Общая серия Дирихле

редактировать

В области математического анализа общая серия Дирихле представляет собой бесконечный ряд, который принимает форму

∑ n = 1 ∞ ane - λ ns, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ лямбда _ {n} s},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s}, }

где $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ , $s {\ displaystyle s}$ $s$ - комплексные числа и ${λ n} {\ displaystyle \ {\ lambda _ {n} \}}$ $\ {\ lambda _ {n} \}$ - это строго возрастающая последовательность неотрицательных действительных чисел, которая стремится до бесконечности.

Простое наблюдение показывает, что «обычная» серия Дирихле

∑ n = 1 ∞ anns, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac { a_ {n}} {n ^ {s}}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}

получается заменой $λ n = ln ⁡ n {\ displaystyle \ lambda _ {n} = \ ln n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} = \ ln n}$ а степенной ряд

∑ n = 1 ∞ an (e - s) n, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (e ^ {- s }) ^ {n},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (e ^ {- s}) ^ {n},}

получается, когда $λ n = n {\ displaystyle \ lambda _ {n} = n}$ $\ lambda _ {n} = n$ .

Содержание

1 Основные теоремы
2 Абсцисса сходимости
3 Абсцисса абсолютной сходимости
4 Другие абсциссы сходимости
5 Аналитические функции
6 Дальнейшие обобщения
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Основные теоремы

Если ряд Дирихле сходится в $s 0 = σ 0 + t 0 i {\ displaystyle s_ {0} = \ sigma _ {0} + t_ {0} i}$ $s_ {0} = \ sigma _ {0} + t_ {0} я$ , то это равномерно сходящийся в домене

| arg ⁡ (s - s 0) | ≤ θ < π 2, {\displaystyle |\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},}

{\ displaystyle | \ arg (s-s_ { 0}) | \ leq \ theta <{\ frac {\ pi} {2}},}

и сходящийся для любого $s = σ + ti {\ displaystyle s = \ sigma + ti}$ $s = \ sigma + ti$ , где $σ>σ 0 {\ displaystyle \ sigma>\ sigma _ {0}}$ $\sigma>\ sigma _ {0}$ .

Теперь есть три возможности относительно сходимости ряда Дирихле, т. е. он может сходиться для всех, ни для одного или для некоторых значений s. в последнем случае существует $σ c {\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma_c$ такой, что ряд сходится для $σ>σ c {\ displaystyle \ sigma>\ sigma _ {c}}$ $\sigma>\ sigma _ {c}$ и расходящийся для $σ < σ c {\displaystyle \sigma <\sigma _{c}}$ $\ сигма <\ sigma _ {c}$ . По соглашению $σ c = ∞ {\ displaystyle \ sigma _ {c} = \ infty}$ $\ sigma _ {c} = \ infty$ , если ряд нигде не сходится, и $σ c = - ∞ {\ displaystyle \ sigma _ { c} = - \ infty}$ $\ sigma _ {c} = - \ infty$ , если ряд сходится всюду на комплексной плоскости.

Абсцисса сходимости

Абсцисса сходимости диаграммы Дирихле серию можно определить как $σ c {\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma_c$ выше. Другое эквивалентное определение:

σ c = inf {σ ∈ R: ∑ n = 1 ∞ a n e - λ n s сходится для любого s, для которого Re ⁡ (s)>σ}. {\ displaystyle \ sigma _ {c} = \ inf \ left \ {\ sigma \ in \ mathbb {R}: \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s} {\ text {сходится для каждого}} s {\ text {, для которого}} \ operatorname {Re} (s)>\ sigma \ right \}.}

\sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ converges for every }}s{\text{ for which }}\operatorname {Re} (s)>\ sigma \ right \}.

