Старая квантовая теория

редактировать

Старая квантовая теория - это собрание результатов, полученных с 1900–1925 годов, предшествующих современной квантовая механика. Теория никогда не была полной или самосогласованной, а скорее представляла собой набор эвристических поправок к классической механике. Теория теперь понимается как полуклассическое приближение к современной квантовой механике.

Основным инструментом старой квантовой теории было условие квантования Бора – Зоммерфельда, процедура выделения определенных состояния классической системы как разрешенные состояния: тогда система может существовать только в одном из разрешенных состояний, но не в каком-либо другом состоянии.

Содержание

1 История
2 Основные принципы
3 Примеры
- 3.1 Тепловые свойства гармонического осциллятора
- 3.2 Одномерный потенциал: U = 0
- 3.3 Одномерный потенциал : U = Fx
- 3.4 Одномерный потенциал: U = ½kx²
- 3.5 Вращатель
- 3.6 Атом водорода
- 3.7 Релятивистская орбита
4 волны Де Бройля
5 Матрица перехода Крамерса
6 Ограничения
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

История

Старая квантовая теория была инициирована работой Макса Планка 1900 года об излучении и поглощении света, и началось всерьез после работы Альберта Эйнштейна по удельной теплоемкости твердых тел. Эйнштейн, а затем Дебай применили квантовые принципы к движению атомов, объясняя аномалию теплоемкости.

В 1913 году Нильс Бор определил принцип соответствия и использовал его, чтобы сформулировать модель атома водорода что объясняет линейчатый спектр . В следующие несколько лет Арнольд Зоммерфельд распространил квантовое правило на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел, введенный Лоренцем и Эйнштейном. Зоммерфельд внес решающий вклад, квантовав z-компоненту углового момента, что в прежнюю квантовую эпоху называлось пространственным квантованием (Richtungsquantelung). Это позволило орбитам электрона быть эллипсами вместо окружностей и ввело понятие квантового вырождения. Теория правильно объяснила бы эффект Зеемана, за исключением вопроса о электронном спине. Модель Зоммерфельда была намного ближе к современной квантово-механической картине, чем модель Бора.

На протяжении 1910-х и вплоть до 1920-х годов многие проблемы решались с использованием старой квантовой теории со смешанными результатами. Были изучены спектры молекулярного вращения и колебаний, и был обнаружен спин электрона, что привело к путанице с полуцелыми квантовыми числами. Макс Планк ввел энергию нулевой точки, а Арнольд Зоммерфельд полуклассически квантовал релятивистский атом водорода. Хендрик Крамерс объяснил эффект Старка. Бозе и Эйнштейн дали правильную квантовую статистику для фотонов.

Крамерс дал рецепт для вычисления вероятностей переходов между квантовыми состояниями в терминах фурье-компонентов движения, идеи, которые были расширены в сотрудничестве с Вернером Гейзенбергом до полуклассического матричного описания атомного вероятности перехода. Гейзенберг переформулировал всю квантовую теорию в терминах версии этих матриц перехода, создав матричную механику.

. В 1924 году Луи де Бройль представил волновую теорию материи, которая была расширена. к полуклассическому уравнению для волн материи Альберта Эйнштейна вскоре после этого. В 1926 году Эрвин Шредингер нашел полностью квантово-механическое волновое уравнение, которое воспроизводило все успехи старой квантовой теории без двусмысленностей и противоречий. Волновая механика Шредингера развивалась отдельно от матричной механики, пока Шредингер и другие не доказали, что эти два метода предсказывают одинаковые экспериментальные последствия. Позже в 1926 году Поль Дирак доказал, что оба метода могут быть получены из более общего метода под названием теория преобразований.

. В 1950-х годах Джозеф Келлер обновил квантование Бора-Зоммерфельда, используя интерпретацию Эйнштейна 1917 года, которая теперь известна. как метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера. В 1971 году Мартин Гуцвиллер принял во внимание, что этот метод работает только для интегрируемых систем, и вывел полуклассический способ квантования хаотических систем из интегралов по траекториям.

Основные принципы

Основная идея старой квантовой теории состоит в том, что движение в атомной системе квантовано или дискретно. Система подчиняется классической механике, за исключением того, что не все движения разрешены, а только те движения, которые подчиняются условию квантования:

∮ H (p, q) = E pidqi = nih {\ displaystyle \ oint \ limits _ {H (p, q) = E} p_ {i} \, dq_ {i} = n_ {i} h}

\ oint \ limits _ {H (p, q) = E} p_ {i} \, dq_ {i} = n_ {i} h

, где $pi {\ displaystyle p_ {i}}$ $p_{i}$ - импульсы системы, а $qi {\ displaystyle q_ {i}}$ $q_{i}$ - соответствующие координаты. Квантовые числа $ni {\ displaystyle n_ {i}}$ $n_ {i}$ являются целыми числами, а интеграл берется за один период движения при постоянной энергии (как описано в гамильтониане ). Интеграл - это область в фазовом пространстве, которая представляет собой величину, называемую действием, и квантуется в единицах (нередуцированной) постоянной Планка. По этой причине постоянную Планка часто называли квантом действия.

Чтобы старое квантовое условие имело смысл, классическое движение должно быть разделимым, что означает наличие отдельных координат $qi {\ displaystyle q_ {i}}$ $q_{i}$ в терминах из которых движение периодическое. Периоды различных движений не обязательно должны быть одинаковыми, они могут даже быть несоизмеримыми, но должен быть набор координат, в котором движение распадается многопериодическим образом.

Мотивом для старого квантового условия был принцип соответствия, дополненный физическим наблюдением, что квантованные величины должны быть адиабатическими инвариантами. Учитывая правило квантования Планка для гармонического осциллятора, любое условие определяет правильную классическую величину для квантования в общей системе с точностью до аддитивной константы.

Это условие квантования часто известно как правило Вильсона – Зоммерфельда, предложенное независимо Уильямом Уилсоном и Арнольдом Зоммерфельдом.

Примеры

Тепловые свойства гармонический осциллятор

Простейшей системой в старой квантовой теории является гармонический осциллятор, гамильтониан которого:

H = p 2 2 m + m ω 2 кв 2 2. {\ displaystyle H = {p ^ {2} \ over 2m} + {m \ omega ^ {2} q ^ {2} \ over 2}.}

H = {p ^ {2} \ over 2m} + {m \ omega ^ {2} q ^ {2} \ over 2 }.

Старая квантовая теория дает рецепт квантования уровни энергии гармонического осциллятора, что в сочетании с распределением вероятностей Больцмана в термодинамике дает правильное выражение для запасенной энергии и теплоемкости квантового осциллятора как при низких, так и при обычных температурах. Примененный в качестве модели теплоемкости твердых тел, это устранило несоответствие в доквантовой термодинамике, которое беспокоило ученых XIX века. Давайте теперь опишем это.

Наборы уровней H являются орбитами, и квантовым условием является то, что площадь, ограниченная орбитой в фазовом пространстве, является целым числом. Отсюда следует, что энергия квантуется в соответствии с правилом Планка:

E = n ℏ ω, {\ displaystyle E = n \ hbar \ omega, \,}

E=n\hbar \omega,\,

результат, который был известен задолго до этого и использовался для сформулируем старое квантовое условие. Этот результат отличается на $1 2 ℏ ω {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega}$ ${\tfrac {1}{2}}\hbar \omega$ от результатов, полученных с помощью квантовой механики. Эта константа не учитывается при выводе старой квантовой теории, и ее значение нельзя определить с ее помощью.

Тепловые свойства квантованного осциллятора могут быть найдены путем усреднения энергии в каждом из дискретных состояний, предполагая, что они заняты весом Больцмана :

U = ∑ n ℏ ω ne - β n ℏ ω ∑ ne - β N ℏ ω знак равно ℏ ω e - β ℏ ω 1 - e - β ℏ ω, где β = 1 K T, {\ displaystyle U = {\ sum _ {n} \ hbar \ omega ne ^ {- \ beta n \ hbar \ omega} \ over \ sum _ {n} e ^ {- \ beta n \ hbar \ omega}} = {\ hbar \ omega e ^ {- \ beta \ hbar \ omega} \ над 1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega}}, \; \; \; {\ rm {where}} \; \; \ beta = {\ frac {1} {kT}},}

U = {\ sum _ {n} \ hbar \ omega ne ^ {- \ beta n \ hbar \ omega} \ over \ sum _ {n} e ^ {- \ beta n \ hbar \ omega} } = {\ hbar \ omega e ^ {- \ beta \ hbar \ omega} \ over 1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega}}, \; \; \; {\ rm {where}} \; \; \ beta = {\ frac {1} {kT}},

kT - это постоянная Больцмана, умноженная на абсолютную температуру, которая представляет собой температуру, измеренную в более естественных единицах энергии. Величина $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ является более фундаментальной в термодинамике, чем температура, потому что это термодинамический потенциал, связанный с энергией.

Из этого выражения легко увидеть, что для больших значений $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , для очень низких температур средняя энергия U в генераторе гармоник очень быстро приближается к нулю, экспоненциально быстро. Причина в том, что kT - это типичная энергия случайного движения при температуре T, и когда она меньше, чем $ℏ ω {\ displaystyle \ hbar \ omega}$ $\hbar \omega$ , энергии не хватает, чтобы дать осциллятор даже на один квант энергии. Таким образом, осциллятор остается в своем основном состоянии, практически не накапливая энергии.

Это означает, что при очень низких температурах изменение энергии относительно бета или, что эквивалентно, изменение энергии относительно температуры, также экспоненциально мало. Изменение энергии по отношению к температуре - это удельная теплоемкость, поэтому удельная теплоемкость экспоненциально мала при низких температурах, стремясь к нулю, как

exp ⁡ (- ℏ ω / k T) {\ displaystyle \ exp (- \ hbar \ omega / kT)}

\exp(-\hbar \omega /kT)

При малых значениях $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ при высоких температурах средняя энергия U равна $1 / β знак равно К T {\ Displaystyle 1 / \ beta = kT}$ $1/\beta =kT$ . Это воспроизводит теорему классической термодинамики о равнораспределении: каждый гармонический осциллятор при температуре T имеет в среднем энергию kT. Это означает, что теплоемкость осциллятора постоянна в классической механике и равна k. Для набора атомов, связанных пружинами, разумной модели твердого тела, общая теплоемкость равна сумме общего количества осцилляторов, умноженной на k. Всего существует три осциллятора для каждого атома, соответствующих трем возможным направлениям независимых колебаний в трех измерениях. Таким образом, удельная теплоемкость классического твердого тела всегда равна 3k на атом, или, в химических единицах, 3R на моль атомов.

Одноатомные твердые тела при комнатной температуре имеют примерно такую же удельную теплоемкость 3К на атом, но при низких температурах этого не происходит. Удельная теплоемкость меньше при более низких температурах и стремится к нулю при абсолютном нуле. Это верно для всех материальных систем, и это наблюдение называется третьим законом термодинамики. Классическая механика не может объяснить третий закон, потому что в классической механике теплоемкость не зависит от температуры.

Это противоречие между классической механикой и удельной теплотой холодных материалов было отмечено Джеймсом Клерком Максвеллом в 19 веке и оставалось глубокой загадкой для тех, кто защищал атомную теорию материи. Эйнштейн решил эту проблему в 1906 году, предложив квантовать движение атомов. Это было первое приложение квантовой теории к механическим системам. Некоторое время спустя Питер Дебай дал количественную теорию удельной теплоемкости твердых тел в терминах квантованных осцилляторов с различными частотами (см. твердое тело Эйнштейна и модель Дебая ).

Одномерный потенциал: U = 0

Одномерные задачи легко решить. При любой энергии E значение импульса p находится из уравнения сохранения:

2 m (E - U (q)) = p {\ displaystyle {\ sqrt {2m (EU (q))}} = p}

{\sqrt {2m(E-U(q))}}=p

, который интегрирован по всем значениям q между классическими поворотными точками, местами, где импульс обращается в нуль. Интеграл проще всего для частицы в коробке длиной L, где квантовое условие:

2 ∫ 0 L pdq = nh {\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {L} p \, dq = nh }

2\int _{0}^{L}p\,dq=nh

который дает допустимые импульсы:

p = nh 2 L {\ displaystyle p = {nh \ over 2L}}

p={nh \over 2L}

и уровни энергии

E n = p 2 2 m = n 2 час 2 8 м L 2 {\ displaystyle E_ {n} = {p ^ {2} \ over 2m} = {n ^ {2} h ^ {2} \ over 8mL ^ {2}}}

E_{n}={p^{2} \over 2m}={n^{2}h^{2} \over 8mL^{2}}

Одно- размерный потенциал: U = Fx

Другой простой случай, который можно решить с помощью старой квантовой теории, - это линейный потенциал на положительной полуоси, постоянная удерживающая сила F, связывающая частицу с непроницаемой стенкой. Этот случай намного сложнее при полном квантовомеханическом рассмотрении, и, в отличие от других примеров, полуклассический ответ здесь не точный, а приблизительный, становясь более точным при больших квантовых числах.

2 ∫ 0 EF 2 m (E - F x) dx = nh {\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {E} {F}} {\ sqrt {2m (E-Fx)} } \ dx = nh}

2 \ int _ {0} ^ {\ frac {E} {F}} {\ sqrt {2m (E-Fx) }} \ dx = nh

так, чтобы квантовое условие было

4 3 2 m E 3/2 F = nh {\ displaystyle {4 \ over 3} {\ sqrt {2m}} {E ^ {3 / 2} \ over F} = nh}

{4 \ over 3} {\ sqrt {2m}} {E ^ {3/2} \ over F} = nh

, который определяет уровни энергии,

E n = (3 nh F 4 2 m) 2/3 {\ displaystyle E_ {n} = \ left ({3nhF \ более 4 {\ sqrt {2m}}} \ right) ^ {2/3}}

E_{n}=\left({3nhF \over 4{\sqrt {2m}}}\right)^{2/3}

В конкретном случае F = mg, частица удерживается гравитационным потенциалом Земли, а «стеной» здесь является поверхность земли.

Одномерный потенциал: U = ½kx²

Этот случай также легко решить, и полуклассический ответ здесь согласуется с квантовым с точностью до энергии основного состояния. Его интеграл условий квантования равен

2 ∫ - 2 E k 2 E k 2 m (E - 1 2 kx 2) dx = nh {\ displaystyle 2 \ int _ {- {\ sqrt {\ frac {2E} { k}}}} ^ {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}} {\ sqrt {2m \ left (E - {\ frac {1} {2}} kx ^ {2} \ right)}} \ dx = nh}

2 \ int _ {- {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}}} ^ {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}} {\ sqrt {2m \ left (E - {\ frac {1} {2}} kx ^ {2} \ right)}} \ dx = nh

с решением

E = nh 2 π km = n ℏ ω {\ displaystyle E = n {\ frac {h} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}} = n \ hbar \ omega}

E=n{\frac {h}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=n\hbar \omega

для угловой частоты колебаний $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , как и раньше.

Ротатор

Еще одна простая система - ротатор. Ротатор состоит из массы M на конце безмассового жесткого стержня длиной R и в двух измерениях имеет лагранжиан:

L = MR 2 2 θ ˙ 2 {\ displaystyle L = {MR ^ {2} \ over 2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}}

L = {MR ^ {2} \ over 2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}

, который определяет, что угловой момент J сопряжен с $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\theta$ , полярным углом, $J = MR 2 θ ˙ {\ displaystyle J = MR ^ {2} {\ dot {\ theta}}}$ $J=MR^{2}{\dot {\theta }}$ . Старое квантовое условие требует, чтобы J, умноженный на период $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\theta$ , был целым кратным постоянной Планка:

2 π J = nh {\ displaystyle 2 \ pi J = nh \,}

2\pi J=nh\,

угловой момент должен быть целым числом, кратным $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ . В модели Бора этого ограничения на круговые орбиты было достаточно для определения уровней энергии.

В трех измерениях жесткий ротатор можно описать двумя углами - $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\theta$ и $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , где $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\theta$ - наклон относительно произвольно выбранной оси z, а $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ - угол ротатора в проекции на плоскость x – y. Кинетическая энергия снова является единственным вкладом в лагранжиан:

L = MR 2 2 θ ˙ 2 + MR 2 2 (sin ⁡ (θ) ϕ ˙) 2 {\ displaystyle L = {MR ^ {2} \ over 2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {MR ^ {2} \ over 2} (\ sin (\ theta) {\ dot {\ phi}}) ^ {2} \,}

L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}+{MR^{2} \over 2}(\sin(\theta){\dot {\phi }})^{2}\,

И сопряженные импульсы равны $p θ = θ ˙ {\ displaystyle p _ {\ theta} = {\ dot {\ theta}}}$ $p_{\theta }={\dot {\theta }}$ и $p ϕ = sin ⁡ (θ) 2 ϕ ˙ {\ displaystyle p _ {\ phi} = \ sin (\ theta) ^ {2} {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle p_ { \ phi} = \ sin (\ theta) ^ {2} {\ dot {\ phi}}}$ . Уравнение движения для $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ тривиально: $p ϕ {\ displaystyle p _ {\ phi}}$ ${\ displaystyle p _ {\ phi}}$ является константой:

p ϕ = l ϕ {\ displaystyle p _ {\ phi} = l _ {\ phi} \,}

p_{\phi }=l_{\phi }\,

, которая представляет собой z-компонент углового момента. Квантовое условие требует, чтобы интеграл константы $l ϕ {\ displaystyle l _ {\ phi}}$ $l_\phi$ as $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ отличался от 0 to $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2\pi$ является целым числом, кратным h:

l ϕ = m ℏ {\ displaystyle l _ {\ phi} = m \ hbar \,}

l _ {\ phi} = m \ hbar \,

А m называется магнитным квантовым числом, потому что z-компонента углового момента - это магнитный момент вращателя вдоль направления z в случае, когда частица на конце вращателя заряжена..

Поскольку трехмерный ротатор вращается вокруг оси, общий угловой момент должен быть ограничен таким же образом, как и двухмерный ротатор. Два квантовых условия ограничивают полный угловой момент и z-компоненту углового момента целыми числами l, m. Это условие воспроизводится в современной квантовой механике, но в эпоху старой квантовой теории оно привело к парадоксу: как можно квантовать ориентацию углового момента относительно произвольно выбранной оси z? Кажется, это указывает направление в космосе.

Это явление, квантование углового момента вокруг оси, было названо пространственным квантованием, потому что оно казалось несовместимым с инвариантностью вращения. В современной квантовой механике угловой момент квантован таким же образом, но дискретные состояния с определенным угловым моментом в любой одной ориентации являются квантовыми суперпозициями состояний в других ориентациях, так что процесс квантования не выберите желаемую ось. По этой причине название «пространственное квантование» вышло из употребления, и то же самое явление теперь называют квантованием углового момента.

Атом водорода

Угловая часть атома водорода является просто вращателем и дает квантовые числа l и m. Единственная оставшаяся переменная - это радиальная координата, которая выполняет периодическое одномерное потенциальное движение, которое может быть решено.

Для фиксированного значения полного углового момента L гамильтониан для классической задачи Кеплера (единица массы и единица энергии переопределены для поглощения двух констант):

H = pr 2 2 + л 2 2 р 2 - 1 р. {\ displaystyle H = {p_ {r} ^ {2} \ over 2} + {l ^ {2} \ over 2r ^ {2}} - {1 \ over r}.}

{\ displaystyle H = {p_ {r } ^ {2} \ over 2} + {l ^ {2} \ over 2r ^ {2}} - {1 \ over r}.}

Фиксируем энергию, которая должна быть (отрицательная) константа и решение для радиального импульса $pr {\ displaystyle p_ {r}}$ $p_{r}$ , интеграл квантового состояния равен:

∮ 2 E - l 2 r 2 + 2 rdr = kh {\ displaystyle \ oint {\ sqrt {2E- {l ^ {2} \ over r ^ {2}} + {2 \ over r}}} \ dr = kh}

\oint {\sqrt {2E-{l^{2} \over r^{2}}+{2 \over r}}}\ dr=kh

, которое можно решить с помощью метод остатков и дает новое квантовое число $k {\ displaystyle k}$ $k$ , которое определяет энергию в сочетании с $l {\ displaystyle l}$ $l$ . Энергия:

E = - 1 2 (k + l) 2 {\ displaystyle E = - {1 \ over 2 (k + l) ^ {2}}}

E = - {1 \ более 2 (k + l) ^ {2}}

и зависит только от суммы k и l, которое является главным квантовым числом n. Поскольку k положительно, допустимые значения l для любого заданного n не больше n. Энергии воспроизводят энергии в модели Бора, за исключением правильных квантово-механических множественностей, с некоторой неоднозначностью при экстремальных значениях.

