Адиабатический инвариант

Свойство физической системы, например энтропия газа, которая остается примерно постоянной при изменении происходят медленно, называется адиабатическим инвариантом . Под этим подразумевается, что, если система изменяется между двумя конечными точками, по мере того, как время изменения между конечными точками увеличивается до бесконечности, изменение адиабатического инварианта между двумя конечными точками стремится к нулю.

В термодинамике адиабатический процесс - это изменение, которое происходит без теплового потока; он может быть медленным или быстрым. Обратимый адиабатический процесс - это адиабатический процесс, который происходит медленно по сравнению со временем достижения равновесия. В обратимом адиабатическом процессе система находится в равновесии на всех стадиях, и энтропия постоянна. В 1-й половине 20-го века ученые, работавшие в области квантовой физики, использовали термин «адиабатический» для обратимых адиабатических процессов, а затем для любых постепенно меняющихся условий, которые позволяют системе адаптировать свою конфигурацию. Квантово-механическое определение ближе к термодинамической концепции квазистатического процесса и не имеет прямого отношения к адиабатическим процессам в термодинамике.

В механике адиабатическое изменение - это медленная деформация гамильтониана, где относительная скорость изменения энергии намного медленнее чем орбитальная частота. Области, окруженные различными движениями в фазовом пространстве, являются адиабатическими инвариантами.

В квантовой механике адиабатическое изменение - это изменение, которое происходит со скоростью, намного меньшей, чем разность частот между собственными состояниями энергии. В этом случае энергетические состояния системы не совершают переходов, так что квантовое число является адиабатическим инвариантом.

старая квантовая теория была сформулирована путем приравнивания квантового числа системы к ее классическому адиабатическому инварианту. Это определило форму правила квантования Бора – Зоммерфельда : квантовое число - это площадь в фазовом пространстве классической орбиты.

Содержание

• 1 Термодинамика
  • 1.1 Адиабатическое расширение идеального газа
  • 1.2 Закон Вина - адиабатическое расширение светового ящика
• 2 Классическая механика - переменные действия
  • 2.1 Старая квантовая теория
• 3 Физика плазмы
  • 3.1 Первый адиабатический инвариант, μ
  • 3.2 Второй адиабатический инвариант, J
  • 3.3 Третий адиабатический инвариант, $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Термодинамика

В термодинамике адиабатические изменения - это те изменения, которые не увеличивают энтропию. Они происходят медленно по сравнению с другими характерными временными шкалами интересующей системы и допускают тепловой поток только между объектами с одинаковой температурой. Для изолированных систем адиабатическое изменение не позволяет теплу течь внутрь или наружу.

Адиабатическое расширение идеального газа

Если контейнер с идеальным газом мгновенно расширяется, температура газа не изменяется вообще, потому что ни одна из молекулы замедляются. Молекулы сохраняют свою кинетическую энергию, но теперь газ занимает больший объем. Однако, если контейнер расширяется медленно, так что закон идеального давления газа сохраняется в любое время, молекулы газа теряют энергию со скоростью, с которой они действительно воздействуют на расширяющуюся стенку. Объем выполняемой ими работы равен давлению, умноженному на площадь стенки, умноженному на смещение наружу, то есть давление, умноженное на изменение объема газа:

$d\; W\; =\; P\; d\; V\; =\; N\; k\; BTV\; d\; V\; \{\; \backslash \; displaystyle\; dW\; =\; PdV\; =\; \{Nk\_\; \{B\}\; T\; \backslash \; over\; V\}\; dV\}$

Если в газ не поступает тепло, энергия молекул газа уменьшается на ту же величину. По определению, газ идеален, когда его температура зависит только от внутренней энергии частицы, а не от объема. Итак,

$d\; T\; =\; 1\; NC\; vd\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; dT\; =\; \{1\; \backslash \; over\; NC\_\; \{v\}\}\; dE\}$

где $C\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{v\}\}$- удельная теплоемкость при постоянном объеме. Когда изменение энергии полностью связано с работой, выполняемой на стене, изменение температуры определяется как:

$NC\; vd\; T\; =\; -\; d\; W\; =\; -\; N\; k\; BTV\; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; NC\_\; \{v\}\; dT\; =\; -\; dW\; =\; -\; \{N\; \{k\_\; \{B\}\}\; T\; \backslash \; over\; V\}\; dV\}$

Это дает дифференциальную зависимость между изменениями температуры и объема, которые можно проинтегрировать, чтобы найти инвариант. Константа $k\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{B\}\}$- это всего лишь коэффициент преобразования единиц, который можно установить равным единице:

$d\; (C\; v\; N\; журнал\; \; T)\; знак\; равно\; -\; d\; (N\; журнал\; \; V)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash ,\; d\; (C\_\; \{v\}\; N\; \backslash \; log\; T)\; =\; -\; d\; (N\; \backslash \; log\; V)\}$

Итак

$C\; v\; N\; журнал\; \; T\; +\; N\; log\; \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; C\_\; \{v\}\; N\; \backslash \; log\; T\; +\; N\; \backslash \; log\; V\}$

- адиабатический инвариант, связанный с энтропией

$S\; =\; C\; v\; N\; log\; \; T\; +\; N\; журнал\; \; V\; -\; N\; журнал\; \; N\; знак\; равно\; N\; журнал\; \; (TC\; v\; V\; /\; N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash ,\; S\; =\; C\_\; \{v\}\; N\; \backslash \; журнал\; T\; +\; N\; \backslash \; журнал\; VN\; \backslash \; журнал\; N\; =\; N\; \backslash \; журнал\; (\; T\; ^\; \{C\_\; \{v\}\}\; V\; /\; N)\}$

Итак, энтропия является адиабатическим инвариантом. Член N log (N) делает энтропию аддитивной, поэтому энтропия двух объемов газа является суммой энтропий каждого из них.

В молекулярной интерпретации S - это логарифм объема фазового пространства всех состояний газа с энергией E (T) и объемом V.

Для одноатомного идеального газа это легко может быть видно, записав энергию,

$E\; =\; 1\; 2\; m\; \sum \; kpk\; 1\; 2\; +\; pk\; 2\; 2\; +\; pk\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2m\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; p\_\; \{k1\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; p\_\; \{k2\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{k3\}\; ^\; \{2\}\}$

Различные внутренние движения газа с полной энергией E определяют сферу, поверхность 3N-мерного шара с радиусом $2\; м\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2mE\}\}\}$. Объем сферы равен

$2\; \pi \; 3\; N\; /\; 2\; (2\; m\; E)\; 3\; N\; -\; 1\; 2\; \Gamma \; (3\; N\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{3N\; /\; 2\}\; (2mE)\; ^\; \{\; \{3N-1\}\; \backslash \; over\; 2\}\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; Gamma\; (3N\; /\; 2)\}\}$,

, где $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$- это гамма-функция.

Поскольку каждая молекула газа может находиться где угодно в объеме V, объем в фазовом пространстве, занимаемый состояниями газа с энергией E, равен

$2\; \pi \; 3\; N\; /\; 2\; (2\; м\; E)\; 3\; N\; -\; 1\; 2\; VN\; \Gamma \; (\; 3\; N\; /\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{3N\; /\; 2\}\; (2mE)\; ^\; \{\{3N-1\}\; \backslash \; over\; 2\}\}\; V\; ^\; \{N\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; Gamma\; (3N\; /\; 2)\}\}$.

Поскольку молекулы газа N неразличимы, объем фазового пространства делится на $N!\; =\; \Gamma \; (N\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; N!\; =\; \backslash \; Gamma\; (N\; +\; 1)\}$, количество перестановок N молекул.

