A распределение продукта - это распределение вероятностей, построенное как распределение продукта из случайных величин, имеющих два других известных распределения. Для двух статистически независимых случайных величин X и Y распределение случайной величины Z, которое формируется как продукт
, является распределением продукта.
Содержание
- 1 Алгебра случайных величин
- 2 Вывод независимых случайных величин
- 2.1 Доказательство
- 2.2 Альтернативное доказательство
- 2.3 Байесовская интерпретация
- 3 Ожидание произведения случайных величин
- 4 Дисперсия произведения независимых случайных величин
- 5 Характеристическая функция произведения случайных величин
- 6 Преобразование Меллина
- 7 Особые случаи
- 7.1 Логнормальные распределения
- 7.2 Равномерно распределенные независимые случайные величины
- 7.3 Независимые центрально-нормальные распределения
- 7.4 Коррелированные центральные нормальные распределения
- 7.5 Коррелированные нецентральные нормальные распределения
- 7.6 Независимые комплексные центрально-нормальные распределения
- 7.7 Независимые комплексные нецентральные нормальные распределения
- 7.8 Гамма-распределения
- 7.9 Бета-распределения
- 7.10 Равномерные и гамма-распределения
- 7.11 Гамма-распределения и распределения Парето
- 8 В теоретической информатике
- 9 См. Также
- 10 Примечания
- 11 Источники
Алгебра случайных чисел v ariables
Продукт представляет собой один из типов алгебры для случайных величин: с распределением продукта связаны распределение соотношений, распределение сумм (см. Список сверток распределений вероятностей ) и разностного распределения. В более общем плане можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и соотношений.
Многие из этих распределений описаны в книге Мелвина Д. Спрингера 1979 г. «Алгебра случайных величин».
Вывод независимых случайных величин
Если и - две независимые непрерывные случайные величины, описываемые функциями плотности вероятности и , то функция плотности вероятности is
Доказательство
Сначала мы записываем кумулятивную функцию распределения из начиная с его определения
Находим желаемое веселье плотности вероятности ction, взяв производную от обеих сторон по . Поскольку в правой части появляется только в пределах интегрирования, производная легко вычисляется с использованием основной теоремы исчисления и правило цепочки. (Обратите внимание на отрицательный знак, который необходим, когда переменная встречается в нижнем пределе интегрирования.)
где абсолютное значение используется для удобного объединения двух терминов.
Альтернативное доказательство
Более быстрое и компактное доказательство начинается с того же шага написания кумулятивного распределения , начиная с его определения:
где - это ступенчатая функция Хевисайда, служащая для ограничения области интегрирования значениями и удовлетворяющий .
Мы находим желаемую функцию плотности вероятности, взяв производную от обе стороны относительно .
где мы используем свойства преобразования и масштабирования дельта-функции Дирака .
Более интуитивное описание процедуры показано на рисунке ниже. Совместное pdf существует в -плоскость и дуга постоянного значения показаны в виде заштрихованной линии. Чтобы найти предельную вероятность на этой дуге, проинтегрируйте по приращениям площади на этом контуре.
Диаграмма, иллюстрирующая распределение продукта двух переменных.
Начиная с , мы имеем . Таким образом, приращение вероятности составляет . Поскольку подразумевает , мы можем связать приращение вероятности к -инкремент, а именно . Затем интегрирование по дает .
А Байесовская интерпретация
Пусть будет случайной выборкой, взятой из распределения вероятностей . Масштабирование на генерирует выборку из масштабированного распределения , которое можно записать как условное распределение .
Пусть будет случайной величиной с pdf , распределение масштабированной выборки становится и интегрируя , получаем , поэтому берется из этого распределение . Однако, заменяя определение , мы также получаем который имеет ту же форму, что и распределение продукта над. Таким образом, байесовское апостериорное распределение является распределением произведения двух независимых случайных выборок и .
Для случая, когда одна переменная дискретна, пусть имеет вероятность на уровнях с . Условная плотность: . Следовательно, .
Ожидание произведения случайных величин
Когда две случайные величины статистически независимы, ожидание их произведения является произведением их ожидания . Это может быть доказано с помощью Закона общего ожидания :
Во внутреннем выражении Y является константой. Следовательно:
Это верно, даже если X и Y статистически зависимы. Однако в целом является функцией Y. В частном случае в где X и Y статистически независимы, это константа, не зависящая от Y. Следовательно:
Дисперсия произведения независимых случайных величин
Пусть будут некоррелированными случайными величинами со средними и дисперсии . Дисперсия произведения XY равна
В случае произведения более двух переменных, если статистически независимы, тогда дисперсия их продукта составляет
Характеристическая функция произведения случайных величин
Предположим, что X, Y - независимые случайные величины. Характеристическая функция X равна , и распределение Y известно. Тогда из закона полного ожидания мы имеем
Если известны характеристические функции и распределения как X, так и Y, то в качестве альтернативы также имеет место.
преобразование Меллина
преобразование Меллина распределения только с поддержкой на и случайная выборка равна
Обратное преобразование:
если являются двумя независимыми случайными выборками из разных распределений, то преобразование Меллина их продукта равно произведению их преобразований Меллина:
Если s ограничено целыми значениями, более простой результат:
Таким образом, моменты случайного произведения являются произведение соответствующих моментов , и это распространяется на нецелочисленные моменты, например
- .
PDF функции может быть восстановлен по ее моментам с помощью метода аппроксимации седловой точки.
Еще один результат: для независимого X Y
Пример гамма-распределения Чтобы проиллюстрировать, как произведение моментов дает гораздо более простой результат, чем нахождение моментов распределения произведения, пусть выбирается из двух гамма-распределений, с параметрами , моменты которых
Умножение соответствующих моментов дает результат преобразования Меллина
Независимо, известно, что произведение двух независимых гамма-выборок имеет распределение
- .
Чтобы найти моменты этого, сделайте замену переменной , упрощая аналогичные интегралы до:
таким образом
Определенный интеграл
- хорошо задокументирован, и, наконец, мы имеем
который, после некоторых трудностей, согласился с результатом продукта момента выше.
Если X, Y строятся независимо от гамма-распределения с элементами формы , то
Этот тип результата универсально верен, поскольку для двумерных независимых независимых производителей таким образом
или, что эквивалентно, ясно, что - независимые переменные.
Особые случаи
Логнормальные распределения
Распределение произведений двух случайных величин, которые имеют логнормальные распределения, снова является логнормальным. Это сам по себе частный случай более общего набора результатов, где логарифм произведения может быть записан как сумма логарифмов. Таким образом, в тех случаях, когда простой результат может быть найден в списке сверток распределения вероятностей, где сворачиваемое распределение распределений логарифмов компонентов продукта, результат может быть преобразован в обеспечение распространения продукта. Однако этот подход полезен только тогда, когда логарифмы компонентов продукта входят в некоторые стандартные стандартные распределители.
Равномерно распределенные независимые случайные величины
Пусть работа двух независимых независимых , каждый из которых равномерно распределен на интервале [0,1], возможно, результат преобразования копулы. Как отмечалось выше в разделе «Логнормальные распределения», операции свертки PDF в домене соответствуют произведению значений выборки в исходном домене. Таким образом, выполняя преобразование , такое, что , каждая вариация распределяется независимо от u как
, а свертка двух распределений - автосвертка
Затем повторно преобразуйте переменную в , получив распределение
- на интервале [0,1]
Для произведений нескольких (>2) независимых выборок характерная функция маршрут использования благоприятным. Если мы определим , тогда выше - это Гамма-распределение формы 1 и масштабного коэффициента 1, , и его известный CF равен . Обратите внимание, что , поэтому якобиан равенство единице.
