Марковская недвижимость

редактировать

Единственная реализация трехмерного броуновского движения для времен 0 ≤ t ≤ 2. Броуновское движение обладает марковским свойством, поскольку перемещение частицы не зависит от ее прошлых перемещений.

В теории вероятностей и статистике термин марковское свойство относится к свойству случайного процесса без памяти. Он назван в честь русского математика Андрея Маркова. Термин сильное марковское свойство аналогичен марковскому свойству, за исключением того, что значение слова «присутствует» определяется в терминах случайной величины, известной как время остановки.

Термин « марковское предположение» используется для описания модели, в которой предполагается наличие марковского свойства, например скрытой марковской модели.

Марковская сеть простирается это свойство для двух или более измерений или случайных величин, определенных для взаимосвязанной сети пунктов. Примером модели для такого месторождения является модель Изинга.

Случайный процесс с дискретным временем, удовлетворяющий свойству Маркова, известен как цепь Маркова.

Содержание

1 Введение
2 История
3 Определение
4 Альтернативные составы
5 Сильное марковское свойство
6 В прогнозировании
7 Примеры
8 См. Также
9 ссылки

Введение

Случайный процесс обладает свойством Маркова, если условное распределение вероятностей будущих состояний процесса (обусловленное как прошлыми, так и настоящими значениями) зависит только от текущего состояния; то есть, учитывая настоящее, будущее не зависит от прошлого. Процесс с этим свойством называется марковским или марковским. Самый известный марковский процесс - это цепь Маркова. Броуновское движение - еще один хорошо известный марковский процесс.

История

Основная статья: цепь Маркова § История

Определение

Позвольте быть вероятностным пространством с фильтрацией для некоторого ( полностью упорядоченного ) набора индексов ; и пусть будет измеримым пространством. -Значная стохастический процесс, выполненный с возможностью фильтрации называется обладает марковским свойством, если для каждого и каждый с, ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ $(\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {s}, \ s \ in I)}$ $({\ mathcal {F}} _ {s}, \ s \ in I)$ ${\ displaystyle I}$ $я$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ $(S, \ mathcal {S})$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ $(S, \ mathcal {S})$ ${\ displaystyle X = \ {X_ {t}: \ Omega \ to S \} _ {t \ in I}}$ ${\ displaystyle X = \ {X_ {t}: \ Omega \ to S \} _ {t \ in I}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {S}}}$ $А \ in {\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle s, t \ in I}$ $s, t \ in I$ ${\ displaystyle s lt;t}$ $s lt;t$

{\ Displaystyle P (X_ {t} \ in A \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}) = P (X_ {t} \ in A \ mid X_ {s}).}

{\ Displaystyle P (X_ {t} \ in A \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}) = P (X_ {t} \ in A \ mid X_ {s}).}

В случае, когда - дискретное множество с дискретной сигма-алгеброй и, это можно переформулировать следующим образом: ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ Displaystyle I = \ mathbb {N}}$ $I = {\ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle P (X_ {n} = x_ {n} \ mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, \ dots, X_ {0} = x_ {0}) = P (X_ {n} = x_ {n} \ mid X_ {n-1} = x_ {n-1}).}

{\ Displaystyle P (X_ {n} = x_ {n} \ mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, \ dots, X_ {0} = x_ {0}) = P (X_ {n} = x_ {n} \ mid X_ {n-1} = x_ {n-1}).}

Альтернативные составы

В качестве альтернативы марковское свойство можно сформулировать следующим образом.

{\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X_ {t}) \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}] = \ operatorname {E} [f (X_ {t}) \ mid \ sigma (X_ {s})]}

{\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X_ {t}) \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}] = \ operatorname {E} [f (X_ {t}) \ mid \ sigma (X_ {s})]}

для всех и измеримы и ограничены. ${\ Displaystyle т \ geq s \ geq 0}$ $т \ geq s \ geq 0$ ${\ displaystyle f: S \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $е: S \ rightarrow {\ mathbb {R}}$

Сильное марковское свойство

Предположим, что это случайный процесс на вероятностном пространстве с естественной фильтрацией. Тогда для любого момента остановки на, мы можем определить ${\ displaystyle X = (X_ {t}: t \ geq 0)}$ $X = (X_ {t}: t \ geq 0)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ $(\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)$ ${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {т} \} _ {т \ geq 0}}$ $\ {{\ mathcal {F}} _ {t} \} _ {{t \ geq 0}}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Омега$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau} = \ {A \ in {\ mathcal {F}}: \ forall t \ geq 0, \ {\ tau \ leq t \} \ cap A \ in {\ mathcal {F}} _ {t} \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau} = \ {A \ in {\ mathcal {F}}: \ forall t \ geq 0, \ {\ tau \ leq t \} \ cap A \ in {\ mathcal {F}} _ {t} \}}

Тогда говорят, что он обладает сильным марковским свойством, если для каждого момента остановки, обусловленного событием, у нас есть время, независимое от данного. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ Displaystyle \ {\ тау lt;\ infty \}}$ $\ {\ тау lt;\ infty \}$ ${\ Displaystyle т \ geq 0}$ $т \ geq 0$ ${\ Displaystyle Х _ {\ тау + т}}$ $X _ {{\ tau + t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$ ${\ mathcal {F}} _ {\ tau}$ ${\ displaystyle X _ {\ tau}}$ $X _ {\ tau}$

Сильное марковское свойство влечет за собой обычное марковское свойство, поскольку, взяв время остановки, можно вывести обычное марковское свойство. ${\ Displaystyle \ тау = т}$ $\ тау = т$

В прогнозировании

В областях прогнозного моделирования и вероятностного прогнозирования марковское свойство считается желательным, поскольку оно может дать возможность обосновать и разрешить проблему, которую в противном случае невозможно было бы решить из-за ее трудноразрешимости. Такая модель известна как модель Маркова.

Примеры

Предположим, что в урне находятся два красных шара и один зеленый шар. Один шар был разыгран вчера, один шар - сегодня, и последний шар будет разыгран завтра. Все розыгрыши проходят «без замены».

Предположим, вы знаете, что сегодняшний мяч был красным, но у вас нет информации о вчерашнем мяче. Вероятность того, что завтрашний мяч будет красным, равна 1/2. Это потому, что у этого случайного эксперимента остались только два результата:

День	Результат 1	Результат 2
Вчерашний день	Красный	Зеленый
Cегодня	Красный	Красный
Завтра	Зеленый	Красный

С другой стороны, если вы знаете, что и сегодняшние, и вчерашние шары были красными, то завтра вы гарантированно получите зеленый шар.

Это несоответствие показывает, что распределение вероятностей завтрашнего цвета зависит не только от текущей стоимости, но также зависит от информации о прошлом. Этот стохастический процесс наблюдаемых цветов не обладает свойством Маркова. Используя тот же эксперимент, описанный выше, если выборку «без замены» изменить на выборку «с заменой», процесс наблюдаемых цветов будет иметь марковское свойство.

Применение свойства Маркова в обобщенной форме - это вычисления методом Монте-Карло с цепью Маркова в контексте байесовской статистики.

Смотрите также

Рекомендации