Используя приближение Стирлинга для гамма-функции и игнорируя факторы, исчезающие в логарифме после принятия большого N,

$S\; =\; N\; (3/2\; log\; \; (E)\; -\; 3\; /\; 2\; журнал\; \; (3\; N\; /\; 2)\; +\; журнал\; \; (V)\; -\; журнал\; \; (N))\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; N\; \{\backslash \; big\; (\}\; 3/2\; \backslash \; log\; (E)\; -3/2\; \backslash \; log\; (3N\; /\; 2)\; +\; \backslash \; log\; (V)\; -\; \backslash \; log\; (N)\; \{\backslash \; big)\}\}$

$=\; N\; (3/2\; log\; \; (2\; 3\; E\; /\; N)\; +\; log\; \; (V\; /\; N))\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; N\; \{\backslash \; big\; (\}\; 3/2\; \backslash \; log\; (\backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; displaystyle\; E\; /\; N)\; +\; \backslash \; log\; (V\; /\; N)\; \{\backslash \; big)\}\}$

Поскольку удельная теплоемкость одноатомного газа равна 3/2, это то же самое, что и термодинамическая формула для энтропии.

Закон Вина - адиабатическое расширение светового ящика

Для ящика излучения, игнорируя квантовую механику, энергия классического поля в тепловом равновесии бесконечна, поскольку равнораспределение требует, чтобы каждая мода поля имела в среднем одинаковую энергию, а мод было бесконечно много. Это физически нелепо, поскольку означает, что вся энергия со временем уходит в высокочастотные электромагнитные волны.

Тем не менее, без квантовой механики, есть кое-что, что можно сказать о равновесном распределении только на основе термодинамики, потому что все еще существует понятие адиабатической инвариантности, которое связывает ящики разного размера.

Когда ящик медленно расширяется, частота отражения света от стены может быть вычислена из доплеровского сдвига. Если стена неподвижна, свет отражается с той же частотой. Если стена движется медленно, частота отдачи равна только в кадре, где стена неподвижна. В кадре, где стена удаляется от источника света, входящий свет более синий, чем исходящий, на удвоенный коэффициент доплеровского сдвига v / c.

$\Delta \; f\; =\; 2\; vcf\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \{2v\; \backslash \; over\; c\}\; f\}$

С другой стороны, энергия света также уменьшается, когда стена удаляется, потому что свет выполнение работ на стене за счет радиационного давления. Поскольку свет отражается, давление вдвое превышает импульс света, который равен E / c. Скорость, с которой давление действительно действует на стену, определяется умножением на скорость:

$\Delta \; E\; =\; v\; 2\; E\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; E\; =\; v\; \{2E\; \backslash \; over\; c\}\}$

Это означает, что изменение частоты света равно работе, совершаемой на стене давлением излучения. Отраженный свет изменяется и по частоте, и по энергии на одинаковую величину:

$\Delta \; ff\; =\; \Delta \; EE\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; Delta\; f\; \backslash \; over\; f\}\; =\; \{\backslash \; Delta\; E\; \backslash \; over\; E\}\}$

Поскольку при медленном перемещении стены должно сохраняться фиксированное тепловое распределение, вероятность того, что свет имеет энергию E на частоте f, должна быть только функцией E / f.

Эту функцию нельзя определить только на основании термодинамических соображений, и Вин предположил, что форма действительна при высокой частоте. Он предположил, что средняя энергия в высокочастотных модах подавляется фактором типа Больцмана. Это не ожидаемая классическая энергия в режиме, которая равна $1/2\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; 1/2\; \backslash \; beta\}$по равнораспределению, а новое и неоправданное предположение, которое соответствует высокочастотному данные.

$⟨E\; f⟩\; =\; e\; -\; \beta \; hf\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; langle\; E\_\; \{f\}\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; hf\}\}$

Когда математическое ожидание складывается по всем режимам в полости, это распределение Вина, и оно описывает термодинамическое распределение энергии в классическом газе фотонов. Закон Вина неявно предполагает, что свет статистически состоит из пакетов, которые изменяют энергию и частоту одинаковым образом. Энтропия газа Вина масштабируется как объем в степени N, где N - количество пакетов. Это привело Эйнштейна к предположению, что свет состоит из локализуемых частиц с энергией, пропорциональной частоте. Тогда энтропия газа Вина может получить статистическую интерпретацию как количество возможных положений, в которых могут находиться фотоны.

