Список сверток вероятностных распределений

редактировать

Статья списка Википедии

В теории вероятностей, распределение вероятностей суммы двух или более независимые случайные величины - это свертка их индивидуальных распределений. Термин мотивирован тем фактом, что функция массы вероятности или функция плотности вероятности суммы независимых случайных величин является сверткой их соответствующих функций массы вероятности или функции плотности вероятности соответственно. Многие известные дистрибутивы имеют простые свертки. Ниже приводится список этих сверток. Каждый оператор имеет форму

∑ i = 1 n X i ∼ Y {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ sim Y}

\ sum _ {{i = 1} } ^ {n} X_ {i} \ sim Y

где $X 1, X 2,…, X n {\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$ - независимые случайные величины, а $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ - это распределение, которое получается в результате свертки $X 1, X 2,…, X n {\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$ . Вместо $X i {\ displaystyle X_ {i}}$ $X_ {i}$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ указаны названия соответствующих распределений и их параметры..

Содержание

1 Дискретные распределения
2 Непрерывные распределения
3 См. Также
4 Ссылки

Дискретные распределения

$∑ i = 1 n Бернулли (p) ∼ B inomial (n, p) 0 < p < 1 n = 1, 2, … {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Bernoulli} (p)\sim \mathrm {Binomial} (n,p)\qquad 0$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Bernoulli} (p) \ sim \ mathrm {Binomial} (n, p) \ qquad 0 <p <1 \ quad n = 1,2, \ dots}$
$∑ i = 1 n B иноминальное (ni, p) ∼ B иноминальное (∑ i = 1 nni, p) 0 < p < 1 n i = 1, 2, … {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Binomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {Binomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Binomial} (n_ {i}, p) \ sim \ mathrm {Binomial} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} n_ {i}, p \ right) \ qquad 0 <p <1 \ quad n_ {i} = 1,2, \ точки}$
$∑ i = 1 n N egative B иноминальное (ni, p) ∼ Отрицательный B, иноминальный (∑ i = 1 nni, p) 0 < p < 1 n i = 1, 2, … {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {NegativeBinomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {NegativeBinomial} (n_ { i}, p) \ sim \ mathrm {NegativeBinomial} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} n_ {i}, p \ right) \ qquad 0 <p <1 \ quad n_ {i} = 1,2, \ dots}$
$∑ i = 1 n G eometric (p) ∼ N egative B, inomial (n, p) 0 < p < 1 n = 1, 2, … {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Geometric} (p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} (n,p)\qquad 0$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Geometric} (p) \ sim \ mathrm {NegativeBinomial} (n, p) \ qquad 0 <p <1 \ quad n = 1,2, \ dots}$
$∑ i = 1 n P oisson (λ я) ∼ P oisson (∑ я = 1 N λ я) λ я>0 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Poisson} (\ lambda _ {i}) \ sim \ mathrm {Пуассон} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right) \ qquad \ lambda _ {i}>0}$ $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad \lambda _{i}>0$

Непрерывные распределения

$n i = Нормальный (μ i, σ i 2) ∼ Нормальный (∑ i = 1 n μ i, ∑ i = 1 n σ i 2) - ∞ < μ i < ∞ σ i 2>0 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Normal} (\ mu _ {i}, \ sigma _ {i} ^ {2}) \ sim \ mathrm {Normal} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu _ {i}, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sigma _ {i} ^ {2} \ right) \ qquad - \ infty <\mu _{i}<\infty \quad \sigma _{i}^{2}>0}$ $\sum _{{i=1}}^{n}{\mathrm {Normal}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2})\sim {\mathrm {Normal}}\left(\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\sum _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \sigma _{i}^{2}>0$
$∑ я знак равно 1 N C аши (ai, γ i) ∼ C auchy (∑ i = 1 nai, ∑ я = 1 n γ i) - ∞ < a i < ∞ γ i>0 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Cauchy} (a_ {i}, \ gamma _ {i}) \ sim \ mathrm {Cauchy} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ gamma _ {i} \ right) \ qquad - \ infty 0}$ $\sum _{{i=1}}^{n}{\mathrm {Cauchy}}(a_{i},\gamma _{i})\sim {\mathrm {Cauchy}}\left(\sum _{{i=1}}^{n}a_{i},\sum _{{i=1}}^{n}\gamma _{i}\right)\qquad -\infty <a_{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0$
$∑ i = 1 n Gamma (α i, β) ∼ Gamma ( ∑ я знак равно 1 N α я, β) α я>0 β>0 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Gamma} (\ alpha _ {i}, \ beta) \ sim \ mathrm {Gamma} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}, \ beta \ right) \ qquad \ alpha _ {i}>0 \ quad \ beta>0}$ $\sum _{{i=1}}^{n}{\mathrm {Gamma}}(\alpha _{i},\beta)\sim {\mathrm {Gamma}}\left(\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i},\beta \right)\qquad \alpha _{i}>0 \ quad \ beta>0$
$∑ i = 1 n E xponential (θ) ∼ G amma (n, θ) θ>0 n = 1, 2,… {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Exponential} (\ theta) \ sim \ mathrm {Gamma} (n, \ theta) \ qquad \ theta>0 \ quad n = 1,2, \ dots}$ $\sum _{{i=1}}^{n}{\mathrm {Exponential}}(\theta)\sim {\mathrm {Gamma}}(n,\theta)\qquad \theta>0 \ quad n = 1,2, \ dots$
$∑ i = 1 n χ 2 (ri) ∼ χ 2 (∑ i = 1 nri) ri = 1, 2,… {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi ^ {2} (r_ {i}) \ sim \ chi ^ {2} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} \ right) \ qquad r_ {i} = 1, 2, \ точки}$ $\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ chi ^ { 2} (r_ {i}) \ sim \ chi ^ {2} \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} r_ {i} \ right) \ qquad r_ {i} = 1,2, \ dots$
$∑ я знак равно 1 р N 2 (0, 1) ∼ χ р 2 р = 1, 2,… {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} N ^ {2 } (0,1) \ sim \ chi _ {r} ^ {2} \ qquad r = 1,2, \ dots}$ $\ sum _ {{i = 1}} ^ {r} N ^ {2} (0,1) \ sim \ chi _ {r} ^ {2} \ qquad r = 1,2, \ dots$
$∑ i = 1 n (X i - X ¯) 2 ∼ σ 2 χ n - 1 2, {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} \ sim \ sigma ^ {2} \ chi _ {n-1} ^ {2}, \ quad}$ $\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (X_ {i} - {\ bar X}) ^ {2} \ sim \ sigma ^ {2} \ chi _ {{n-1}} ^ {2}, \ quad$ где $X 1,…, X n {\ displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n }}$ $X_ {1}, \ точки, X_ {n}$ - случайная выборка из $N (μ, σ 2) {\ displaystyle N (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ $N (\ mu, \ sigma ^ {2})$ и $X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i. {\ displaystyle {\ bar {X}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}.}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}. }$

См. также

Литература

Hogg, Robert V. ; Маккин, Джозеф В.; Крейг, Аллен Т. (2004). Введение в математическую статистику (6-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 692. ISBN 978-0-13-008507-8. MR 0467974.