Закон полной ковариации

редактировать

В теории вероятностей, закон полной ковариации, формула разложения ковариации или формула условной ковариации утверждают, что если X, Y и Z являются случайными величинами в одном и том же вероятностном пространстве, а ковариация X и Y конечна, то

cov ⁡ (X, Y) = E (cov ⁡ (X, Y Z)) + cov ⁡ (E ⁡ (X ∣ Z), E ⁡ (Y ∣ Z)). {\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = \ operatorname {E} (\ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)) + \ operatorname {cov} (\ operatorname {E} (X \ mid Z), \ operatorname {E} (Y \ mid Z)).}

{\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = \ operatorname {E} (\ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)) + \ operatorname {cov} (\ operatorname {E} (X \ mid Z), \ operatorname {E} (Y \ mid Z)).}

Номенклатура в заголовке этой статьи соответствует фразе закон полной дисперсии. Некоторые авторы теории вероятностей называют это «формулой условной ковариации » или используют другие названия.

(условные ожидаемые значения E (X | Z) и E (Y | Z) являются случайными величинами, значения которых зависят от значения Z. Обратите внимание, что условное ожидаемое значение X учитывая, что событие Z = z является функцией z. Если мы пишем E (X | Z = z) = g (z), то случайная величина E (X | Z) равна g (Z). Аналогичные комментарии относятся к условной ковариации.)

Содержание

1 Доказательство
2 См. также
3 Примечания и ссылки
4 Внешние ссылки

Доказательство

Закон полной ковариации можно доказать, используя закон общего ожидания : Во-первых,

cov ⁡ [X, Y] = E ⁡ [XY] - E ⁡ [X] E ⁡ [Y] {\ displaystyle \ operatorname {cov} [ X, Y] = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y]}

\ operatorname {cov} [X, Y] = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname { E} [Y]

из простого стандартного тождества ковариаций. Затем мы применяем закон полного ожидания, обусловливая случайную величину Z:

= E ⁡ [E ⁡ [XY ∣ Z]] - E ⁡ [E ⁡ [X ∣ Z]] E ⁡ [E ⁡ [Y ∣ Z]] {\ displaystyle = \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [XY \ mid Z]] - \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [Y \ mid Z]]}

= \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [XY \ mid Z]] - \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [ Y \ mid Z]]

Теперь мы перепишем член внутри первого математического ожидания, используя определение ковариации:

= E [cov ⁡ [X, Y ∣ Z] + E ⁡ [Икс ∣ Z] E ⁡ [Y ∣ Z]] - E ⁡ [E ⁡ [X ∣ Z]] E ⁡ [E ⁡ [Y ∣ Z]] {\ displaystyle = \ operatorname {E} \! \ Left [ \ operatorname {cov} [X, Y \ mid Z] + \ operatorname {E} [X \ mid Z] \ operatorname {E} [Y \ mid Z] \ right] - \ operatorname {E} [\ operatorname {E } [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [Y \ mid Z]]}

= \ operatorname {E} \! \ Left [\ operatorname {cov} [X, Y \ mid Z] + \ operatorname {E} [X \ mid Z] \ operatorname {E} [Y \ mid Z] \ right] - \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [Y \ mid Z]]

Поскольку ожидание суммы является суммой ожиданий, мы можем перегруппировать члены:

= E [cov ⁡ [X, Y Z]] + E ⁡ [E ⁡ [X ∣ Z] E ⁡ [Y ∣ Z]] - E ⁡ [E ⁡ [X ∣ Z]] E ⁡ [E ⁡ [ Y ∣ Z]] {\ displaystyle = \ operatorname {E} \! \ Left [\ o peratorname {cov} [X, Y \ mid Z]] + \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z] \ operatorname {E} [Y \ mid Z] \ right] - \ operatorname {E } [\ operatorname {E} [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [Y \ mid Z]]}

{\ displaystyle = \ operatorname {E} \! \ Left [\ operatorname {cov} [X, Y \ mid Z]] + \ operatorname {E} [\ operatorname {E } [X \ mid Z] \ opera torname {E} [Y \ mid Z] \ right] - \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [Y \ mid Z]] }

Наконец, мы распознаем последние два члена как ковариацию условного ожидания E [X | Z] и E [Y | Z]:

знак равно E ⁡ (cov ⁡ (X, Y ∣ Z)) + cov ⁡ (E ⁡ (X ∣ Z), E ⁡ (Y ∣ Z)) {\ displaystyle = \ operatorname {E} ( \ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)) + \ operatorname {cov} (\ operatorname {E} (X \ mid Z), \ operatorname {E} (Y \ mid Z))}

= \ operatorname {E} (\ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)) + \ operatorname {cov} (\ operatorname {E} (X \ mid Z), \ operatorname {E} (Y \ mid Z))

См. также

Закон полной дисперсии, особый случай, соответствующий X = Y.
Закон полной совокупности, особый случай этого закона полной ковариации.

Примечания и ссылки

Внешние ссылки