Классическая механика - переменные действия

Предположим, что гамильтониан - это медленно время варьируя, например, одномерный гармонический осциллятор с изменяющейся частотой.

$ЧАС\; T\; (п,\; Икс)\; знак\; равно\; п\; 2\; 2\; м\; +\; м\; \omega \; (т)\; 2\; Икс\; 2\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; Н\_\; \{т\}\; (р,\; х)\; =\; \{р\; ^\; \{2\}\; \backslash \; над\; 2m\}\; +\; \{\; m\; \backslash \; omega\; (t)\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash ,\}$

Действие J классической орбиты - это область, ограниченная орбитой в фазовом пространстве.

$J\; =\; \int \; 0\; T\; p\; (t)\; dxdtdt\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; p\; (t)\; \{dx\; \backslash \; over\; dt\}\; dt\; \backslash ,\}$

Поскольку J является целым в течение полного периода это только функция энергии. Когда гамильтониан постоянен во времени, а J постоянна во времени, канонически сопряженная переменная $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$увеличивается во времени с постоянной скоростью.

$d\; \theta \; dt\; знак\; равно\; \partial \; H\; \partial \; J\; =\; H\; \prime \; (J)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{d\; \backslash \; theta\; \backslash \; over\; dt\}\; =\; \{\backslash \; partial\; H\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; J\}\; =\; H\; \backslash ,\; \text{'}(J)\; \backslash ,\}$

Таким образом, константа $H\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash ,\text{'}\}$может использоваться для изменения производных по времени вдоль орбиты на частные производные по отношению к $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \}$при константе J. Дифференцирование интеграла для J относительно J дает тождество, которое фиксирует $H\; \text{'}:\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash ,\text{'}:\}$

$d\; J\; d\; J\; =\; 1\; =\; \int \; 0\; T\; (\partial \; p\; \partial \; J\; dxdt\; +\; p\; \partial \; \partial \; J\; dxdt)\; dt\; =\; H\; \prime \; \int \; 0\; T\; (\partial \; p\; \partial \; J\; \partial \; x\; \partial \; \theta \; -\; \partial \; p\; \partial \; \theta \; \partial \; x\; \partial \; J)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dJ\; \backslash \; over\; dJ\}\; =\; 1\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; partial\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; J\}\; \{dx\; \backslash \; over\; dt\}\; +\; p\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; J\}\; \{dx\; \backslash \; над\; dt\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; dt\; =\; H\; \backslash ,\; \text{'}\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; partial\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; -\; \{\backslash \; partial\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; dt\; \backslash ,\}$

Подынтегральное выражение - это скобка Пуассона для x и p. Скобка Пуассона двух канонически сопряженных величин, таких как x и p, равна 1 в любой канонической системе координат. Итак,

$1\; =\; H\; \prime \; \int \; 0\; T\; \{x,\; p\}\; dt\; =\; H\; \prime \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; =\; H\; \backslash ,\; \text{'}\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; \{x,\; p\; \backslash \}\; \backslash ,\; dt\; =\; H\; \backslash ,\; \text{'}\backslash ,\; T\; \backslash ,\}$

и $H\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash ,\text{'}\}$- обратный период. Переменная $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$увеличивается на равную величину в каждый период для всех значений J - это угловая переменная.

Адиабатическая инвариантность J

Гамильтониан является функцией только J, и в простом случае гармонического осциллятора.

$H\; =\; \omega \; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; H\; =\; \backslash \; omega\; J\; \backslash ,\}$

Когда H не зависит от времени, J является постоянным. Когда H медленно меняется во времени, скорость изменения J может быть вычислена путем повторного выражения интеграла для J

$J\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; p\; \partial \; x\; \partial \; \theta \; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; p\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

Производная по времени этой величины равна

$d\; J\; dt\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; (dpdt\; \partial \; x\; \partial \; \theta \; +\; pddt\; \partial \; x\; \partial \; \theta )\; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{dJ\; \backslash \; over\; dt\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{dp\; \backslash \; over\; dt\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; +\; p\; \{d\; \backslash \; over\; dt\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

Замена производных по времени производными тета, используя $d\; \theta \; =\; \omega \; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; omega\; dt\; \backslash ,\}$и установка $\omega :\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega:\; =\; 1\; \backslash ,\}$без потеря общности ($\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$является глобальной мультипликативной константой в результирующей производной по времени действия), дает

$d\; J\; dt\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; (\partial \; p\; \partial \; \theta \; \partial \; x\; \partial \; \theta \; +\; p\; \partial \; \partial \; \theta \; \partial \; x\; \partial \; \theta )\; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{dJ\; \backslash \; over\; dt\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; partial\; p\; \backslash \; более\; \backslash \; parti\; al\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; +\; p\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

Таким образом, пока координаты J, $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$не изменяются заметно за один период, это выражение можно интегрировать по частям, чтобы получить ноль. Это означает, что для медленных изменений не происходит изменения низшего порядка в области, ограниченной орбитой. Это теорема адиабатической инвариантности - переменные действия являются адиабатическими инвариантами.

Для гармонического осциллятора площадь в фазовом пространстве орбиты при энергии E - это площадь эллипса постоянной энергии,

$E\; =\; p\; 2\; 2\; m\; +\; m\; \omega \; 2\; x\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{p\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2m\}\; +\; \{m\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash ,\}$

Радиус x этого эллипса равен $2\; E\; /\; \omega \; 2\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2E\; /\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; m\}\}\}\;$, а радиус p эллипса составляет $2\; м\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2mE\}\}\}$. При умножении площадь равна $2\; \pi \; E\; /\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; E\; /\; \backslash \; omega\}$. Итак, если маятник медленно втягивается, так что частота изменяется, энергия изменяется на пропорциональную величину.

Старая квантовая теория

После того, как Планк определил, что закон Вина можно распространить на все частоты, даже очень низкие, путем интерполяции с классическим законом равнораспределения для излучения, физики захотели понять квантовое поведение других систем.

Закон излучения Планка квантует движение генераторов поля в единицах энергии, пропорциональных частоте:

$E\; =\; hf\; =\; \hslash \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; hf\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash ,\}$

Квант может зависеть только от энергии / частоты за счет адиабатической инвариантности, и поскольку энергия должна быть аддитивной при установке боксов встык, уровни должны быть равномерно распределены.

Эйнштейн, а затем Дебай расширили область квантовой механики, рассматривая звуковые моды в твердом теле как квантованные осцилляторы. Эта модель объясняет, почему удельная теплоемкость твердых тел приближается к нулю при низких температурах вместо того, чтобы оставаться фиксированной на уровне $3\; k\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; 3k\_\; \{B\}\}$, как предсказывается классическим равнораспределением.

На конференции Solvay был поднят вопрос о квантовании других движений, и Лоренц указал на проблему, известную как маятник Рэлея-Лоренца. Если вы рассмотрите квантовый маятник, струна которого укорачивается очень медленно, квантовое число маятника не может измениться, потому что ни в одной точке не существует достаточно высокой частоты, чтобы вызвать переход между состояниями. Но частота маятника меняется, когда струна становится короче, поэтому квантовые состояния меняют энергию.

Эйнштейн ответил, что при медленном натяжении частота и энергия маятника меняются, но соотношение остается неизменным. Это аналогично наблюдению Вина о том, что при медленном движении стены отношение энергии к частоте отраженных волн остается постоянным. Был сделан вывод, что квантованные величины должны быть адиабатическими инвариантами.

