 27] \ cup [2 / 27,1 / 9] \ cup [2/9, 7/27] \ чашка [8 / 27,1 / 3] \ чашка \\ [4pt] {} [2 / 3,19 / 27] \ чашка [20 / 27,7 / 9] \ чашка [8 / 9,25 / 27] \ чашка [26 / 27,1] \\ [8pt] C_ {4} = {} [0,1 / 81] \ чашка [2 / 81,1 / 27] \ чашка [2 / 27,7 / 81] \ чашка [8 / 81,1 / 9] \ чашка [2 / 9,19 / 81] \ чашка [20 / 81,7 / 27] \ чашка \\ [4pt] [8 / 27,25 / 81] \ чашка [26 / 81,1 / 3] \ чашка [2 / 3,55 / 81] \ чашка [56 / 81,19 / 27] \ чашка [20 / 27,61 / 81 ] \ чашка \\ [4pt] [62 / 81,21 / 27] \ чашка [8 / 9,73 / 81] \ чашка [74 / 81,25 / 27] \ чашка [26 / 27,79 / 81 ] \ cup [80 / 81,1] \\ [8pt] C_ {5} = {} \ cdots \ end {align}}}

Распределение Кантора - это уникальное распределение вероятностей, для которого для любого C t (t ∈ {0, 1, 2, 3,...}), вероятность того, что конкретный интервал в C t, содержащий случайную величину, распределенную по Кантору, равен 2 на каждом из двух интервалов.

Моменты

По симметрии легко увидеть, что для случайной величины X, имеющей такое распределение, ее ожидаемое значение E (X) = 1/2, и что все нечетные центральные моменты X равны 0.

Закон полной дисперсии может использоваться для нахождения дисперсии var (X), следующим образом. Для указанного выше множества C 1 пусть Y = 0, если X ∈ [0,1 / 3], и 1, если X ∈ [2 / 3,1]. Тогда:

var ⁡ (X) = E ⁡ (var ⁡ (X ∣ Y)) + var ⁡ (E ⁡ (X ∣ Y)) = 1 9 var ⁡ (X) + var ⁡ {1/6 с вероятность 1/2 5/6 с вероятностью 1/2} = 1 9 var ⁡ (X) + 1 9 {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {var} (X) = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (X \ mid Y)) + \ operatorname {var} (\ operatorname {E} (X \ mid Y)) \\ = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} ( X) + \ operatorname {var} \ left \ {{\ begin {matrix} 1/6 {\ t_dv {с вероятностью}} \ 1/2 \\ 5/6 {\ t_dv {с вероятностью}} \ 1/2 \ end {matrix}} \ right \} \\ = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} (X) + {\ frac {1} {9}} \ end {align}}}\ begin {align} \ operatorname {var} (X) = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (X \ mid Y)) + \ operatorname {var} (\ operatorname {E } (X \ mid Y)) \\ = \ frac {1} {9} \ operatorname {var} (X) + \ operatorname {var} \ left \ {\ begin {matrix} 1/6 \ t_dv { с вероятностью} \ 1/2 \\ 5/6 \ t_dv {с вероятностью} \ 1/2 \ end {matrix} \ right \} \\ = \ frac {1} {9} \ operatorname {var} ( X) + \ frac {1} {9} \ end {align}

Отсюда получаем:

var ⁡ (X) = 1 8. {\ displaystyle \ operatorname {var} (X) = {\ frac {1} {8}}.}\ operatorname {var} (X) = \ frac {1} {8}.

Выражение в замкнутой форме для любого четного центрального момента можно найти, предварительно получив даже кумулянты

κ 2 n = 2 2 n - 1 (2 2 n - 1) B 2 nn (3 2 n - 1), {\ displaystyle \ kappa _ {2n} = {\ frac {2 ^ {2n-1} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} {n \, (3 ^ {2n} -1)}}, \, \!}\ kappa_ {2n} = \ frac {2 ^ {2n-1} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} {n \, (3 ^ {2n} -1)}, \, \!

где B 2n - это 2-е число Бернулли, а затем , выражающее моменты как функции кумулянтов.

Ссылки

Дополнительная литература

  • Hewitt, E.; Стромберг, К. (1965). Реальный и абстрактный анализ. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag. В нем, как и в других стандартных текстах, есть функция Кантора и ее односторонние производные.
  • Ху, Тянь-Ю; Лау, Ка Синг (2002). "Фурье-асимптотика мер канторовского типа на бесконечности". Proc. A.M.S. 130 (9). pp. 2711–2717. Это более современный текст, чем другие тексты в этом списке ссылок.
  • Knill, O. (2006). Теория вероятностей и случайные процессы. Индия: Overseas Press.
  • Маттилла, П. (1995). Геометрия множеств в евклидовых пространствах. Сан-Франциско: Издательство Кембриджского университета. Здесь есть более сложные материалы по фракталам.
Последняя правка сделана 2021-05-14 06:03:15
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте