Проблема с препятствием

редактировать

Задача с препятствием - классический мотивирующий пример в математическом исследовании вариационные неравенства и задачи со свободной границей. Задача состоит в том, чтобы найти положение равновесия эластичной мембраны , граница которой удерживается фиксированной и которая вынуждена находиться над заданным препятствием. Это глубоко связано с исследованием минимальных поверхностей, а также емкости множества в теории потенциала. Приложения включают изучение фильтрации жидкости в пористых средах, ограниченного нагрева, упругопластичности, оптимального управления и финансовой математики.

Математическая постановка задачи заключается в поиске минимизаторов энергии Дирихле функциональный,

J = ∫ D | ∇ u | 2 dx {\ displaystyle J = \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle J = \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ mathrm {d} x}

в некотором домене $D {\ displaystyle D}$ $D$ где функции $u {\ displaystyle u}$ $u$ представляют вертикальное смещение мембраны. В дополнение к удовлетворению граничным условиям Дирихле, соответствующим фиксированной границе мембраны, функции $u {\ displaystyle u}$ $u$ дополнительно ограничены, чтобы быть больше некоторого заданного препятствия. функция $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ $(x) {\ displaystyle (x)}$ $(x)$ . Решение разбивается на область, где решение равно функции препятствия, известной как набор контактов, и область, где решение находится над препятствием. Граница между двумя областями - это свободная граница.

В общем, решение является непрерывным и обладает непрерывными по Липшицу первыми производными, но это решение обычно является разрывным во вторых производных через свободную границу. Свободная граница характеризуется как непрерывная по Гёльдеру поверхность, за исключением некоторых особых точек, которые находятся на гладком многообразии.

Содержание

1 Историческая справка
2 Мотивирующие проблемы
- 2.1 Форма мембраны над препятствием
- 2.2 Оптимальная остановка
3 Формальное заявление
4 Альтернативные формулировки
- 4.1 Варианты неравенство
- 4.2 Наименьшая супергармоническая функция
5 Свойства регулярности
- 5.1 Оптимальная регулярность
- 5.2 Поверхности уровня и свободная граница
6 Обобщения
7 См. также
8 Примечания
9 Исторические ссылки
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Историческая справка

Qualche tempo dopo Stampacchia, partendo semper dalla sua variazionale, aperse un new campo di ricerche, si rivelò importante e fecondo. Si tratta di quello che oggi è chiamato il проблема dell'ostacolo.

— Sandro Faedo, (Faedo 1986, p. 107)

Мотивирующие проблемы

Форма мембрана над препятствием

Проблема с препятствием возникает, если рассматривать форму, принимаемую мыльной пленкой в области, граничное положение которой фиксировано (см. задачу Плато ), с дополнительным ограничением, которое мембрана также вынуждена располагаться над некоторым препятствием $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ $(x) {\ displaystyle (x)}$ $(x)$ внутри домена. В этом случае минимизируемый функционал энергии представляет собой интеграл площади поверхности, или

J (u) = ∫ D 1 + | ∇ u | 2 д х. {\ displaystyle J (u) = \ int _ {D} {\ sqrt {1+ | \ nabla u | ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x.}

{\ displaystyle J (u) = \ int _ {D} {\ sqrt {1+ | \ nabla u | ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x.}

Эту задачу можно линеаризовать в в случае малых возмущений путем расширения функционала энергии по его ряду Тейлора и взятию только первого члена, и в этом случае минимизируемая энергия представляет собой стандартную энергию Дирихле

Дж ( u) = ∫ D | ∇ u | 2 д х. {\ displaystyle J (u) = \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ mathrm {d} x.}

{\ displaystyle J (u) = \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ mathrm {d} x.}

Оптимальная остановка

Проблема препятствия также возникает в теория управления, в частности вопрос поиска оптимального времени остановки для случайного процесса с функцией выигрыша $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ $(x) {\ displaystyle (x)}$ $(x)$ .

В простом случае, когда процесс представляет собой броуновское движение, и процесс принудительно останавливается при выходе из области, решение $u (x) {\ displaystyle u (x) }$ $u (x)$ проблемы препятствий можно охарактеризовать как ожидаемое значение выигрыша, начиная процесс с $x {\ displaystyle x}$ $x$ , если соблюдается оптимальная стратегия остановки. Критерий остановки заключается в том, что нужно остановиться при достижении набора контактов.

Формальное утверждение

Предположим, что даны следующие данные:

an open ограниченная область $D {\ displaystyle D}$ $D$ ⊂ ℝ с smooth границей
a гладкой функцией $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ на ∂ $D {\ displaystyle D}$ $D$ (граница из $D { \ displaystyle D}$ $D$ )
сглаженная функция $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ $(x) {\ displaystyle (x)}$ $(x)$ , определенная для всего $D {\ displaystyle D}$ $D$ такой, что $φ | ∂ D {\ displaystyle \ scriptstyle \ varphi | _ {\ partial D}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ varphi | _ {\ partial D}}$ < $f {\ displaystyle f}$ $f$ , т.е. ограничение $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ $(x) {\ displaystyle (x)}$ $(x)$ границей $D {\ displaystyle D}$ $D$ (его след ) меньше, чем $f {\ displaystyle f}$ $f$ .

Затем рассмотрим набор

K = {u (x) ∈ H 1 (D): u | ∂ D = f (x) и u ≥ φ}, {\ Displaystyle К = \ влево \ {и (х) \ в Н ^ {1} (D): и | _ {\ partial D} = е (х) {\ текст {и}} и \ geq \ varphi \ right \},}

{\ displaystyle К = \ влево \ {и (х) \ в Н ^ {1} (D): и | _ {\ partial D} = е (х) {\ текст {и}} и \ geq \ varphi \ right \ },}

который является замкнутым выпуклым подмножеством пространства Соболева квадратных интегрируемых функций. с квадратично интегрируемыми слабыми первыми производными, содержащими в точности те функции с желаемыми граничными условиями, которые также находятся над препятствием. Решением проблемы препятствий является функция, которая минимизирует интеграл энергии

J (u) = ∫ D | ∇ u | 2 dx {\ displaystyle J (u) = \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle J (u) = \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ mathrm {d} x}

над всеми функциями $u (x) {\ displaystyle u ( x)}$ $u (x)$ принадлежит $K {\ displaystyle K}$ $K$ ; существование такого минимизатора подтверждается соображениями теории гильбертова пространства.

Альтернативные формулировки

Вариационное неравенство

Проблема препятствия может быть переформулирована как стандартная задача теории вариационных неравенств на гильбертовых пространствах. Поиск минимизатора энергии в наборе подходящих функций $K {\ displaystyle K}$ $K$ эквивалентен поиску

u ∈ K {\ displaystyle u \ in K}

{\ displaystyle u \ in K}

таких, что

∫ D ⟨∇ u, ∇ (v - u)⟩ dx ≥ 0 ∀ v ∈ K, {\ displaystyle \ int _ {D} \ langle {\ nabla u}, {\ nabla (vu)} \ rangle \ mathrm {d} x \ geq 0 \ qquad \ forall v \ in K,}

{\ displaystyle \ int _ {D} \ langle {\ nabla u}, {\ nabla (vu)} \ rangle \ mathrm {d} x \ geq 0 \ qquad \ forall v \ in K,}

где ⟨.,. ⟩: ℝ × ℝ → ℝ - это обычное скалярное произведение в конечномерном вещественном векторном пространстве ℝ. Это частный случай более общей формы вариационных неравенств в гильбертовых пространствах, решениями которых являются функции $u {\ displaystyle u}$ $u$ в некотором замкнутом выпуклом подмножестве $K {\ displaystyle K}$ $K$ всего пространства, такое, что

a (u, v - u) ≥ f (v - u) ∀ v ∈ K. {\ displaystyle a (u, vu) \ geq f (vu) \ qquad \ forall v \ in K. \,}

{\ displaystyle a (u, vu) \ geq f (vu) \ qquad \ forall v \ in K. \,}

для принудительного, вещественного, ограниченные билинейные формы $a (u, v) {\ displaystyle a (u, v)}$ $a (u, v)$ и ограниченные линейные функционалы $f (v) {\ displaystyle f (v)}$ $f ( v)$ .

Наименьшая супергармоническая функция

Вариационный аргумент показывает, что вдали от набора контактов решение проблемы препятствий является гармоническим. Аналогичный аргумент, ограничивающийся положительными вариациями, показывает, что решение супергармонично на множестве контактов. Вместе эти два аргумента подразумевают, что решение является супергармонической функцией.

Фактически, применение принципа максимума затем показывает, что решение проблемы препятствий является наименьшей супергармонической функцией в множество допустимых функций.

Свойства регулярности

Решение одномерной задачи о препятствии. Обратите внимание, как решение остается супергармоническим (вогнутым вниз в 1-D) и сопоставляет производные с препятствием (которое является

C 1, 1 {\ displaystyle C ^ {1,1}}

{\ displaystyle C ^ {1,1}}

условием)

Оптимальная регулярность

Решение проблемы с препятствием имеет $C 1, 1 {\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1,1}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1,1} }$ регулярность, или ограниченные вторые производные, когда само препятствие имеет эти свойства. Точнее, модуль непрерывности решения и модуль непрерывности для его производной связаны с модулями препятствия.

Если препятствие $ϕ (x) {\ displaystyle \ scriptstyle \ phi (x)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ phi (x)}$ имеет модуль непрерывности $σ (r) {\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma (r)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma (r)}$ , то есть $| ϕ (x) - ϕ (y) | ≤ σ (| x - y |) {\ displaystyle \ scriptstyle | \ phi (x) - \ phi (y) | \ leq \ sigma (| xy |)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle | \ phi (x) - \ phi (y) | \ leq \ sigma (| xy |)}$ , тогда решение $u (x) {\ displaystyle \ scriptstyle u (x)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle u (x)}$ имеет модуль непрерывности, заданный как $C σ (2 r) {\ displaystyle \ scriptstyle C \ sigma (2r)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle C \ sigma (2r)}$ , где константа зависит только от области, а не от препятствия.
Если первая производная препятствия имеет модуль непрерывности $σ (r) {\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma (r)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma (r)}$ , то первая производная решения имеет модуль непрерывности, заданный как $C r σ (2 r) {\ displaystyle \ scriptstyle Cr \ sigma (2r)}$ ${\ displaystyle \ стиль сценария Cr \ sigma (2r)}$ , где константа снова зависит только от области.

Поверхности уровня и свободная граница

С учетом условия вырождения, уровни задают разность между решением и препятствием, ${x: u (x) - ϕ (x) = t} {\ displaystyle \ scriptstyle \ {x: u (x) - \ phi (x) = t \}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ {x: u (x) - \ phi (x) = t \}}$ для $t>0 {\ displaystyle \ scriptstyle t>0}$ $\scriptstyle t>0$ : $C 1, α {\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1, \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1, \ alpha}}$ поверхности. Свободная граница, которая является границей множества, где решение встречает препятствие, также является $C 1, α {\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1, \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1, \ alpha}}$ , за исключением набор особых точек, которые либо изолированы, либо локально содержатся на $C 1 {\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1}}$ многообразии.

Обобщения

Теория проблемы препятствий распространяется на другие равномерно эллиптические операторы дивергенции и связанные с ними функционалы энергии. Его также можно обобщить на вырожденные эллиптические операторы.

Задача двойного препятствия, в которой функция ограничивается лежать выше одной функции препятствия и ниже другой, также представляет интерес.

Задача Синьорини - это вариант задачи о препятствиях, где функционал энергии минимизируется с учетом ограничения, которое существует только на поверхности одного меньшего измерения, которое включает проблему граничного препятствия, где ограничение действует на границе области.

параболические, зависящие от времени случаи задачи о препятствии и ее варианты также являются объектами исследования.

См. Также

Примечания

Исторические ссылки

Фаэдо, Сандро ( 1986), «Леонида Тонелли и математическая школа письменной», в Монталенти, Дж. Америо, Л. ; Acquaro, G.; Baiada, E.; и другие. (ред.), Convegno Celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985), Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 77, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei, стр. 89–109, заархивировано с оригинала 23.02.2011, извлечено 12.02.2013. «Леонида Тонелли и пизанская математическая школа» представляет собой обзор работ Тонелли в Пизе и его влияния на развитие школы, представленный на Международном конгрессе по случаю празднования столетия со дня рождения. Мауро Пиконе и Леонида Тонелли (состоялось в Риме 6–9 мая 1985 г.). Автор был одним из его учеников и после своей смерти занимал кафедру математического анализа в Пизанском университете, став деканом факультета наук, а затем ректором: он оказал сильное положительное влияние на развитие университета.

Источники

Каффарелли, Луис (июль 1998 г.), «Повторный визит к проблеме препятствий», Журнал анализа Фурье и приложений, 4 (4–5) : 383–402, doi : 10.1007 / BF02498216, MR 1658612, Zbl 0928.49030
Эванс, Лоуренс, Введение в стохастические дифференциальные уравнения (PDF), стр. 130, получено 11 июля 2011 г.. Набор конспектов лекций с обзором «без излишних подробностей, основ теории вероятностей, случайных дифференциальных уравнений и некоторых приложений», как утверждает сам автор.
(1972), «О регулярности решения секунды. порядок вариационного неравенства ", Bolletino della Unione Matematica Italiana, Serie IV, 6, pp. 312–315, MR 0318650, Zbl 0261.49021.
Фридман, Авнер (1982), Вариационные принципы и задачи со свободными границами, Чистая и прикладная математика, Нью-Йорк: John Wiley Sons, стр. Ix + 710, ISBN 0-471-86849-3, MR 0679313, Zbl 0564.49002.
Киндерлерер, Дэвид ; Stampacchia, Guido (1980), Введение в вариационные неравенства и их приложения, Чистая и прикладная математика, 88, Нью-Йорк: Academic Press, стр. Xiv +313, ISBN 0-12-407350-6, MR 0567696, Zbl 0457.35001
Петросян, Аршак; Шахголиан, Хенрик; Уральцева, Нина (2012), Регулярность свободных границ в задачах типа препятствий. Аспирантура по математике, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-8794-3

Внешние ссылки

Каффарелли, Луис (август 1998 г.), Проблема препятствий (PDF), черновик, стр. 45, получено 11 июля 2011 г., доставлено автором в Scuola Normale Superiore в 1998 г.