Алгебра случайных величин

Алгебра случайных величин предоставляет правила для символьного манипулирования случайными величинами, избегая при этом слишком глубокого погружения в математически сложные идеи теории вероятностей. Его символика позволяет обрабатывать суммы, произведения, соотношения и общие функции случайных величин, а также выполнять такие операции, как поиск распределений вероятностей и ожиданий (или ожидаемых значений), дисперсии и ковариации таких комбинаций. В принципе, элементарная алгебра случайных величин эквивалентна алгебре обычных неслучайных (или детерминированных) переменных. Однако изменения, происходящие в распределении вероятностей случайной величины, полученной после выполнения алгебраических операций, не являются прямыми. Следовательно, поведение различных операторов распределения вероятностей, таких как ожидаемые значения, дисперсии, ковариации и моменты, может отличаться от поведения, наблюдаемого для случайной величины с использованием символьной алгебры. Можно определить некоторые ключевые правила для каждого из этих операторов, что приводит к различным типам алгебры для случайных величин, помимо элементарной символьной алгебры: алгебра ожиданий, алгебра дисперсии, алгебра ковариаций, алгебра моментов и т. Д.

• 1 Элементарная символьная алгебра случайных величин
• 2 Алгебра ожиданий для случайных величин
• 3 Алгебра дисперсий для случайных величин
• 4 Алгебра ковариаций для случайных величин
• 5 Аппроксимации разложениями моментов в ряды Тейлора
• 6 Алгебра сложных случайных величин
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература

Рассмотрение двух случайных величин $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, возможны следующие алгебраические операции:

• Сложение : $Z\; =\; X\; +\; Y\; =\; Y\; +\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; X\; +\; Y\; =\; Y\; +\; X\}$
• Вычитание : $Z\; =\; X\; -\; Y\; =\; -\; Y\; +\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; XY\; =\; -Y\; +\; X\}$
• Multiplicatio n : $Z\; =\; XY\; =\; YX\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; XY\; =\; YX\}$
• Деление : $Z\; =\; X\; /\; Y\; =\; X\; \cdot \; (1\; /\; Y)\; =\; (1\; /\; Y)\; \cdot \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; =\; X\; /\; Y\; =\; X\; \backslash \; cdot\; (1\; /\; Y)\; =\; (1\; /\; Y)\; \backslash \; cdot\; X\}$
• Возведение в степень : $Z\; =\; XY\; =\; е\; Y\; ln\; \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; X\; ^\; \{Y\}\; =\; e\; ^\; \{Y\; \backslash \; ln\; (X)\}\}$

Во всех случаях переменная $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$в результате от каждой операции также является случайной величиной. Все свойства коммутативности и ассоциативности обычных алгебраических операций также действительны для случайных величин. Если любая из случайных величин заменяется детерминированной переменной или постоянным значением, все предыдущие свойства остаются в силе.

Ожидаемое значение $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$случайной величины $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$, полученное в результате алгебраической операции между двумя случайными величинами, может быть вычислено с использованием следующего набора правил:

• Сложение : $E\; [Z]\; =\; E\; [X\; +\; Y]\; =\; E\; [X]\; +\; E\; [Y]\; =\; E\; [Y]\; +\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [Z]\; =\; E\; [X\; +\; Y]\; =\; E\; [X]\; +\; E\; [Y]\; =\; E\; [Y]\; +\; E\; [X]\}\; »$
• Вычитание : $E\; [Z]\; =\; E\; [X\; -\; Y]\; =\; E\; [X]\; -\; E\; [Y]\; =\; -\; E\; [Y]\; +\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [Z]\; »\; =\; E\; [XY]\; =\; E\; [X]\; -E\; [Y]\; =\; -\; E\; [Y]\; +\; E\; [X]\}$
• Умножение : $E\; [Z]\; =\; E\; [XY]\; =\; E\; [\; YX]\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; [Z]\; =\; E\; [XY]\; =\; E\; [YX]\}$. В частности, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, тогда: $E\; [XY]\; =\; E\; [X]\; \cdot \; E\; [Y]\; =\; E\; [Y]\; \cdot \; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [XY]\; =\; E\; [X]\; \backslash \; cdot\; E\; [Y]\; =\; E\; [Y]\; \backslash \; cdot\; »\; E\; [X]\}$.
• Раздел : $E\; [Z]\; =\; E\; [X\; /\; Y]\; =\; E\; [X\; \cdot \; (1\; /\; Y)]\; =\; E\; [(1\; /\; Y)\; \cdot \; X]\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; E\; [Z]\; =\; E\; [X\; /\; Y]\; =\; E\; [X\; \backslash \; cdot\; (1\; /\; Y)]\; =\; E\; [(1\; /\; Y)\; \backslash \; cdot\; X]\}$. В частности, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, тогда: $E\; [X\; /\; Y\; ]\; =\; E\; [X]\; \cdot \; E\; [1\; /\; Y]\; =\; E\; [1\; /\; Y]\; \cdot \; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [X\; /\; Y]\; =\; E\; [X]\; \backslash \; cdot\; E\; [1\; /\; Y]\; =\; E\; [\; 1\; /\; Y]\; \backslash \; cdot\; E\; [X]\}$.
• Возведение в степень : $E\; [Z]\; =\; E\; [XY]\; =\; E\; [e\; Y\; ln\; \; (X)]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [Z]\; =\; E\; [X\; ^\; \{Y\}]\; =\; E\; [e\; ^\; \{Y\; \backslash \; ln\; (X)\}]\}$

Если любая из случайных величин заменяется детерминированной переменной или постоянным значением ($k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$), предыдущие свойства остаются в силе, учитывая, что $P\; [X\; =\; k]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; [X\; =\; k]\; =\; 1\}$и, следовательно,, $E\; [X]\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [X]\; =\; k\}$.

Если $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$определяется как общая нелинейная алгебраическая функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$случайной величины $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, тогда:

$E\; [Z]\; =\; E\; [f\; (X)\; ]\; \ne \; е\; (E\; [X])\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [Z]\; =\; E\; [f\; (X)]\; \backslash \; neq\; f\; (E\; [X])\}$

Вот некоторые примеры этого свойства:

• $E\; [X\; 2]\; \ne \; E\; [X]\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [X\; ^\; \{2\}]\; \backslash \; neq\; E\; [X]\; ^\; \{2\}\}$
• $E\; [1\; /\; X]\; \ne \; 1\; /\; E\; [\; Икс]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [1\; /\; X]\; \backslash \; neq\; 1\; /\; E\; [X]\}$
• $E\; [e\; X]\; \ne \; e\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [e\; ^\; \{X\}]\; \backslash \; neq\; e\; ^\; \{\; E\; [X]\}\}$
• $E\; [пер\; \; (X)]\; \ne \; пер\; \; (E\; [X])\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [\backslash \; ln\; (X)]\; \backslash \; neq\; \backslash \; ln\; (E\; [X])\}$

Точное значение математического ожидания нелинейной функции будет зависеть от конкретного распределения вероятностей случайной величины $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Дисперсия $V\; ar\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\}$случайной величины $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$, полученной в результате алгебраической операции между случайными величинами, можно вычислить с использованием следующего набора правила:

• Сложение : $V\; ar\; [Z]\; =\; V\; ar\; [X\; +\; Y]\; =\; V\; ar\; [X]\; +\; 2\; C\; ov\; [X,\; Y]\; +\; V\; ar\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Вар\; [Z]\; =\; Вар\; [X\; +\; Y]\; =\; Вар\; [X]\; +\; 2Cov\; [X,\; Y]\; +\; Вар\; [Y]\}$. В частности, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, то: $V\; ar\; [X\; +\; Y]\; =\; V\; ar\; [X]\; +\; V\; ar\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [X\; +\; Y]\; =\; Var\; [X]\; +\; Var\; [Y]\}$.
• Вычитание : $V\; ar\; [Z]\; =\; V\; ar\; [X\; -\; Y]\; =\; V\; ar\; [X]\; -\; 2\; C\; ov\; [X,\; Y]\; +\; V\; ar\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [Z]\; =\; Var\; [XY]\; =\; Var\; [\; X]\; -2Cov\; [X,\; Y]\; +\; Var\; [Y]\}$. В частности, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, тогда: $V\; ar\; [X\; -\; Y]\; =\; V\; ar\; [X]\; +\; V\; ar\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [XY]\; =\; Var\; [X]\; +\; Var\; [Y]\}$. То есть для независимых случайных величин дисперсия одинакова для сложений и вычитаний: $V\; ar\; [X\; +\; Y]\; =\; V\; ar\; [X\; -\; Y]\; =\; V\; ar\; [Y\; -\; X]\; =\; V\; ar\; [-\; X\; -\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [X\; +\; Y]\; =\; Var\; [XY]\; =\; Var\; [YX]\; =\; Var\; [-XY]\}$
• Умножение : $V\; ar\; [Z]\; =\; В\; ар\; [XY]\; =\; В\; ар\; [YX]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [Z]\; =\; Var\; [XY]\; =\; Var\; [YX]\}$. В частности, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, тогда: $V\; ar\; [XY]\; =\; E\; [X\; 2]\; \cdot \; E\; [Y\; 2]\; -\; (E\; [X]\; \cdot \; E\; [Y])\; 2\; =\; V\; ar\; [X]\; \cdot \; V\; ar\; [Y]\; +\; V\; ar\; [X]\; \cdot \; (E\; [Y])\; 2\; +\; V\; ар\; [Y]\; \cdot \; (E\; [X])\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [XY]\; =\; E\; [X\; ^\; \{2\}]\; \backslash \; cdot\; E\; [Y\; ^\; \{2\}]\; -\; (E\; [X]\; \backslash \; cdot\; E\; [Y])\; ^\; \{2\}\; =\; Var\; [X]\; \backslash \; cdot\; Var\; [Y]\; +\; Var\; [X]\; \backslash \; cdot\; (E\; [Y])\; ^\; \{2\}\; +\; Var\; [Y]\; \backslash \; cdot\; (E\; [X])\; »^\; \{2\}\}$.
• Раздел : $V\; ar\; [Z]\; =\; V\; ar\; [X\; /\; Y]\; =\; V\; ar\; [X\; \cdot \; (1\; /\; Y)]\; =\; V\; ar\; [(1\; /\; Y)\; \cdot \; Икс]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [Z]\; =\; Var\; [X\; /\; Y]\; =\; Var\; [X\; \backslash \; cdot\; (1\; /\; Y)]\; =\; Var\; [(1\; /\; Y)\; \backslash \; cdot\; X]\}$. В частности, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, тогда: $V\; ar\; [X\; /\; Y]\; =\; E\; [X\; 2]\; \cdot \; E\; [1\; /\; Y\; 2]\; -\; (E\; [X]\; \cdot \; E\; [1\; /\; Y])\; 2\; =\; V\; ar\; [X]\; \cdot \; V\; ar\; [1\; /\; Y]\; +\; V\; ar\; [X\; ]\; \cdot \; (E\; [1\; /\; Y])\; 2\; +\; V\; ar\; [1\; /\; Y]\; \cdot \; (E\; [X])\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [X\; /\; Y]\; =\; E\; [X\; ^\; \{2\}]\; \backslash \; cdot\; E\; [1\; /\; Y\; ^\; \{2\}]\; -\; (E\; [X]\; \backslash \; cdot\; E\; [1\; /\; Y])\; ^\; \{2\}\; =\; Var\; [X]\; \backslash \; cdot\; Var\; [1\; /\; Y]\; +\; Var\; [X]\; \backslash \; cdot\; (E\; [1\; /\; Y])\; ^\; \{2\}\; +\; Var\; [1\; /\; Y]\; \backslash \; cdot\; (E\; [X])\; ^\; \{2\}\}$.
• Возведение в степень : $V\; ar\; [Z]\; =\; V\; ar\; [XY]\; Знак\; равно\; V\; ар\; [е\; Y\; пер\; \; (X)]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [Z]\; =\; Var\; [X\; ^\; \{Y\}]\; =\; Var\; [e\; ^\; \{Y\; \backslash \; ln\; (X)\}]\}$

где $C\; ov\; [X,\; Y]\; =\; C\; ov\; [Y,\; X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [X,\; Y]\; =\; Cov\; [Y,\; X]\}$представляет оператор ковариации между случайными величинами $X\; \{\; \backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$.