Строка $σ = σ c {\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {c}}$ $\ sigma = \ sigma _ {c}$ называется линией схождения . полуплоскость сходимости определяется как

C σ c = {s ∈ C: Re ⁡ (s)>σ c}. {\ displaystyle \ mathbb {C} _ {\ sigma _ {c}} = \ {s \ in \ mathbb {C}: \ operatorname {Re} (s)>\ sigma _ {c} \}.}

\mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)>\ sigma _ {c} \}.

Строка abscissa, и полуплоскость сходимости ряда Дирихле аналогичны radius, bound арный и диск сходимости степенного ряда.

На линии сходимости вопрос сходимости остается открытым, как и в случае степенного ряда. Однако, если ряд Дирихле сходится и расходится в разных точках на одной и той же вертикальной прямой, то эта линия должна быть линией сходимости. Доказательство неявно содержится в определении абсцисс сходимости. Примером может служить ряд

∑ n = 1 ∞ 1 ne - ns, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} e ^ {- ns },}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} e ^ {- ns},}

который сходится в $s = - π i {\ displaystyle s = - \ pi i}$ $s = - \ pi i$ (чередующегося гармонического ряда ) и расходится в $s = 0 {\ displaystyle s = 0}$ $s = 0$ (гармонический ряд ). Таким образом, $σ = 0 {\ displaystyle \ sigma = 0}$ $\ sigma = 0$ - линия схождения.

Предположим, что ряд Дирихле не сходится в $s = 0 {\ displaystyle s = 0}$ $s = 0$ , тогда ясно, что $σ c ≥ 0 {\ displaystyle \ sigma _ {c} \ geq 0}$ $\ sigma _ {c} \ geq 0$ и $∑ {\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ $\ sum a_ {n}$ расходится. С другой стороны, если ряд Дирихле сходится в $s = 0 {\ displaystyle s = 0}$ $s = 0$ , то $σ c ≤ 0 {\ displaystyle \ sigma _ {c} \ leq 0}$ $\ sigma _ {c} \ leq 0$ и $∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ $\ sum a_ {n}$ сходится. Таким образом, есть две формулы для вычисления $σ c {\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma_c$ , в зависимости от сходимости $∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ $\ sum a_ {n}$ , который может быть определен различными тестами на сходимость. Эти формулы аналогичны теореме Коши – Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

Если $∑ ak {\ displaystyle \ sum a_ {k}}$ $\ sum a_ {k}$ расходится, то есть $σ c ≥ 0 {\ displaystyle \ sigma _ {c} \ geq 0}$ $\ sigma _ {c} \ geq 0$ , тогда $σ c {\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma_c$ определяется как

σ c = lim sup n → ∞ log ⁡ | а 1 + а 2 + ⋯ + а п | λ п. {\ displaystyle \ sigma _ {c} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log | a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n} |} {\ lambda _ {n}}}.}

\ sigma _ {c} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ log | a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n} |} {\ lambda _ {n}}}.

Если $∑ ak {\ displaystyle \ sum a_ {k}}$ $\ sum a_ {k}$ сходится, то есть $σ c ≤ 0 {\ displaystyle \ sigma _ { c} \ leq 0}$ $\ sigma _ {c} \ leq 0$ , тогда $σ c {\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma_c$ определяется как

σ c = lim sup n → ∞ log ⁡ | а п + 1 + а п + 2 + ⋯ | λ п. {\ displaystyle \ sigma _ {c} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + \ cdots |} {\ lambda _ { n}}}.}

\ sigma _ {c} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ log | a _ {{n + 1} } + a _ {{n + 2}} + \ cdots |} {\ lambda _ {n}}}.

Абсцисса абсолютной сходимости

Ряд Дирихле абсолютно сходится, если ряд

∑ n = 1 ∞ | а н е - λ н с |, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s} |,}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s} |,}

сходится. Как обычно, абсолютно сходящийся ряд Дирихле сходится, но обратное не всегда верно.

