Стандартная основа

редактировать

Основа векторного пространства кортежей, состоящий из кортежей со всеми нулевыми элементами, кроме одного, который равен 1

Каждый вектор a в трех измерениях представляет собой линейную комбинацию стандартных базисных векторов i, jи k.

В математике стандартный базис (также называемый естественный базис ) координатного векторного пространства - это набор векторов, координаты которых равны нулю, кроме одного, равного 1. Например, в случае евклидовой плоскости, образованной парами (x, y) действительных чисел, формируется стандартный базис векторами

ex = (1, 0), ey = (0, 1). {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = (1,0), \ quad \ mathbf {e} _ {y} = (0,1).}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = (1,0), \ quad \ mathbf {e} _ {y} = (0,1).}

Аналогично, стандартная основа для трехмерное пространство образовано векторами

ex = (1, 0, 0), ey = (0, 1, 0), ez = (0, 0, 1). {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = (1,0,0), \ quad \ mathbf {e} _ {y} = (0,1,0), \ quad \ mathbf {e} _ { z} = (0,0,1).}

{\ mathbf {e}} _ {x} = (1,0,0), \ quad {\ mathbf {e}} _ {y} = (0,1,0), \ quad {\ mathbf {e}} _ {z} = ( 0,0,1).

Здесь вектор exуказывает в направлении x, вектор eyуказывает в направлении y, а вектор ezуказывает в направлении z. Существует несколько распространенных обозначений для векторов стандартной базы, включая {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} и {x, y, z}. Эти векторы иногда записываются с помощью шляпы, чтобы подчеркнуть их статус как единичные векторы (стандартные единичные векторы ).

Эти векторы являются базисом в том смысле, что любой другой вектор может быть однозначно выражен как их линейная комбинация. Например, каждый вектор v в трехмерном пространстве можно записать уникальным образом как

vxex + vyey + vzez, {\ displaystyle v_ {x} \, \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \, \ mathbf {e} _ {y} + v_ {z} \, \ mathbf {e} _ {z},}

v_ {x} \, {\ mathbf {e}} _ {x} + v_ {y } \, {\ mathbf {e}} _ {y} + v_ {z} \, {\ mathbf {e}} _ {z},

скаляры vx, v y, v z - скалярные компоненты вектора v.

в $n {\ displaystyle n}$ $n$ -размерном евклидовом пространстве $R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$ $\ mathbf {R} ^ {n}$ , стандартный базис состоит из n различных векторов

{ei: 1 ≤ i ≤ n}, {\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i}: 1 \ leq i \ leq n \},}

\ {{\ mathbf {e}} _ {i}: 1 \ leq i \ leq n \},

где eiобозначает вектор с 1 в $i {\ displaystyle i}$ $я$ th координата и 0 в другом месте.

Стандартные базы могут быть определены для других векторных пространств, определение которых включает коэффициенты, такие как полиномы и матрицы. В обоих случаях стандартный базис состоит из таких элементов пространства, что все коэффициенты, кроме одного, равны 0, а ненулевой - 1. Таким образом, для многочленов стандартный базис состоит из одночленов и является обычно называют мономиальным базисом. Для матриц $M m × n {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {m \ times n}}$ ${\ mathcal {M}} _ {{m \ times n}}$ стандартный базис состоит из m × n-матриц с ровно одной не- нулевой элемент, который равен 1. Например, стандартный базис для матриц 2 × 2 образован 4 матрицами

e 11 = (1 0 0 0), e 12 = (0 1 0 0), e 21 = (0 0 1 0), e 22 = (0 0 0 1). {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {11} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} _ {12} = {\ begin {pmatrix} 0 1 \ \ 0 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} _ {21} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} _ {22} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}}.}

{\ mathbf {e}} _ {{11}} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ mathbf {e}} _ {{12}} = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ mathbf {e}} _ {{21}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ mathbf {e}} _ {{22}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}}.

Содержание

1 Свойства
2 Обобщения
3 Другое использование
4 См. также
5 Ссылки

Свойства

По определению, стандартный базис - это последовательность из ортогональных единичных векторов. Другими словами, это упорядоченный и ортонормированный базис.

Однако упорядоченный ортонормированный базис не обязательно является стандартным. Например, два вектора, представляющие поворот на 30 ° стандартного 2D-базиса, описанного выше, т.е.

v 1 = (3 2, 1 2) {\ displaystyle v_ {1} = \ left ({{\ sqrt {3} } \ over 2}, {1 \ over 2} \ right) \,}

v_ {1} = \ left ({{\ sqrt 3} \ over 2}, {1 \ over 2} \ right) \,

v 2 = (1 2, - 3 2) {\ displaystyle v_ {2} = \ left ({1 \ over 2}, {- {\ sqrt {3}} \ over 2} \ right) \,}

v_ {2} = \ left ({1 \ over 2}, {- {\ sqrt 3} \ over 2} \ right) \,

также являются ортогональными единичными векторами, но они не выровнены с осями декартовой системы координат, поэтому базис с этими векторами не соответствует определению стандартного базиса.

Обобщения

Существует также стандартный базис для кольца многочленов от n неопределенностей над полем, а именно одночленов.

Все предыдущее - частные случаи семейства

(ei) i ∈ I = ((δ ij) j ∈ I) i ∈ I {\ displaystyle {(e_ {i})} _ {i \ in I} = ((\ delta _ {ij}) _ {j \ in I}) _ {i \ in I}}

{(e_ {i})} _ { {i \ in I}} = ((\ delta _ {{ij}}) _ {{j \ in I}}) _ {{i \ in I}}

где $I {\ displaystyle I}$ $I$ - любой набор и $δ ij {\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {ij}$ - это дельта Кронекера, равная нулю, когда i j, и равная 1, если i = j. Это семейство является канонической основой R-модуля (свободный модуль )

R (I) {\ displaystyle R ^ {(I)}}

R ^ {{(I)}}

всех семейств

f = (fi) { \ displaystyle f = (f_ {i})}

f = (f_ {i})

из I в кольцо R, которые равны нулю за исключением конечного числа индексов, если мы интерпретируем 1 как 1 R, единица в R.

Другие применения

Существование других «стандартных» баз стало предметом интереса в алгебраической геометрии, начиная с работ Ходжа с 1943 г. по грассманианам. Теперь это часть теории представлений, называемая стандартной теорией мономов. Идея стандартного базиса в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли устанавливается теоремой Пуанкаре – Биркгофа – Витта.

Базисы Грёбнера также иногда называют стандартными базами.

В физика, стандартные базисные векторы для данного евклидова пространства иногда называют версорами осей соответствующей декартовой координаты система.

См. Также

Ссылки

Райан, Патрик Дж. (2000). Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход. Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-27635-7. (стр. 198)

Шнайдер, Филип Дж.; Эберли, Дэвид Х. (2003). Геометрические инструменты для компьютерной графики. Амстердам; Бостон: Издательство Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-594-0.(стр. 112)