Дисперсия случайной величины также может быть выражена непосредственно в терминах ковариации или в терминах ожидаемого значения:

$V\; ar\; [X]\; =\; C\; ov\; (X,\; X)\; =\; E\; [X\; 2]\; -\; E\; [X]\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Var\; [X]\; =\; Cov\; (X,\; X)\; =\; E\; [X\; ^\; \{2\}]\; -\; E\; [X]\; ^\; \{2\}\}$

Если любая из случайных величин заменена детерминированной переменной или постоянное значение ($k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$), предыдущие свойства остаются в силе, учитывая, что $P\; [X\; =\; k]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; [X\; =\; k]\; =\; 1\}$и $E\; [X]\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [X]\; =\; k\}$, $V\; ar\; [X]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [X]\; =\; 0\}$и $C\; ov\; [Y,\; k]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Y,\; k]\; =\; 0\}$. Особыми случаями являются сложение и умножение случайной величины на детерминированную переменную или константу, где:

• $V\; ar\; [X\; +\; Y]\; =\; V\; ar\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [X\; +\; Y]\; =\; Var\; [Y]\; ]\}$
• $V\; ar\; [k\; Y]\; =\; k\; 2\; V\; ar\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [kY]\; =\; k\; ^\; \{2\}\; Var\; [Y]\}$

Если $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$определяется как общая нелинейная алгебраическая функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$случайной величины $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, тогда:

$V\; ar\; [Z]\; =\; V\; ar\; [f\; (X)]\; \ne \; f\; (V\; ar\; [X])\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [Z]\; =\; Var\; [f\; (X)]\; \backslash \; neq\; f\; (Var\; [\; X])\}$

Точное значение дисперсии нелинейной функции будет зависеть от конкретного распределения вероятностей случайной величины $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Ковариация ($C\; ov\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\}$) между случайной величиной $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$, полученной в результате алгебраической операции, и случайной переменная $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$можно вычислить с использованием следующего набора правил:

• Сложение : $C\; ov\; [Z,\; X]\; =\; C\; ov\; [X\; +\; Y,\; X]\; =\; V\; ar\; [X]\; +\; C\; ov\; [\; X,\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X]\; =\; Cov\; [X\; +\; Y,\; X]\; =\; Var\; [X]\; +\; Cov\; [X,\; Y]\}$. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, то: $C\; ov\; [X\; +\; Y,\; X]\; =\; V\; ar\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [X\; +\; Y,\; X]\; =\; Var\; [X]\}$.
• Вычитание : $C\; ov\; [Z,\; X]\; =\; C\; ov\; [X\; -\; Y,\; X]\; =\; V\; ar\; [X]\; -\; C\; ov\; [X,\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X]\; =\; Cov\; [XY,\; X]\; =\; Var\; [X]\; -Cov\; [X,\; Y\; ]\}$. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$независимы друг от друга, то: $C\; ov\; [X\; -\; Y,\; X]\; =\; V\; ar\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [XY,\; X]\; =\; Var\; [X]\}$.
• Умножение : $C\; ov\; [Z,\; X]\; =\; C\; ov\; [XY,\; X]\; =\; E\; [X\; 2\; Y]\; -\; E\; [XY]\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X]\; =\; Cov\; [XY,\; X]\; =\; E\; [X\; ^\; \{2\}\; Y]\; -E\; [XY]\; E\; [X]\; \}$. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$не зависят друг от друга, то: $C\; ov\; [XY,\; X]\; =\; V\; ar\; [X]\; \cdot \; E\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [XY,\; X]\; =\; Var\; [X]\; \backslash \; cdot\; E\; [Y]\}$.
• Деление (ковариация относительно числителя): $C\; ov\; [Z,\; X]\; =\; C\; ov\; [X\; /\; Y,\; X]\; =\; E\; [X\; 2\; /\; Y]\; -\; E\; [X\; /\; Y]\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X]\; =\; Cov\; [X\; /\; Y,\; X]\; =\; E\; [X\; ^\; \{2\}\; /\; Y]\; -E\; [X\; /\; Y]\; E\; [X]\}$. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$не зависят друг от друга, то: $C\; ov\; [X\; /\; Y,\; X]\; =\; V\; ar\; [X]\; \cdot \; E\; [1\; /\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [X\; /\; Y,\; X]\; =\; Var\; [X]\; \backslash \; cdot\; E\; [1\; /\; Y]\}$.
• Деление (ковариация с относительно знаменателя): $C\; ov\; [Z,\; X]\; =\; C\; ov\; [Y\; /\; X,\; X]\; =\; E\; [Y]\; -\; E\; [Y\; /\; X]\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X\; ]\; =\; Cov\; [Y\; /\; X,\; X]\; =\; E\; [Y]\; -E\; [Y\; /\; X]\; E\; [X]\}$. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$не зависят друг от друга, то: $C\; ov\; [Y\; /\; X,\; Икс]\; знак\; равно\; E\; [Y]\; \cdot \; (1\; -\; E\; [X]\; \cdot \; E\; [1\; /\; X])\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Y\; /\; X,\; X]\; =\; E\; [Y]\; \backslash \; cdot\; (1-E\; [X]\; \backslash \; cdot\; E\; [1\; /\; X])\}$.
• Возведение в степень (ковариация относительно основания): $C\; ov\; [Z,\; X]\; =\; C\; ov\; [XY,\; X]\; =\; E\; [XY\; +\; 1]\; -\; E\; [XY]\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X]\; =\; Cov\; [X\; ^\; \{Y\},\; X]\; =\; E\; [X\; ^\; \{Y\; +\; 1\}]\; -\; E\; [X\; ^\; \{Y\}]\; E\; [\; X]\}$.
• Возведение в степень (ковариация по степени): $C\; ov\; [Z,\; X]\; =\; C\; ov\; [YX,\; X]\; =\; E\; [XYX]\; -\; E\; [YX]\; E\; [X\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X]\; =\; Cov\; [Y\; ^\; \{X\},\; X]\; =\; E\; [XY\; ^\; \{X\}]\; -\; E\; [Y\; ^\; \{X\}]\; E\; [X]\}$.