Если ряд Дирихле абсолютно сходится в $s 0 {\ displaystyle s_ {0}}$ $s_ {0}$ , то он абсолютно сходится для всех s, где $Re ⁡ (s)>Re ⁡ (s 0) {\ displaystyle \ operatorname {Re} (s)>\ operatorname {Re} (s_ {0})}$ $\operatorname {Re} (s)>\ operatorname {Re} (s_ {0})$ . Серия Дирихле может сходиться абсолютно для всех, нет или для некоторых значений s. В последнем случае существует $σ a {\ displaystyle \ sigma _ {a}}$ $\ sigma _ {a}$ такое, что ряд сходится абсолютно для $σ>σ a {\ displaystyle \ sigma>\ sigma _ {a}}$ $\sigma>\ sigma _ {a}$ и неабсолютно сходится для $σ < σ a {\displaystyle \sigma <\sigma _{a}}$ $\ sigma <\ sigma _ {a}$ .

Абсцисса абсолютной сходимости может быть определена как $σ a {\ displaystyle \ sigma _ {a}}$ $\ sigma _ {a}$ выше, или, что то же самое,

σ a = inf {σ ∈ R: ∑ n = 1 ∞ a n e - λ n s сходится абсолютно для любого s, для которого Re ⁡ (s)>σ}. {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sigma _ {a} = \ inf {\ Big \ {} \ sigma \ in \ mathbb {R}: \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n } e ^ {- \ lambda _ {n} s} {\ text {сходится абсолютно для}} \\ {\ text {every}} s {\ text {для которого}} \ operatorname {Re} (s)>\ sigma {\ Big \}}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ converges absolutely for}}\\{\text{every }}s{\text{ for which}}\operatorname {Re} (s)>\ sigma {\ Big \}}. \ end {align}}

Линия линии и полуплоскости абсолютного сходимость может быть определена аналогично. Также есть две формулы для вычисления $σ a {\ displaystyle \ sigma _ {a}}$ $\ sigma _ {a}$ .

If $∑ | ak | {\ displaystyle \ sum | a_ { k} |}$ $\ sum | a_ {k} |$ расходится, тогда $σ a {\ displaystyle \ sigma _ {a}}$ $\ sigma _ {a}$ определяется как

σ a = lim sup n → ∞ log ⁡ (| a 1 | + | a 2 | + ⋯ + | ан |) λ n. {\ Displaystyle \ sigma _ {a} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log (| a_ {1} | + | a_ {2} | + \ cdots + | a_ {n} |)} {\ lambda _ {n}}}.}

\ sigma _ {a} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ log (| a_ {1} | + | a_ {2} | + \ cdots + | a_ {n} |)} {\ lambda _ {n}}}.

Если $∑ | ak | {\ displaystyle \ sum | a_ {k} |}$ $\ sum | a_ {k} |$ совпадает nvergent, тогда $σ a {\ displaystyle \ sigma _ {a}}$ $\ sigma _ {a}$ определяется как

σ a = lim sup n → ∞ log ⁡ (| а п + 1 | + | а п + 2 | + ⋯) λ n. {\ displaystyle \ sigma _ {a} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log (| a_ {n + 1} | + | a_ {n + 2} | + \ cdots)} { \ lambda _ {n}}}.}

\ sigma _ {a} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ log (| a _ {{n + 1}} | + | a _ {{n + 2}} | + \ cdots)} {\ lambda _ {n}}}.

В общем случае абсцисса сходимости не совпадает с абсциссой абсолютной сходимости. Таким образом, между линией сходимости и абсолютной сходимостью может быть полоса, где ряд Дирихле условно сходится. Ширина этой полосы определяется как

0 ≤ σ a - σ c ≤ L: = lim sup n → ∞ log ⁡ n λ n. {\ displaystyle 0 \ leq \ sigma _ {a} - \ sigma _ {c} \ leq L: = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log n} {\ lambda _ {n}} }.}

0 \ leq \ sigma _ {a} - \ sigma _ {c} \ leq L: = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ log n} {\ lambda _ {n}}}.