Эта аргументация была расширена Зоммерфельдом в общую теорию: квантовое число произвольной механической системы задается переменной адиабатического действия. Поскольку переменная действия в гармоническом осцилляторе является целым числом, общее условие таково:

$\int \; pdq\; =\; nh\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; pdq\; =\; nh\; \backslash ,\}$

Это условие было основой старого кванта теория, которая смогла предсказать качественное поведение атомных систем. Теория неточна для малых квантовых чисел, поскольку она смешивает классические и квантовые концепции. Но это был полезный шаг на полпути к новой квантовой теории.

Физика плазмы

В физике плазмы есть три адиабатических инварианта движения заряженных частиц.

Первый адиабатический инвариант, μ

Магнитный момент вращающейся частицы,

$\mu \; =\; mv\; \perp \; 2\; 2\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; frac\; \{mv\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2B\}\}\}$

- постоянная движения для всех порядков в расширении в $\omega \; /\; \omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; /\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; c\}\}$, где $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$- скорость любых изменений, испытываемых частицей, например, из-за столкновений или из-за временных или пространственных изменений. в магнитном поле. Следовательно, магнитный момент остается почти постоянным даже при изменениях со скоростью, приближающейся к гирочастоте. Когда μ является постоянным, энергия перпендикулярной частицы пропорциональна B, поэтому частицы можно нагревать, увеличивая B, но это «одноразовая сделка», потому что поле не может увеличиваться бесконечно. Он находит применение в магнитных зеркалах и магнитных баллонах.

Есть несколько важных ситуаций, в которых магнитный момент не инвариантен:

• Магнитная накачка: Если частота столкновений больше чем частота накачки, μ больше не сохраняется. В частности, столкновения позволяют получить общий нагрев за счет передачи части перпендикулярной энергии параллельной энергии.
• Циклотронный нагрев: Если B колеблется на циклотронной частоте, условие адиабатической инвариантности нарушается и нагрев возможен. В частности, индуцированное электрическое поле вращается в фазе с некоторыми частицами и непрерывно их ускоряет.
• Магнитные каспы: Магнитное поле в центре каспа исчезает, поэтому циклотронная частота автоматически меньше скорости любых изменений. Таким образом, магнитный момент не сохраняется, и частицы относительно легко рассеиваются в конусе потерь .

Второй адиабатический инвариант, J

Продольный инвариант частицы, захваченной в магнитное зеркало,

$J\; =\; \int \; abp\; \parallel \; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; p\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; ds\}$

, где интеграл между двумя точками поворота, равен также адиабатический инвариант. Это гарантирует, например, что частица в магнитосфере, движущаяся вокруг Земли, всегда возвращается к одной и той же силовой линии. Адиабатическое условие нарушается в магнитной накачке во время прохождения , когда длина магнитного зеркала колеблется с частотой отскока, что приводит к чистому нагреву.

Третий адиабатический инвариант, $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$

Полный магнитный поток $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$, окруженный дрейфовой поверхностью, равен третий адиабатический инвариант, связанный с периодическим движением захваченных зеркалами частиц, дрейфующих вокруг оси системы. Поскольку это дрейфовое движение относительно медленное, $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$часто не сохраняется в практических приложениях.

Литература

1. ^Аносов, Д.В.; Фаворский, А. П. (1988). «Адиабатический инвариант». В Hazewinkel, Michiel (ред.). Энциклопедия математики. 1 (А-В). Рейдел, Дордрехт. стр. 43–44.

• Юрграу, Вольфганг; Стэнли Мандельштам (1979). Вариационные принципы в динамике и квантовой теории. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-63773-0.§10
• Паули, Вольфганг (1973). Чарльз П. Энц (ред.). Паули Лекции по физике. 4 . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-66035-8.стр. 85–89

Внешние ссылки

• конспекты лекций по второму адиабатическому инварианту
• конспекты лекций по третьему адиабатическому инварианту