Ковариация случайную величину также можно выразить непосредственно через математическое ожидание:

$C\; ov\; (X,\; Y)\; =\; E\; [XY]\; -\; E\; [X]\; E\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; (X,\; Y)\; =\; E\; [XY]\; -E\; [X]\; E\; [Y]\}$

Если любая из случайных величин заменяется детерминированной переменной или постоянным значением ($k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$), предыдущие свойства остаются в силе, учитывая, что $E\; [k]\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [k]\; =\; k\}$, $V\; ar\; [k]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [k]\; =\; 0\}$и $C\; ov\; [X,\; k]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [X,\; k]\; =\; 0\}$.

Если $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$определяется как общий не- линейная алгебраическая функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$случайной величины $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, тогда:

$C\; ov\; [Z,\; X]\; Знак\; равно\; C\; ov\; [е\; (X),\; X]\; =\; E\; [X\; f\; (X)]\; -\; E\; [f\; (X)]\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z,\; X]\; =\; Cov\; [f\; (X),\; X\; ]\; =\; E\; [Xf\; (X)]\; -\; E\; [f\; (X)]\; E\; [X]\}$

Точное значение дисперсии нелинейной функции будет зависеть от конкретного распределения вероятностей случайной величины $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Если моменты некоторой случайной величины $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$известны (или могут быть определены интегрированием, если известна функция плотности вероятности ), то можно аппроксимировать ожидаемое значение ue любой общей нелинейной функции $f\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\}$как разложения моментов в ряд Тейлора следующим образом:

$е\; (Х)\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; N!\; (dnfd\; Икс\; N)\; Икс\; знак\; равно\; \mu \; (Икс\; -\; \mu )\; n\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (X)\; =\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; (X-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\}\}$, где $\mu \; =\; E\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; E\; [X]\}$- среднее значение $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