В случае, когда L = 0, то

σ c = σ a = lim sup n → ∞ log ⁡ | а п | λ п. {\ displaystyle \ sigma _ {c} = \ sigma _ {a} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log | a_ {n} |} {\ lambda _ {n}}}. }

\ sigma _ {c} = \ sigma _ {a} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ log | a_ {n} |} {\ лямбда _ {n}}}.

Все приведенные до сих пор формулы остаются верными для «обычного» ряда Дирихле путем замены $λ n = log ⁡ n {\ displaystyle \ lambda _ {n} = \ log n}$ $\ lambda _ {n} = \ log n$ .

Другие абсциссы сходимости

Можно рассмотреть другие абсциссы сходимости для ряда Дирихле. Абсцисса ограниченной сходимости $σ b {\ displaystyle \ sigma _ {b}}$ $\ sigma_b$ определяется выражением

$σ b = inf {σ ∈ R: ∑ n = 1 ∞ ane - λ ns ограничено в полуплоскости Re ⁡ (s) ≥ σ}, {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {b} = \ inf {\ Big \ {} \ sigma \ in \ mathbb {R}: \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s} {\ text {ограничен в полуплоскости}} \ OperatorName {Re} (s) \ geq \ sigma {\ Big \}}, \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено } \ sigma _ {b} = \ inf {\ Big \ {} \ sigma \ in \ mathbb {R}: \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s} {\ text {ограничен в полуплоскости}} \ operatorname {Re} (s) \ geq \ sigma {\ Big \}}, \ end {align}}}$

, а абсцисса равномерной сходимости $σ u {\ displaystyle \ sigma _ {u}}$ $\ sigma_u$ определяется выражением

$σ u = inf {σ ∈ R: ∑ n = 1 ∞ ane - λ ns равномерно сходится в полуплоскости Re ⁡ (s) ≥ σ}. {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sigma _ {u} = \ inf {\ Big \ {} \ sigma \ in \ mathbb {R}: \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n } e ^ {- \ lambda _ {n} s} {\ text {равномерно сходится в полуплоскости}} \ operatorname {Re} (s) \ geq \ sigma {\ Big \}}. \ end {выровнено }}}$ ${\ displaystyle { \ begin {align} \ sigma _ {u} = \ inf {\ Big \ {} \ sigma \ in \ mathbb {R}: \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ { - \ lambda _ {n} s} {\ text {сходится равномерно в полуплоскости}} \ operatorname { Re} (s) \ geq \ sigma {\ Big \}}. \ End {align}}}$

Эти абсциссы относятся к абсциссе сходимости $σ c {\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma_c$ и абсолютной сходимости $σ a {\ displaystyle \ sigma _ {a}}$ $\ sigma _ {a}$ по формулам

$σ c ≤ σ b ≤ σ u ≤ σ a {\ displaystyle \ sigma _ {c} \ leq \ sigma _ {b} \ leq \ sigma _ {u} \ leq \ sigma _ {a}}$ ${\ di splaystyle \ sigma _ {c} \ leq \ sigma _ {b} \ leq \ sigma _ {u} \ leq \ sigma _ {a}}$ ,

и замечательная теорема Бора фактически показывают, что для любого обычного ряда Дирихле, где $λ n = ln ⁡ (n) {\ displaystyle \ lambda _ {n } = \ ln (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} = \ ln (n)}$ (т.е. ряд Дирихле вида $∑ n = 1 ∞ ann - s {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ { n} n ^ {- s}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s}}$ ), $σ u = σ b {\ displaystyle \ sigma _ {u} = \ sigma _ {b}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {u} = \ sigma _ {b}}$ и $σ a ≤ σ u + 1/2; {\ displaystyle \ sigma _ {a} \ leq \ sigma _ {u} +1/2;}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {a} \ leq \ sigma _ {u} +1/2;}$ Боненбласт и Хилле впоследствии показали, что для каждого числа $d ∈ [0, 0,5] {\ displaystyle d \ in [0,0.5]}$ ${\ displaystyle d \ in [0,0.5]}$ существует ряд Дирихле $∑ n = 1 ∞ ann - s {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n } n ^ {- s}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s}}$ , для которого $σ a - σ u = d. {\ displaystyle \ sigma _ {a} - \ sigma _ {u} = d.}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {a} - \ sigma _ {u} = d.}$

Формула абсцисс равномерной сходимости $σ u {\ displaystyle \ sigma _ {u}}$ $\ sigma_u$ для общего ряда Дирихле $∑ n = 1 ∞ ane - λ ns {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s }}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} s}}$ задается следующим образом: для любого $N ≥ 1 {\ displaystyle N \ geq 1}$ $N \ geq 1$ пусть $UN = sup t ∈ R {| ∑ n = 1 N а n e i t λ n | } {\ displaystyle U_ {N} = \ sup _ {t \ in \ mathbb {R}} \ {| \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {it \ lambda _ {n }} | \}}$ ${\ displaystyle U_ {N} = \ sup _ {t \ in \ mathbb {R}} \ {| \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {it \ lambda _ {n}} | \}}$ , тогда $σ u = lim N → ∞ log ⁡ UN λ N. {\ displaystyle \ sigma _ {u} = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ log U_ {N}} {\ lambda _ {N}}}.}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {u} = \ lim _ { N \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ log U_ {N}} {\ lambda _ {N}}}.}$

Аналитические функции

A функция, представленная рядом Дирихле

f (s) = ∑ n = 1 ∞ ane - λ ns, {\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ { n} e ^ {- \ lambda _ {n} s},}

f (s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} a_ {n} e ^ {{- \ лямбда _ {п} s}},

является аналитическим в полуплоскости сходимости. Кроме того, для $k = 1, 2, 3,… {\ displaystyle k = 1,2,3, \ ldots}$ $k = 1,2,3, \ ldots$

f (k) (s) = (- 1) k ∑ n = 1 ∞ an λ nke - λ ns. {\ displaystyle f ^ {(k)} (s) = (- 1) ^ {k} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ lambda _ {n} ^ {k} e ^ {- \ lambda _ {n} s}.}

f ^ {{(k)}} (s) = (- 1) ^ {k} \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} a_ {n} \ lambda _ {n} ^ {k } e ^ {{- \ lambda _ {n} s}}.

Дальнейшие обобщения

Ряд Дирихле может быть далее обобщен на многомерный случай, когда $λ n ∈ R k {\ displaystyle \ lambda _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ lambda _ {n} \ in {\ mathbb {R}} ^ {k}$ , k = 2, 3, 4,... или комплексная переменная случай, когда $λ n ∈ C m {\ displaystyle \ lambda _ {n} \ in \ mathbb {C} ^ {m}}$ $\ lambda _ {n} \ in {\ mathbb {C}} ^ {m}$ , m = 1, 2, 3,...

Ссылки

G. Х. Харди и М. Рисс, Общая теория рядов Дирихле, Cambridge University Press, первое издание, 1915.
Э. К. Титчмарш, Теория функций, Oxford University Press, второе издание, 1939.
Том Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Springer, второе издание, 1990.
АФ Леонтьев, Целые функции и ряды экспонент, Наука, первое издание, 1982.
А.И. Маркушевич, Теория функций комплексных переменных, Издательство Chelsea Publishing Company, второе издание, 1977 г.
Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Springer-Verlag, пятое издание, 1973.
Джон Э. Маккарти, Серия Дирихле, 2018.
Х. Ф. Боненбласт и Эйнар Хилле, Об абсолютной сходимости рядов Дирихле, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 32, No. 3 (Jul., 1931), pp. 600-622.

Внешние ссылки

«Серия Дирихле». PlanetMath.
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]