Полуклассический атом водорода называется моделью Зоммерфельда, и его орбиты представляют собой эллипсы различных размеров с дискретными наклонами. Модель Зоммерфельда предсказывала, что магнитный момент атома, измеренный вдоль оси, будет принимать только дискретные значения, результат, который, кажется, противоречит инвариантности вращения, но который был подтвержден экспериментом Штерна-Герлаха. Эта теория Бора – Зоммерфельда является значительным шагом в развитии квантовой механики. Он также описывает возможность энергетических уровней атомов, разделенных магнитным полем (так называемый эффект Зеемана ).

Релятивистская орбита

Арнольд Зоммерфельд вывел релятивистское решение уровней атомной энергии. Мы начнем этот вывод с релятивистского уравнения для энергии в электрическом потенциале

W = m 0 c 2 (1 1 - v 2 c 2 - 1) - k Z e 2 r {\ displaystyle W = { m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} -1 \ right) -k {\ frac {Ze ^ {2}} {r}}}

W = {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} - 1 \ right) -k { \ frac {Ze ^ {2}} {r}}

После замены $u = 1 r {\ displaystyle u = {\ frac {1} {r}}}$ $u = {\ frac {1} {r}}$ получаем

1 1 - v 2 c 2 = 1 + W m 0 c 2 + k Z e 2 m 0 c 2 u {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = 1 + {\ frac {W} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}}} + k { \ frac {Ze ^ {2}} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}}} u}

{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u

Для импульса $pr = mr ˙ {\ displaystyle p _ {\ mathrm {r}} знак равно m {\ dot {r}}}$ $p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}$ , $p φ = mr 2 φ ˙ {\ displaystyle p _ {\ mathrm {\ varphi}} = mr ^ {2} {\ dot {\ varphi}}}$ $p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}$ и их соотношение $prp φ = - dud φ {\ displaystyle {\ frac {p _ {\ mathrm {r}}} {p _ {\ mathrm {\ varphi}}}} = - {\ frac {du } {d \ varphi}}}$ ${\ frac {p _ {\ mathrm {r}}} {p _ {\ mathrm {\ varphi}}} } = - {\ frac {du} {d \ varphi}}$ уравнение движения (см. уравнение Бине )

d 2 ud φ 2 = - (1 - k 2 Z 2 e 4 c 2 p φ 2) u + m 0 k Z e 2 p φ 2 (1 + W м 0 с 2) = - ω 0 2 U + К {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ varphi ^ {2}}} = - \ left (1-k ^ {2} {\ frac {Z ^ {2} e ^ {4}} {c ^ {2} p _ {\ mathrm {\ varphi}} ^ {2}}} \ right) u + {\ frac {m _ {\ mathrm {0}} kZe ^ {2}} {p _ {\ mathrm {\ varphi}} ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {W} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ { 2}}} \ right) = - \ omega _ {\ mathrm {0}} ^ {2} u + K}

{\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K

с решением

u = 1 r = K + A cos ⁡ ω 0 φ {\ displaystyle u = {\ frac {1} {r}} = K + A \ cos \ omega _ {\ mathrm {0}} \ varphi}

u = {\ frac {1} {r }} = K + A \ cos \ omega _ {\ mathrm {0}} \ varphi

Дано угловое смещение периапсиса за оборот по

φ s знак равно 2 π (1 ω 0-1) ≈ 4 π 3 К 2 Z 2 e 4 c 2 n φ 2 час 2 {\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {s}} = 2 \ pi \ left ({\ frac {1} {\ omega _ {\ mathrm {0}}}} - 1 \ right) \ приблизительно 4 \ pi ^ {3} k ^ {2} {\ frac {Z ^ {2} e ^ {4}} {c ^ {2} n _ {\ mathrm {\ varphi}} ^ {2} h ^ {2}}}}

\varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}- 1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{ 2}h^{2}}}

С квантовыми условиями

∮ p φ d φ = 2 π п φ знак равно N φ час {\ displaystyle \ oint p _ {\ mathrm {\ varphi}} \, d \ varphi = 2 \ pi p _ {\ mathrm {\ varphi}} = n _ {\ mathrm {\ varphi}} ч }

\oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\ varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h

∮ prdr = p φ ∮ (1 rdrd φ) 2 d φ = nrh {\ displaystyle \ oint p_ {\ mathrm {r}} \, dr = p _ {\ mathrm {\ varphi}} \ oint \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} \, d \ varphi = n _ {\ mathrm {r}} h}

\oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \le ft({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h

мы получим энергии

W m 0 c 2 = (1 + α 2 Z 2 (nr + n φ 2 - α 2 Z 2) 2) - 1/2 - 1 {\ displaystyle {\ frac {W} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}}} = \ left (1 + {\ frac {\ alpha ^ {2} Z ^ {2}} {\ left (n _ {\ mathrm {r}} + {\ sqrt {n _ {\ mathrm {\ varphi}}} ^ {2} - \ alpha ^ {2} Z ^ { 2}}} \ right) ^ {2}}} \ right) ^ {- 1/2} -1}

{\ displaystyle { \frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\ mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^ {-1/2}-1}

где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ - постоянная тонкой структуры. Это решение (с использованием замен для квантовых чисел) эквивалентно решению уравнения Дирака. Тем не менее, оба решения не могут предсказать сдвиги Лэмба.

волны Де Бройля

В 1905 году Эйнштейн заметил, что энтропия квантованных осцилляторов электромагнитного поля в ящике для короткой длины волны равна энтропия газа точечных частиц в том же ящике. Количество точечных частиц равно количеству квантов. Эйнштейн пришел к выводу, что кванты можно рассматривать, как если бы они были локализуемыми объектами (см. Стр. 139/140), частицами света. Сегодня мы называем их фотонами (название было придумано Гилбертом Н. Льюисом в письме в Nature.)

Теоретические аргументы Эйнштейна были основаны на по термодинамике, по подсчету количества состояний, и поэтому не был полностью убедительным. Тем не менее, он пришел к выводу, что свет имеет атрибуты как волн, так и частиц, точнее, электромагнитной стоячей волны с частотой $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ с квантованной энергией:

E = n ℏ ω {\ displaystyle E = n \ hbar \ omega \,}

E=n\hbar \omega \,

следует рассматривать как состоящий из n фотонов, каждый с энергией $ℏ ω {\ displaystyle \ hbar \ omega}$ $\hbar \omega$ . Эйнштейн не мог описать, как фотоны связаны с волной.

У фотонов есть импульс, а также энергия, и импульс должен был быть $ℏ k {\ displaystyle \ hbar k}$ ${\ displaystyl е \ hbar k}$ где $k {\ displaystyle k}$ $k$ - волновое число электромагнитной волны. Это требуется по теории относительности, потому что импульс и энергия образуют четырехвектор, как и частота и волновое число.

В 1924 году, как кандидат наук, Луи де Бройль предложил новую интерпретацию квантового состояния. Он предположил, что вся материя, как электроны, так и фотоны, описываются волнами, подчиняющимися соотношениям.

p = ℏ k {\ displaystyle p = \ hbar k}

p = \ hbar k

или, выраженное через длину волны $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ вместо этого,

p = h λ {\ displaystyle p = {h \ over \ lambda}}

p = {h \ over \ lambda}

Затем он отметил, что квантовое условие:

∫ pdx = ℏ ∫ kdx = 2 π ℏ n {\ displaystyle \ int p \, dx = \ hbar \ int k \, dx = 2 \ pi \ hbar n}

\ int p \, dx = \ hbar \ int k \, dx = 2 \ pi \ hbar n

подсчитывает изменение фазы волны, когда она движется по классической орбите, и требует, чтобы оно было целым кратным $2 π {\ стиль отображения 2 \ pi}$ $2\pi$ . Выраженное в длинах волн, количество длин волн на классической орбите должно быть целым числом. Это условие конструктивной интерференции, и оно объясняет причину квантованных орбит - волны материи создают стоячие волны только на дискретных частотах, при дискретных энергиях.