$E\; [f\; (X)\; ]\; =\; E\; (\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; n!\; (Dnfd\; X\; n)\; X\; =\; \mu \; (X\; -\; \mu )\; n)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; n!\; (d\; n\; f\; d\; X\; n)\; X\; =\; \mu \; E\; [(X\; -\; \mu )\; n]\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; n!\; (dnfd\; Икс\; N)\; Икс\; знак\; равно\; \mu \; \mu \; N\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; [f\; (X)]\; =\; E\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; над\; n!\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; (X-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; biggr)\; \}\; =\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; n!\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\; \}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; E\; [(X-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\}]\; =\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (X)\}$, где $\mu \; N\; (X)\; =\; E\; [(X\; -\; \mu )\; n]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (X)\; =\; E\; [(X-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\}]\}$- n-й момент $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$относительно его среднего значения. Обратите внимание, что по их определению $\mu \; 0\; (X)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; (X)\; =\; 1\}$и $\mu \; 1\; (X)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; (X)\; =\; 0\}$. Член первого порядка всегда равен нулю, но был сохранен для получения выражения в замкнутой форме.

Тогда

$E\; [f\; (X)]\; \approx \; \sum \; n\; =\; 0\; n\; m\; a\; x\; 1\; n!\; (dnfd\; Икс\; N)\; Икс\; знак\; равно\; \mu \; \mu \; N\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; [F\; (X)]\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{n\_\; \{max\}\}\; \backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; n!\; \}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (X)\}$, где расширение Тейлора усекается после $nmax\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{max\}\}$-го момента.

В частности, для функций нормальных случайных величин, можно получить разложение Тейлора в терминах стандартного нормального распределения :

$f\; (X)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \sigma \; nn!\; (dnfd\; Икс\; N)\; Икс\; =\; \mu \; \mu \; N\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\; =\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; n!\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (Z)\}$, где $Икс\; \sim \; N\; (\mu ,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; N\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$- нормальная случайная величина, а $Z\; \sim \; N\; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \backslash \; sim\; N\; (0,1)\}$- стандартное нормальное распределение. Таким образом,

$E\; [f\; (X)]\; \approx \; \sum \; n\; =\; 0\; n\; m\; a\; x\; \sigma \; n\; n!\; (dnfd\; Икс\; N)\; Икс\; знак\; равно\; \mu \; \mu \; N\; (Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; [f\; (X)]\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{n\_\; \{max\}\}\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{n\; \}\; \backslash \; over\; n!\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (Z)\}$, где моменты стандартного нормального распределения задаются как:

$\mu \; n\; (Z)\; =\; \{\prod \; i\; =\; 1\; n\; /\; 2\; (2\; i\; -\; 1),\; если\; n\; равно\; 0,\; если\; n\; равно\; нечетное\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (Z)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; /\; 2\}\; (2i-1),\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\; \backslash \; text\; \{четно\}\}\; \backslash \backslash \; 0,\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{нечетно\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Аналогично для нормальных случайных величин также можно приблизить дисперсия нелинейной функции в виде разложения в ряд Тейлора:

$V\; ar\; [f\; (X)]\; \approx \; \sum \; n\; =\; 1\; nmax\; (\sigma \; nn!\; (dnfd\; X\; n)\; X\; =\; \mu )\; 2\; V\; ar\; [Z\; n]\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; nmax\; \sum \; m\; \ne \; n\; \sigma \; n\; +\; mn!\; м!\; (dnfd\; Икс\; N)\; Икс\; знак\; равно\; \mu \; (dmfd\; Икс\; м)\; Икс\; =\; \mu \; C\; ov\; [Z\; n,\; Z\; m]\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [f\; (X)]\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{n\_\; \{max\}\}\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; n!\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{\; Икс\; =\; \backslash \; му\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; ^\; \{2\}\; Вар\; [Z\; ^\; \{n\}]\; +\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{n\_\; \{max\}\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \backslash \; neq\; n\}\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{n\; +\; m\}\; \backslash \; over\; \{n!\; m!\}\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{\; X\; =\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{d\; ^\; \{m\}\; f\; \backslash \; over\; dX\; ^\; \{m\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \_\; \{X\; =\; \backslash \; mu\}\; Cov\; [Z\; ^\; \{n\},\; Z\; ^\; \{m\}\; ]\}$, где

$V\; ar\; [Z\; n]\; =\; \{\prod \; i\; =\; 1\; n\; (2\; i\; -\; 1)\; -\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; /\; 2\; (2\; i\; -\; 1)\; 2,\; если\; n\; четное\; \prod \; я\; =\; 1\; N\; (2\; я\; -\; 1),\; если\; n\; нечетное\; \{\backslash \; displaystyle\; Var\; [Z\; ^\; \{n\}]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (2i\; -1)\; -\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; /\; 2\}\; (2i-1)\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{четно\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (2i-1),\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{нечетное\}\}\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$и

