Классическое пространство Винера

В математика, классическое винеровское пространство - это совокупность всех непрерывных функций в заданной области (обычно суб интервале действительной строки ), принимая значения в метрическом пространстве (обычно n-мерном евклидовом пространстве ). Классическое винеровское пространство полезно при изучении случайных процессов, чьи выборочные пути являются непрерывными функциями. Он назван в честь американского математика Норберта Винера.

• 1 Определение
• 2 Свойства классического винеровского пространства
  • 2.1 Единая топология
  • 2.2 Разделимость и полнота
  • 2.3 Плотность в классическом винеровском пространстве
  • 2.4 Классическая мера Винера
• 3 См. Также

Рассмотрим E ⊆ R и метрику пространство (M, d). Классическое винеровское пространство C (E; M) - это пространство всех непрерывных функций f: E → M. Т.е. для каждого фиксированного t в E

$d\; (f\; (s),\; f\; (t))\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (f\; (s),\; f\; (t))\; \backslash \; to\; 0\}$как $|\; с\; -\; т\; |\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; st\; |\; \backslash \; to\; 0.\}$

Почти во всех приложениях берется E = [0, T] или [0, + ∞) и M = R для некоторых n в N . Для краткости напишите C вместо C ([0, T]; R ); это векторное пространство. Запишите C 0 для линейного подпространства, состоящего только из тех функций, которые принимают нулевое значение в нижней части множества E. Многие авторы называют C 0 «классическое винеровское пространство».

Равномерная топология

Векторное пространство C можно снабдить равномерной нормой

$\Vert \; f\; \Vert :\; =\; sup\; t\; \in \; [0,\; T]\; |\; f\; (t)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |:\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{t\; \backslash \; in\; [0,\; T]\}\; |\; f\; (t)\; |\}$

превращая его в нормированное векторное пространство (фактически Банахово пространство ). Эта норма индуцирует метрику на C обычным образом: $d\; (f,\; g):\; =\; \Vert \; f\; -\; g\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (f,\; g):\; =\; \backslash \; |\; fg\; \backslash \; |\; \}$. Топология , сгенерированная открытыми множествами в этой метрике, является топологией равномерной сходимости на [0, T] или равномерной топологией.

Если рассматривать область [0, T] как «время», а диапазон R как «пространство», интуитивно понятный взгляд на однородную топологию состоит в том, что две функции «близки», если мы можем «покачивать пространство» немного "и заставьте график f лежать поверх графика g, оставив время фиксированным. Сравните это с топологией Скорохода, которая позволяет нам "раскачивать" пространство и время.

Разделимость и полнота

В отношении единообразной метрики C является как разделимым, так и полным пространством :

• разделимость является следствием Теорема Стоуна-Вейерштрасса ;
• полнота является следствием того факта, что равномерный предел последовательности непрерывных функций сам по себе является непрерывным.

Поскольку он и отделим, и полон, C является польским пространством.

Плотность в классическом винеровском пространстве

Напомним, что модуль непрерывности для функции f: [0, T] → R определяется как

$\omega \; f\; (\delta ):\; =\; sup\; \{|\; f\; (s)\; -\; f\; (t)\; |\; |\; s,\; t\; \in \; [0,\; T],\; |\; с\; -\; т\; |\; \le \; \delta \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; (\backslash \; delta):\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{|\; f\; (s)\; -f\; (t)\; |\; \backslash \; left\; |\; s,\; t\; \backslash \; in\; [0,\; T],\; |\; st\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; delta\; \backslash \; right.\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Это определение имеет смысл, даже если f не является непрерывным, и можно показать, что f непрерывен тогда и только тогда, когда его модуль непрерывности стремится к нулю как δ → 0:

$f\; \in \; C\; ⟺\; \omega \; f\; (\delta )\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; C\; \backslash \; iff\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; (\backslash \; delta)\; \backslash \; to\; 0\}$при δ → 0.

Применяя теорему Арзела-Асколи, можно показать, что последовательность $(\mu \; n)\; n\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mu\; \_\; \{n\; \})\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$из вероятностных мер на классическом винеровском пространстве C является точным тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия выполнены:

$lim\; a\; \to \; \infty \; lim\; sup\; n\; \to \; \infty \; \mu \; n\; \{f\; \in \; C\; |\; |\; f\; (0)\; |\; \ge \; a\}\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{a\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; limsup\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; C\; ||\; f\; (0)\; |\; \backslash \; geq\; a\; \backslash \}\; =\; 0,\}$и

$lim\; \delta \; \to \; 0\; lim\; sup\; n\; \to \; \infty \; \mu \; n\; \{f\; \in \; C\; |\; \omega \; е\; (\delta )\; \ge \; \epsilon \}\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; limsup\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; C\; |\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; f\}\; (\backslash \; delta)\; \backslash \; geq\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \}\; =\; 0\}$для всех ε>0.

Классическая мера Винера

На C <87 существует "стандартная" мера>0, известная как классическая мера Винера (или просто мера Винера ). Мера Винера имеет (по крайней мере) две эквивалентные характеристики:

Если определить броуновское движение как Марков случайный процесс B: [0, T] × Ω → R, начиная с начала координат, с почти наверняка непрерывными путями и независимыми приращениями

$B\; t\; -\; B\; s\; \sim \; N\; ormal\; (0,\; |\; t\; -\; s\; |),\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{t\}\; -B\_\; \{s\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Normal\}\; \backslash \; left\; (0,\; |\; ts\; |\; \backslash \; right),\}$

тогда классическая мера Винера γ - это закон процесса B.

В качестве альтернативы можно использовать конструкцию абстрактного винеровского пространства, в которой классическая винеровская мера γ является радонизацией каноническая мера гауссовского цилиндра в гильбертовом пространстве Кэмерона-Мартина, соответствующая C 0.

Классическая мера Винера, является гауссовской мерой : в частности, она строго положительная вероятностная мера.

Учитывая классическую винеровскую меру γ на C 0, мера произведения γ × γ является вероятностной мерой на C, где γ обозначает стандартную гауссову меру на R.

• пространство Скорохода, обобщение классического винеровского пространства, которое позволяет функциям быть разрывными
• Абстрактное винеровское пространство
• Винеровский процесс