Например, для частицы, заключенной в ящик, стоячая волна должна соответствовать целому числу длин волн между удвоенным расстоянием между стенками. Условие принимает следующий вид:

n λ = 2 L {\ displaystyle n \ lambda = 2L \,}

n\lambda =2L\,

так, чтобы квантованные импульсы были:

p = nh 2 L {\ displaystyle p = {\ frac { nh} {2L}}}

p = {\ frac {nh} {2L}}

воспроизводит старые квантовые уровни энергии.

Этому развитию придал более математический вид Эйнштейн, который заметил, что фазовая функция для волн: $θ (J, x) {\ displaystyle \ theta (J, x)}$ $\theta (J,x)$ в механической системе следует отождествлять с решением уравнения Гамильтона – Якоби, уравнения, которое даже Уильям Роуэн Гамильтон считал своего рода коротковолновым пределом волновой механики в 19 веке. Затем Шредингер нашел собственное волновое уравнение, которое соответствовало уравнению Гамильтона-Якоби для фазы, это знаменитое уравнение.

матрица перехода Крамерса

Старая квантовая теория была сформулирована только для специальных механических систем, которые могут быть разделены на периодические переменные угла действия. Он не касался излучения и поглощения излучения. Тем не менее Хендрик Крамерс смог найти эвристики для описания того, как следует рассчитывать излучение и поглощение.

Крамерс предположил, что орбиты квантовой системы должны быть проанализированы Фурье, разложены на гармоники, кратные частоте орбиты:

X n (t) = ∑ k = - ∞ ∞ eik ω t X n ; k {\ displaystyle X_ {n} (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ik \ omega t} X_ {n; k}}

X_{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ik\omega t}X_{n;k}

Индекс n описывает квантовые числа орбиты, это было бы n – l – m в модели Зоммерфельда. Частота $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ - угловая частота орбиты $2 π / T n {\ displaystyle 2 \ pi / T_ {n}}$ $2\pi /T_{n}$ а k - это индекс моды Фурье. Бор предположил, что k-я гармоника классического движения соответствует переходу с уровня n на уровень n − k.

Крамерс предположил, что переход между состояниями аналогичен классическому излучению, которое происходит на частотах, кратных частотам орбиты. Скорость излучения излучения пропорциональна $| X k | 2 {\ displaystyle | X_ {k} | ^ {2}}$ $|X_{k}|^{2}$ , как это было бы в классической механике. Описание было приблизительным, так как компоненты Фурье не имели частот, точно совпадающих с энергетическими расстояниями между уровнями.

Эта идея привела к развитию матричной механики.

Ограничения

Старая квантовая теория имела некоторые ограничения:

Старая квантовая теория не предоставляет средств для вычисления интенсивности. спектральных линий.
Он не может объяснить аномальный эффект Зеемана (то есть, когда спином электрона нельзя пренебречь).
Он не может квантовать » хаотические »системы, т. е. динамические системы, в которых траектории не являются ни замкнутыми, ни периодическими и аналитическая форма которых не существует. Это представляет проблему для таких простых систем, как двухэлектронный атом, который классически хаотичен, аналогично известной гравитационной задаче трех тел.

, однако его можно использовать для описания атомов с более чем одним электроном (например, гелий) и эффект Зеемана. Позже было высказано предположение, что старая квантовая теория на самом деле является полуклассическим приближением канонической квантовой механики, но ее ограничения все еще исследуются.

Ссылки

Дополнительная литература

Thewlis, J., ed. (1962). Энциклопедический словарь по физике.
Паис, Абрахам (1982). "Статистическая интерпретация квантовой механики Максом Борном" (PDF). Наука. 218 (4578): 1193–8. Bibcode : 1982Sci... 218.1193P. doi : 10.1126 / science.218.4578.1193. PMID 17802457.Выступление на ежегодном собрании Оптического общества Америки 21 октября 1982 г. (Тусон, Аризона). Проверено 8 сентября 2013 г.
Planck, Max (1922). Возникновение и развитие квантовой теории. Перевод Silberstein, L.; Clarke, HT Oxford: Clarendon Press.