$C\; ov\; [Z\; n,\; Z\; m]\; =\; \{\prod \; i\; =\; 1\; (n\; +\; m)\; /\; 2\; (2\; i\; -\; 1)\; -\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; /\; 2\; (2\; i\; -\; 1)\; \prod \; j\; =\; 1\; m\; /\; 2\; (\; 2\; j\; -\; 1),\; если\; n\; и\; m\; четны\; \prod \; i\; =\; 1\; (n\; +\; m)\; /\; 2\; (2\; i\; -\; 1),\; если\; n\; и\; m\; нечетные\; 0,\; в\; противном\; случае\; \{\backslash \; displaystyle\; Cov\; [Z\; ^\; \{n\},\; Z\; ^\; \{m\}]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{(n\; +\; m)\; /\; 2\}\; (2i-1)\; -\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; /\; 2\}\; (2i-1)\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{m\; /\; 2\}\; (2j-1),\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; m\; \{\backslash \; text\; \{четные\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{(n\; +\; m)\; /\; 2\}\; (2i-1),\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; m\; \{\backslash \; text\; \{нечетные\}\}\; \backslash \backslash \; 0,\; \{\backslash \; text\; \{иначе\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

В алгебраической аксиоматизации теории вероятностей первичным понятием является не вероятность события, а скорее то, что случайной величины. Распределения вероятностей определяются путем присвоения математического ожидания каждой случайной переменной. измеримое пространство и вероятностная мера возникают из случайных величин и ожиданий с помощью хорошо известных теорем представления анализа. Одна из важных особенностей алгебраического подхода состоит в том, что очевидно бесконечномерные распределения вероятностей не сложнее формализовать, чем конечномерные.

Предполагается, что случайные переменные обладают следующими свойствами:

1. комплексные константы возможны реализации случайной величины;
2. сумма двух случайных величин является случайной величиной;
3. произведение двух случайных величин является случайной величиной;
4. сложение и умножение случайных величин являются коммутативными ; и
5. существует понятие сопряжения случайных величин, удовлетворяющее (XY) = YX и X = X для всех случайных величин X, Y и совпадающее с комплексным сопряжением, если X является константой.

Это означает что случайные величины образуют сложные коммутативные * -алгебры. Если X = X, то случайная величина X называется «реальной».

Математическое ожидание E на алгебре A случайных величин является нормализованным положительным линейным функционалом. Это означает, что

1. E [k] = k, где k - постоянная;
2. E [XX] ≥ 0 для всех случайных величин X;
3. E [X + Y] = E [X] + E [Y] для всех случайных величин X и Y; и
4. E [kX] = kE [X], если k является константой.

Можно обобщить эту установку, позволяя алгебре быть некоммутативной. Это приводит к другим областям некоммутативной вероятности, таким как квантовая вероятность, теория случайных матриц и свободная вероятность.

• Взаимосвязи между распределениями вероятностей
• Распределение отношения
  • распределение Коши
  • Распределение косой черты
• Обратное распределение
• Распределение продукта
• преобразование Меллина
• Сумма нормально распределенных случайных величин
• Список сверток распределений вероятностей - вероятностная мера суммы независимых случайных величин - это свертка их вероятностных мер.
• Закон общего ожидания
• Закон полной дисперсии
• Закон полной ковариации
• Закон полной совокупности
• Разложения Тейлора для моментов функций случайных величин

1. ^Эрнандес, Хьюго (2016). «Моделирование эффекта флуктуации в нелинейных системах с помощью дисперсионной алгебры - Приложение к светорассеянию идеальных газов». Отчеты об исследованиях ForsChem. 2016-1. doi : 10.13140 / rg.2.2.36501.52969.

• Уиттл, Питер (2000). Вероятность через ожидание (4-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98955-6. Проверено 24 сентября 2012 г.
• Спрингер, Мелвин Дейл (1979). Алгебра случайных величин. Уайли. ISBN 0-471-01406-0. Проверено 24 сентября 2012 г.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]