Свертка независимый выбор из поэтому имеет CF , который, как известно, CF гамма-распределения формы :
- .
Выполнение обратного преобразования получаем PDF продукта n образцов:
Следующий, более простой вывод из Stackexchange согласуется с этим результатом. Прежде всего, если , его CDF будет
Плотность
Умножение на третью независимую выборку дает функцию распределения
Взяв про изводную, получаем
T Автор заметки предполагает, что в общем случае
Геометрия распределения произведения двух случайных величин в единичном квадрате.
Рисунокет природу интегралов, указанный выше. Заштрихованная область представляет внутри единичного квадрата и ниже линии z = xy CDF z. Это делится на две части. Первый - для 0 < x < z where the increment of area in the vertical slot is just equal to dx. The second part lies below the xy line, has y-height z/x, and incremental area dx z/x.
независимых центрально-нормальных распределений
Произведение двух независимых нормальных выборок модифицированной функции Бесселя. Пусть будет выборкой из нормального (0,1) распределения и . Тогда
. Дисперсия этого распределения в принципе может быть определена с помощью определенного интеграла Градшейна и Рыжика,
таким образом
Гораздо более простой результат, изложенный в разделе выше, состоит в том, что дисперсия независимых выборок с нулевым средним равным продуктом их
Коррелированные центрально-нормальные распределения
Случай коррелированных нормальных выборок недавно рассмотрен Надараджахой и Погани. будет нулевым средним, единичной дисперсией, нормально распределенными переменн ыми с коэффициентом корреляции
Тогда
Среднее и дисперсия : Для среднего мы имеем из определения коэффициентов корреляции. Дисперсия может быть найдена путем преобразования двух некоррелированных чисел U, V с нулевым средним значением. Пусть
Тогда X, Y - переменные единичной дисперсии с коэффициентом корреляции и
Удачных членов нечетной степени, ожидания, очевидно, равны нулю, получаем
Так как имеем
Асимптота с высокой корреляцией В случае сильной корреляции, произведение сходится в квадрате одной выборки. В этом случае асимптота равна и.
который представляет собой распределение хи-квадрат с одной степенью свободы.
Несколько коррелированных выборок . Nadarajaha et. al. показать, что если iid случайных величин, взятых из и - их среднее значение, тогда.
где W - функция Уиттекера, а .
Используя тождество см. например компиляцию DLMF. уравнение (13.13.9), это выражение можно несколько упростить до
PDF дает распределение выборочной ковариации.
Множественные коррелированные нецентральные выборки . Распределение продукта коррелированных нецентральных нормальных выборок было получено Cui et.al. и принимает вид бесконечного ряда модифицированных функций Бесселя первого рода.
Моменты произведения коррелированных центральных нормальных выборок
Для центрального нормального распределения N (0,1) моменты
где обозначает двойной факториал.
Если - центральные коррелированные переменные, простейший двумерный случай многомерной нормальной проблемы моментов, описанной Каном, тогда
где
- - коэффициент корреляции, а
[требуется проверка]
Коррелированные нецентральные нормальные распределения
Распределение продукта нецентральных коррелированных нормальных выборок было получено Cui et al. и принимает форму бесконечного ряда.
Эти распределения продуктов в некоторой степени сопоставимы с распределением Уишарта. Последний представляет собой совместное распределение четырех элементов (фактически только трех независимых элементов) выборочной ковариационной матрицы. Если являются выборками из двумерного временного ряда, то - матрица Уишарта с K степенями свободы. Приведенные выше распределения продуктов представляют собой безусловное распределение совокупности K>1 выборок из .
Независимых комплексных центрально-нормальных распределений
Пусть являются независимыми выборками из нормальное (0,1) распределение.. Установка являются независимые комплексные нормальные выборки с нулевым средним и круговой симметрией. Их комплексные отклонения:
Функции плотности
- - это распределения Рэлея, определенные как: