Группировать объект

В теория категорий, ветвь математики, группировать объекты являются определенными обобщениями групп, которые построены на более сложных структурах, чем наборы. Типичным примером группового объекта является топологическая группа, группа, базовым набором которой является топологическое пространство, так что групповые операции непрерывны.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Обобщение теории групп
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Формально мы начинаем с категории C с конечные продукты (т.е. C имеет конечный объект 1 и любые два объекта C имеют product ). групповой объект в C - это объект G из C вместе с морфизмами

• m: G × G → G (рассматриваемый как «групповое умножение»)
• e : 1 → G (рассматривается как «включение элемента идентичности»)
• inv: G → G (рассматривается как «операция инверсии»)

такие, что следующие свойства (смоделированные на основе аксиомы группы - точнее, в определении группы, используемом в универсальной алгебре ) выполняются

• m ассоциативно, то есть m (m × id G) = m (id G × m) как морфизмы G × G × G → G, и где, например, m × id G : G × G × G → G × G; здесь мы отождествляем G × (G × G) каноническим образом с (G × G) × G.
• e - двусторонняя единица m, то есть m (id G × e) = p 1, где p 1 : G × 1 → G - каноническая проекция, а m (e × id G) = p 2, где p 2 : 1 × G → G - каноническая проекция.
• inv - двусторонний обратный для m, т.е. если d: G → G × G - диагональное отображение, а e G : G → G - композиция единственного морфизма G → 1 (также называемого коннектором) с e, тогда m (id G × inv) d = e G и m (inv × id G) d = e G.

Обратите внимание, что это указано в терминах карт - произведение и обратное должны быть отображениями в категория - и без какой-либо ссылки на базовые «элементы» объекта группы - категории, как правило, не имеют элементов своих объектов.

Другой способ сформулировать вышесказанное - сказать, что G является групповым объектом в категории C, если для каждого объекта X в C существует групповая структура на морфизмах Hom (X, G) из X в G такая, что ассоциация X с Hom (X, G) является (контравариантным) функтором из C в категорию групп.

• Каждое множество G, для которого a группа структура (G, m, u,) может быть определена может рассматриваться как групповой объект в категории наборов. Карта m является групповой операцией, карта e (домен которой является singleton ) выбирает элемент идентичности u группы G, а карта inv присваивает каждому элементу группы свой инверсный. e G : G → G - это карта, которая отправляет каждый элемент G в единичный элемент.
• A топологическая группа - это групповой объект в категории топологических пространств с непрерывными функциями.
• A группа Ли - это групповой объект в категории гладких многообразий с гладкими отображениями.
• A Супергруппа Ли - групповой объект в категория супермногообразий.
• алгебраическая группа - это групповой объект в категории алгебраических многообразий. В современной алгебраической геометрии рассматриваются более общие групповые схемы, групповые объекты в категории схем.
• Локальная группа - это групповой объект в категории locales.
• Групповые объекты в категории групп (или моноидов ) - это абелевы группы. Причина этого в том, что если inv предполагается гомоморфизмом, то G должна быть абелевой. Точнее: если A - абелева группа, и мы обозначим через m групповое умножение A, через e - включение единичного элемента и через inv - операцию обращения на A, то (A, m, e, inv) будет групповой объект в категории групп (или моноидов). И наоборот, если (A, m, e, inv) - групповой объект в одной из этих категорий, то m обязательно совпадает с данной операцией на A, e - включение данного тождественного элемента в A, inv - операция инверсии и A с данной операцией - абелева группа. См. Также аргумент Экмана – Хилтона.
• Строгая 2-группа - это групповой объект в категории малых категорий.
• Данная категория C с конечными копродукциями, объект cogroup является объектом G группы C вместе с «коумножением» m: G → G $\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oplus\}$G, «совпадение «e: G → 0, и« коинверсия »inv: G → G, удовлетворяющая дуальным версиям аксиом для групповых объектов. Здесь 0 - начальный объект в C. Объекты когрупп естественным образом встречаются в алгебраической топологии.

Большая часть теории групп может быть сформулирована в контексте более общих групповых объектов. Типичными примерами являются понятия гомоморфизма групп, подгруппы, нормальной подгруппы и теорем об изоморфизме. Однако результаты теории групп, которые говорят об отдельных элементах или порядке конкретных элементов или подгрупп, обычно не могут быть обобщены для групповых объектов прямым способом.

• алгебры Хопфа могут можно рассматривать как обобщение групповых объектов на моноидальные категории.
• группоидный объект

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001