Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера

Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера (EBK ) - это полуклассический метод (названный в честь Альберт Эйнштейн, Леон Бриллюэн и Джозеф Б. Келлер ), используемые для вычисления собственных значений в квантово-механических системах. Квантование EBK является улучшением по сравнению с квантованием Бора-Зоммерфельда, которое не учитывает скачки фазы каустики в классических поворотных точках. Эта процедура способна точно воспроизвести спектр трехмерного гармонического осциллятора, частицы в коробке и даже релятивистскую тонкую структуру водорода . atom.

В 1976–1977 гг. Берри и Табор вывели расширение для Gutzwiller формулы следа для плотности состояний интегрируемой системы, начиная с квантования EBK.

В последнее время был получен ряд результатов по вычислительным вопросам, связанным с этой темой, например, работа Эрик Дж. Хеллер и Эммануэль Дэвид Танненбаум с использованием метода градиентного спуска по уравнению в частных производных.

• 1 Процедура
  • 1.1 Пример: 2D атом водорода
• 2 См. также
• 3 Ссылки

Для разделимой классической системы, определенной координатами $(qi,\; pi);\; я\; \in \; \{1,\; 2,\; \cdots ,\; d\}\; \{\backslash \; displaystyle\; (q\_\; \{i\},\; p\_\; \{i\});\; я\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,2,\; \backslash \; cdots,\; d\; \backslash \}\}$, дюйм каждая пара $(qi,\; pi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (q\_\; \{i\},\; p\_\; \{i\})\}$описывает замкнутую функцию или периодическую функцию в $qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{\; i\}\}$, процедура EBK включает квантование интегралов по путям $пи\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\}$по замкнутой орбите $qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\}$:

$I\; i\; =\; 1\; 2\; \pi \; \oint \; pidqi\; =\; \hslash \; (ni\; +\; \mu \; i\; 4\; +\; bi\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; oint\; p\_\; \{i\}\; dq\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; left\; (n\_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{i\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

где $I\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{i\}\}$- это координата угла действия, $ni\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{i\}\}$- положительное целое число, а $\mu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}$и $bi\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\}$- индексы Маслова. $\mu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}$соответствует количеству классических поворотных точек на траектории $qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\}$(границы Дирихле условие ), а $bi\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\}$соответствует количеству отражений от твердой стенки (граничное условие Неймана ).

Пример: 2D атом водорода

Гамильтониан для нерелятивистского электрона (электрический заряд $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$) в атоме водорода:

$H\; =\; pr\; 2\; 2\; m\; +\; p\; \phi \; 2\; 2\; мр\; 2\; -\; е\; 2\; 4\; \pi \; ϵ\; 0\; р\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{r\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2mr\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; r\}\}\}$

где $pr\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{r\}\}$- канонический импульс к радиальному расстоянию $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, и $p\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\}$- канонический импульс азимутального угла $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$. Возьмите координаты угла действия:

$I\; \phi \; =\; constant\; =\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\; =\; L\}$

Для радиальной координаты $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$:

$pr\; =\; 2\; m\; E\; -\; L\; 2\; r\; 2\; -\; e\; 2\; 4\; \pi \; ϵ\; 0\; р\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2mE\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; r\}\}\}\}\}$

$I\; r\; =\; 1\; \pi \; \int \; r\; 1\; r\; 2\; prdr\; =\; me\; 2\; 4\; \pi \; ϵ\; 0\; -\; 2\; m\; E\; -\; |\; L\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{r\_\; \{1\}\}\; ^\; \{r\_\; \{2\}\}\; p\_\; \{r\}\; dr\; =\; \{\backslash \; frac\; \{me\; ^\; \{2\}\; \}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-2mE\}\}\}\}\; -\; |\; L\; |\}$

, где мы интегрируем две классические точки поворота $r\; 1,\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\},\; r\_\; \{2\}\}$($\mu \; r\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{r\}\; =\; 2\}$)

$E\; =\; -\; me\; 4\; 32\; \pi \; 2\; ϵ\; 0\; 2\; (I\; r\; +\; L)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{me\; ^\; \{4\}\}\; \{32\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; (I\_\; \{r\}\; +\; L)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Использование квантования EBK $br\; =\; \mu \; \phi \; =\; b\; \phi \; =\; 0,\; n\; \phi \; =\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{r\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; b\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; 0,\; n\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \}\; =\; m\}$:

$L\; =\; \hslash \; м;\; м\; знак\; равно\; 0,\; 1,\; 2,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; hbar\; m\; \backslash \; quad;\; \backslash \; quad\; m\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; cdots\}$

$I\; r\; =\; \hslash \; (n\; r\; +\; 1/2);\; nr\; знак\; равно\; 0,\; 1,\; 2,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{r\}\; =\; \backslash \; hbar\; (n\_\; \{r\}\; +1/2)\; \backslash \; quad;\; \backslash \; quad\; n\_\; \{r\}\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; cdots\}$

$E\; =\; -\; меня\; 4\; 32\; \pi \; 2\; ϵ\; 0\; 2\; \hslash \; 2\; (nr\; +\; m\; +\; 1/2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{me\; ^\; \{4\}\}\; \{32\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; (n\_\; \{r\}\; +\; m\; +\; 1/2)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

и сделав $n\; =\; nr\; +\; m\; +\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\; =\; n\_\; \{r\}\; +\; m\; +\; 1\}$восстанавливается спектр двумерного атома водорода:

$E\; n\; =\; -\; me\; 4\; 32\; \pi \; 2\; ϵ\; 0\; 2\; \hslash \; 2\; (n\; -\; 1\; /\; 2)\; 2;\; п\; =\; 1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{me\; ^\; \{4\}\}\; \{32\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; hbar\; ^\; \{\; 2\}\; (n-1/2)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad;\; \backslash \; quad\; n\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; cdots\}$

Обратите внимание, что в этом случае $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$почти совпадает с обычным квантованием оператора углового момента на плоскости $L\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{z\}\}$. Для трехмерного случая метод EBK для полного углового момента эквивалентен поправке Лангера.

• Физический портал

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• приближение ВКБ
• Квантовый хаос