Эллиптический интеграл

Специальная функция, определяемая интегралом

В интегральном исчислении, эллиптический интеграл - одна из множества связанных функций, определяемых как значение определенных интегралов. Первоначально они возникли в связи с проблемой определения длины дуги эллипса и впервые были изучены Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером <472.>1750). Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f, которая может быть выражена в форме

$f\; (x)\; =\; \int \; cx\; R\; (t,\; P\; (t))\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{x\}\; R\; \backslash \; left\; (t,\; \{\backslash \; sqrt\; \{P\; (t)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t,\}$

где R - рациональная функция из двух своих аргументов, P - это полином степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c - константа.

Как правило, интегралы в этой форме не могут быть выражены в терминах элементарных функций. Исключениями из этого общего правила являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R (x, y) не содержит нечетных степеней y. Однако с помощью соответствующей формулы приведения каждый эллиптический интеграл может быть приведен в форму, которая включает интегралы по рациональным функциям и три канонические формы Лежандра (т.е. эллиптические интегралы от первого, второй и третий вид).

Помимо формы Лежандра, приведенной ниже, эллиптические интегралы также могут быть выражены в симметричной форме Карлсона. Дополнительное понимание теории эллиптического интеграла можно получить, изучив отображение Шварца – Кристоффеля. Исторически эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.

• 1 Обозначение аргумента
• 2 Неполный эллиптический интеграл первого рода
  • 2.1 Варианты обозначения
• 3 Неполный эллиптический интеграл второго рода
• 4 Неполный эллиптический интеграл третьего рода
• 5 Полный эллиптический интеграл первого рода
  • 5.1 Связь с тета-функцией Якоби
  • 5.2 Асимптотические выражения
  • 5.3 Дифференциальное уравнение
• 6 Полный эллиптический интеграл второго рода
  • 6.1 Вычисление
  • 6.2 Производные и дифференциальные уравнения
• 7 Полный эллиптический интеграл третьего рода
  • 7.1 Частные производные
• 8 Функциональные отношения
• 9 См. Также
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Неполные эллиптические интегралы являются функциями двух аргументов; полные эллиптические интегралы являются функциями одного аргумента. Эти аргументы выражаются различными, но эквивалентными способами (они дают один и тот же эллиптический интеграл). Большинство текстов придерживаются канонической схемы именования, используя следующие соглашения об именах.

Для выражения одного аргумента:

• α, модульный угол
• k = sin α, эллиптический модуль или эксцентриситет
• m = k = sin α, параметр

Каждая из трех вышеуказанных величин полностью определяется любой из остальных (при условии, что они неотрицательны). Таким образом, их можно использовать как взаимозаменяемые.

Другой аргумент может быть также выражен как φ, амплитуда, или как x или u, где x = sin φ = sn u, а sn - одна из эллиптических функций Якоби..

Задание значение одной из этих величин определяет другие. Обратите внимание, что u также зависит от m. Некоторые дополнительные отношения, включающие u, включают

$cos\; \; \phi \; =\; cn\; \; u\; и\; 1\; -\; m\; sin\; 2\; \; \phi \; =\; dn\; \; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; operatorname\; \{cn\}\; u,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; textrm\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-m\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{dn\}\; u.\}$

Последнюю иногда называют дельта-амплитудой и записывают как Δ (φ) = dn u. Иногда в литературе также упоминается дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модульный угол. Они дополнительно определены в статье квартальные периоды.

Неполный эллиптический интеграл первого рода F определяется как

$F\; (\phi ,\; k)\; =\; F\; (\phi \; |\; k\; 2)\; =\; F\; (sin\; \; \phi ;\; k)\; =\; \int \; 0\; \phi \; d\; \theta \; 1\; -\; k\; 2\; sin\; 2\; \; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\backslash \; varphi,\; k)\; =\; F\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; F\; (\backslash \; sin\; \backslash \; varphi;\; k)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\}.\}$

Это тригонометрическая форма интеграла; подставляя t = sin θ и x = sin φ, получаем нормальную форму Лежандра:

$F\; (x;\; k)\; =\; \int \; 0\; x\; d\; t\; (1\; -\; t\; 2)\; (1\; -\; k\; 2\; t\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (х;\; к)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1-t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1-k\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\}.\}$

Эквивалентно, с точки зрения амплитуды и модульного угла:

$F\; (\phi \; \setminus \; \alpha )\; =\; F\; (\phi ,\; sin\; \; \alpha )\; =\; \int \; 0\; \phi \; d\; \theta \; 1\; -\; (sin\; \; \theta \; sin\; \; \alpha )\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; setminus\; \backslash \; alpha)\; =\; F\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{2\}\}\}\}.\}$

В этой нотации использование вертикальной черты в качестве разделителя означает, что следующий за ней аргумент является «параметром» (как определено выше), а обратная косая черта указывает, что это модульный угол. Использование точки с запятой означает, что предшествующий ей аргумент является синусом амплитуды:

$F\; (\phi ,\; sin\; \; \alpha )\; =\; F\; (\phi \; |\; sin\; 2\; \; \alpha )\; =\; F\; (\phi \; \setminus \; \alpha )\; =\; F\; (sin\; \; \phi ;\; sin\; \; \alpha ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha)\; =\; F\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; right)\; =\; F\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; setminus\; \backslash \; alpha)\; =\; F\; (\backslash \; sin\; \backslash \; varphi;\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha).\}$

Это потенциально сбивающее с толку использование разных разделителей аргументов является традиционным для эллиптических интегралов, и большая часть обозначений совместима с теми, которые используются в справочнике Абрамовица и Стегуна и тот, который использовался в интегральных таблицах Градштейном и Рыжиком.

При x = sn (u, k):

$F\; (x;\; k)\; =\; u;\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x;\; k)\; =\; u;\}$

таким образом, эллиптические функции Якоби обратны эллиптическим интегралам.

Варианты обозначений

В литературе существуют и другие соглашения для обозначения эллиптических интегралов. Нередко встречается обозначение с заменой аргументов F (k, φ); и аналогично E (k, φ) для интеграла второго рода. Абрамовиц и Стегун заменяют интеграл первого рода, F (φ, k), аргументом φ в своем определении интегралов второго и третьего рода, если за этим аргументом не стоит вертикальная черта : т.е. E (F (φ, k) | k) для E (φ | k). Более того, их полные интегралы используют параметр k в качестве аргумента вместо модуля k, то есть K (k), а не K (k). А интеграл третьего рода, определенный Градштейном и Рыжиком, Π (φ, n, k), ставит на первое место амплитуду φ, а не «характеристику» n.

Таким образом, при использовании этих функций следует соблюдать осторожность с обозначениями, поскольку в различных авторитетных источниках и программных пакетах используются разные соглашения в определениях эллиптических функций. Например, некоторые ссылки, а также программное обеспечение Mathematica Wolfram и Wolfram Alpha определяют полный эллиптический интеграл первого рода в терминах параметра m, вместо эллиптического модуля k.

$К\; (м)\; знак\; равно\; \int \; 0\; \pi \; 2\; d\; \theta \; 1\; -\; м\; грех\; 2\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (m)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-m\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\}\}$

Неполный эллиптический интеграл второго рода E в тригонометрической форме равен

$E\; (\phi ,\; k)\; =\; E\; (\phi \; |\; k\; 2)\; =\; E\; (sin\; \; \phi ;\; k)\; =\; \int \; 0\; \phi \; 1\; -\; k\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (\backslash \; varphi,\; k)\; =\; E\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; E\; (\backslash \; sin\; \backslash \; varphi;\; k)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta.\}$

Подставляя t = sin θ и x = sin φ, получаем нормальная форма Лежандра:

$E\; (x;\; k)\; =\; \int \; 0\; x\; 1\; -\; k\; 2\; t\; 2\; 1\; -\; t\; 2\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (x;\; k)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-t\; ^\; \{\; 2\}\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t.\}$

Эквивалентно, с точки зрения амплитуды и модульного угла:

$E\; (\phi \; \setminus \; \alpha )\; =\; E\; (\phi ,\; sin\; \; \alpha )\; =\; \int \; 0\; \phi \; 1\; -\; (грех\; \; \theta \; sin\; \; \alpha )\; 2\; d\; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; setminus\; \backslash \; alpha)\; =\; E\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta.\}$

Связи с эллиптическими функциями Якоби включают

$E\; (sn\; \; (u;\; k)\; ;\; k)\; =\; \int \; 0\; u\; dn\; 2\; \; (w;\; k)\; dw\; =\; u\; -\; k\; 2\; \int \; 0\; u\; sn\; 2\; \; (w;\; k)\; dw\; =\; (1\; -\; k\; 2)\; u\; +\; k\; 2\; \int \; 0\; u\; cn\; 2\; \; (w;\; k)\; dw.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; operatorname\; \{sn\}\; (u;\; k);\; k\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{u\}\; \backslash \; operatorname\; \{dn\}\; ^\; \{2\}\; (w;\; k)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; w\; =\; uk\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{u\}\; \backslash \; operatorname\; \{sn\}\; ^\; \{2\}\; (w;\; k)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; w\; =\; \backslash \; left\; (1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; u\; +\; k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{u\}\; \backslash \; operatorname\; \{cn\}\; ^\; \{2\}\; (w;\; k)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; w.\}$

Длина дуги меридиана от экватора до широты φ записывается в единицах E:

$m\; (\phi )\; =\; a\; (\; E\; (\phi ,\; e)\; +\; d\; 2\; d\; \phi \; 2\; E\; (\phi ,\; e)),\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (\backslash \; varphi)\; =\; a\; \backslash \; left\; (E\; (\backslash \; varphi,\; e)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\})\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\}\}\; E\; (\backslash \; varphi,\; e)\; \backslash \; right),\}$

, где a - большая полуось, и e - эксцентриситет.

Неполный эллиптический интеграл третьего рода Π равен

$\Pi \; (n;\; \phi \; \setminus \; \alpha )\; Знак\; равно\; \int \; 0\; \phi \; 1\; 1\; -\; N\; грех\; 2\; \; \theta \; d\; \theta \; 1\; -\; (грех\; \; \theta \; грех\; \; \alpha )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; (n;\; \backslash \; varphi\; \backslash \; setminus\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-n\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

или

$\Pi \; (n;\; \phi \; |\; m)\; =\; \int \; 0\; sin\; \; \phi \; 1\; 1\; -\; n\; t\; 2\; d\; t\; (1\; -\; m\; t\; 2)\; (1\; -\; t\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Pi\; (п;\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; m)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-nt\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1-mt\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1-t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\}.\}$

Число n равно называется характеристикой и может принимать любое значение независимо от других аргументов. Заметим, однако, что значение Π (1; π / 2 | m) бесконечно для любого m.

Связь с эллиптическими функциями Якоби:

$\Pi \; (n;\; am\; \; (u;\; k);\; k)\; =\; \int \; 0\; u\; d\; w\; 1\; -\; n\; sn\; 2\; \; (w;\; k).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Pi\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; п;\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{am\}\; (u;\; k);\; \backslash ,\; k\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{u\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; w\}\; \{1-n\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{sn\}\; ^\; \{2\}\; (w;\; k)\}\}.\}$

Длина дуги меридиана от экватора до широты φ также связана с особым случаем Π:

$m\; (\phi )\; =\; a\; (1\; -\; e\; 2)\; \Pi \; (e\; 2;\; \phi \; |\; e\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (\backslash \; varphi)\; =\; a\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{2\};\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\; \}$

График полного эллиптического интеграла первого рода K (k)

Эллиптические интегралы называются «полными», когда амплитуда φ = π / 2, и поэтому x = 1. Таким образом, полный эллиптический интеграл первого рода K может быть определен как

$K\; (k)\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; d\; \theta \; 1\; -\; k\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; =\; \int \; 0\; 1\; dt\; (1\; -\; T\; 2)\; (1\; -\; К\; 2\; T\; 2),\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\; (k)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1-t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1-k\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\},\}$

или более компактно в терминах неполного интеграла первого рода как

$K\; (k)\; =\; F\; (\pi \; 2,\; k)\; =\; F\; (\pi \; 2\; |\; k\; 2)\; =\; F\; (1;\; k).\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (к)\; =\; F\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; к\; \backslash \; вправо)\; =\; F\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; к\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; F\; (1;\; k).\}$

Его можно выразить в виде степенного ряда

$K\; (k)\; =\; \pi \; 2\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; ((2\; n)\; !\; 2\; 2\; N\; (N!)\; 2)\; 2\; К\; 2\; N\; знак\; равно\; \pi \; 2\; \sum \; N\; =\; 0\; \infty \; (П\; 2\; N\; (0))\; 2\; К\; 2\; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (к)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(2n)!\}\; \{2\; ^\; \{2n\}\; (n!)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 2\}\; k\; ^\; \{2n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; P\_\; \{2n\}\; (0)\; \{\backslash \; bigr)\}\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2n\},\}$

где P n - это многочлены Лежандра, что эквивалентно

$K\; (k)\; =\; \pi \; 2\; (1\; +\; (1\; 2)\; 2\; К\; 2\; +\; (1\; \cdot \; 3\; 2\; \cdot \; 4)\; 2\; К\; 4\; +\; \cdots \; +\; ((2\; n\; -\; 1)!!\; (2\; n)!!)\; 2\; К\; 2\; N\; +\; \cdots ),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 4\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (2n-1\; \backslash \; right)\; !!\}\; \{\backslash \; left\; (2n\; \backslash \; right)\; !!\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2n\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right),\}$

где n !! обозначает двойной факториал. В терминах гипергеометрической функции Гаусса полный эллиптический интеграл первого рода может быть выражен как

$K\; (k)\; =\; \pi \; 2\; 2\; F\; 1\; (1\; 2,\; 1\; 2;\; 1;\; k\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (к)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{2\}\};\; 1;\; k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Полный эллиптический интеграл первого рода иногда называют четвертью. Его можно очень эффективно вычислить в терминах среднего арифметико-геометрического :

$K\; (k)\; =\; \pi \; 2\; agm\; \; (1,\; 1\; -\; k\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{agm\}\; \backslash \; left\; (1,\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; \}.\}$

Подробнее см. Carlson (2010, 19.8).

Связь с тета-функцией Якоби

Связь с тета-функцией Якоби определяется как

$K\; (k)\; =\; \pi \; 2\; \theta \; 3\; 2\; (q),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; (q),\}$

где nome q равно

$q\; (k)\; =\; ехр\; \; (-\; \pi \; K\; (1\; -\; k\; 2)\; K\; (k)).\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (k)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{K\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{K\; (k)\}\}\; \backslash \; right).\}$

Асимптотические выражения

$K\; (k)\; \approx \; \pi \; 2\; +\; \pi \; 8\; k\; 2\; 1\; -\; k\; 2\; -\; \pi \; 16\; k\; 4\; 1\; -\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{2\}\}\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{16\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{4\}\}\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Это приближение имеет относительную точность лучше, чем 3 × 10 для k < 1/2. Keeping only the first two terms is correct to 0.01 precision for k < 1/2.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение для эллиптического интеграла первого рода имеет вид

$ddk\; (k\; (1\; -\; k\; 2)\; d\; K\; (k)\; dk)\; =\; k\; K\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; k\}\}\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; left\; (1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; K\; (k)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; k\}\}\; \backslash \; right)\; =\; kK\; (k)\}$

Второе решение этого уравнения: $K\; (1\; -\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \backslash \; right)\}$. Это решение удовлетворяет соотношению

$d\; d\; k\; K\; (k)\; =\; E\; (k)\; k\; (1\; -\; k\; 2)\; -\; K\; (k)\; k.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; k\}\}\; K\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\; (k)\}\; \{k\; \backslash \; left\; (1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{K\; (k)\}\; \{k\}\}.\}$

График полного эллиптического интеграла второго рода $E\; (k)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; E\; (k)\}$

Полный эллиптический интеграл второго рода E определяется как

$E\; (k)\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; 1\; -\; k\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \theta \; Знак\; равно\; \int \; 0\; 1\; 1\; -\; к\; 2\; t\; 2\; 1\; -\; t\; 2\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (k)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-t\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t,\}$

или более компактно в терминах неполного интеграла второго рода E (φ, k) поскольку

$E\; (k)\; =\; E\; (\pi \; 2,\; k)\; =\; E\; (1;\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (k)\; =\; E\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; k\; \backslash \; right)\; =\; E\; (1;\; k).\}$

Для эллипса с большой полуосью a и малая полуось b и эксцентриситет e = √1 - b / a, полный эллиптический интеграл второго рода E (e) равен одной четверти окружности c эллипса, измеренной в единицах большая полуось a. Другими словами:

$c\; =\; 4\; a\; E\; (e).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 4aE\; (e).\}$

Полный эллиптический интеграл второго рода может быть выражен в виде степенного ряда

$E\; (k)\; =\; \pi \; 2\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; ((2\; п)!\; 2\; 2\; N\; (N!)\; 2)\; 2\; К\; 2\; N\; 1-2\; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(2n)!\}\; \{2\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; left\; (n!\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{2n\; \}\}\; \{1-2n\}\},\}$

что эквивалентно

$E\; (k)\; =\; \pi \; 2\; (1\; -\; (1\; 2)\; 2\; k\; 2\; 1\; -\; (1\; \cdot \; 3\; 2\; \cdot \; 4)\; 2\; k\; 4\; 3\; -\; \cdots \; -\; ((2\; n\; -\; 1)!!\; (2\; n)!!)\; 2\; k\; 2\; n\; 2\; n\; -\; 1\; -\; \cdots ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{2\}\}\; \{1\}\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 4\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{4\}\}\; \{3\}\}\; -\; \backslash \; cdots\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(2n-1)\; !!\}\; \{(2n)\; !!\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{2n\}\}\; \{2n-1\}\}\; -\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right).\}$

В терминах гипергеометрической функции Гаусса полный эллиптический интеграл второго рода может быть выражен как

$E\; (k)\; =\; \pi \; 2\; 2\; F\; 1\; (\; 1\; 2,\; -\; 1\; 2;\; 1;\; k\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (k)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{2\}\};\; 1;\; k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Вычисление

Как и интеграл первого рода, полный эллиптический интеграл второго рода может быть вычислен очень эффективно с использованием среднего арифметико-геометрического (Carlson 2010, 19,8).

Определите последовательности $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$и $gn\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\}\}$, где $a\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; =\; 1\}$, $g\; 0\; =\; 1\; -\; k\; 2\; =\; k\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; k\; \text{'}\}$и повторяющиеся отношения $an\; +\; 1\; =\; an\; +\; gn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\; +\; g\_\; \{n\}\}\; \{2\}\; \}\}$, $gn\; +\; 1\; =\; angn\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\_\; \{n\}\; g\_\; \{n\}\}\}\}$удерживать. Кроме того, определите $c\; n\; =\; |\; а\; п\; 2\; -\; г\; п\; 2\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; a\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; -g\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\}\}\}$. По определению

$a\; \infty \; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; an\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; gn\; =\; agm\; \; (1,\; 1\; -\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; g\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{agm\}\; (1,\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\})\}$.

Также, $lim\; n\; \to \; \infty \; cn\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\}\; =\; 0\}$. Тогда

$E\; (k)\; =\; \pi \; 2\; a\; \infty \; (1\; -\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; n\; -\; 1\; c\; n\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2a\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 2\; ^\; \{n-1\}\; c\_\; \{\; n\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

На практике среднее арифметико-геометрическое будет просто вычисляться до некоторого предела. Эта формула сходится квадратично для всех $|\; k\; |\; \le \; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; к\; |\; \backslash \; Leq\; 1\}$. Для дальнейшего ускорения вычислений соотношение $cn\; +\; 1\; =\; cn\; 2\; 4\; an\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\; \{4a\_\; \{n\; +\; 1\; \}\}\}\}$можно использовать.

Производное и дифференциальное уравнение

$d\; E\; (k)\; dk\; =\; E\; (k)\; -\; K\; (k)\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; E\; (k)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\; (k)\; -K\; (k)\}\; \{k\}\}\}$

$(k\; 2\; -\; 1)\; ddk\; (kd\; E\; (k)\; dk)\; =\; k\; E\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (k\; ^\; \{2\}\; -1\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; k\}\}\; \backslash \; left\; (k\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\})\; E\; (k)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; k\}\}\; \backslash \; right)\; =\; kE\; (k)\}$

Второе решение этого уравнения - E (√1 - k) - K (√1 - k).

График полного эллиптического интеграла третьего рода $\Pi \; (n,\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; (n,\; k)\}$с несколькими фиксированными значениями $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$

полный эллиптический интеграл третьего рода Π может быть определен как

$\Pi \; (n,\; k)\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; д\; \theta \; (1\; -\; п\; грех\; 2\; \; \theta )\; 1\; -\; к\; 2\; грех\; 2\; \; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; (n,\; k)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; left\; (1-n\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\}\}.\}$

Обратите внимание, что иногда эллиптический интеграл третьего рода определяется как обратный знак для характеристики n,

$\Pi \; \prime \; (n,\; k)\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; d\; \theta \; (1\; +\; n\; sin\; 2\; \; \theta )\; 1\; -\; k\; 2\; sin\; 2\; \; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \text{'}(n,\; k)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; n\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\}\}.\}$

Так же, как полные эллиптические интегралы первого и второго рода полный эллиптический интеграл третьего рода может быть очень эффективно вычислен с использованием среднего арифметико-геометрического (Carlson 2010, 19.8).

Частные производные

$\partial \; \Pi \; (n,\; k)\; \partial \; n\; =\; 1\; 2\; (k\; 2\; -\; n)\; (n\; -\; 1)\; (E\; (k)\; +\; 1\; n\; (k\; 2\; -\; n)\; K\; (\; k)\; +\; 1\; n\; (n\; 2\; -\; k\; 2)\; \Pi \; (n,\; k))\; \partial \; \Pi \; (n,\; k)\; \partial \; k\; =\; kn\; -\; k\; 2\; (E\; (k)\; k\; 2\; -\; 1\; +\; \Pi \; (n,\; k))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Pi\; (n,\; k)\}\; \{\backslash \; partial\; n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; left\; (k\; ^\; \{2\}\; -n\; \backslash \; справа)\; (n-1)\}\}\; \backslash \; left\; (E\; (k)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (k\; ^\; \{2\}\; -n\; \backslash \; right)\; K\; (k)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; -k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Pi\; (n,\; k)\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [10px]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Pi\; (n,\; k)\; \}\; \{\backslash \; partial\; k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{nk\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{E\; (k)\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; +\; \backslash \; Pi\; (n,\; k)\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Отношение Лежандра :

$K\; (k)\; E\; (1\; -\; k\; 2)\; +\; E\; (k)\; K\; (1\; -\; k\; 2)\; -\; К\; (к)\; К\; (1\; -\; к\; 2)\; =\; \pi \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (к)\; E\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; E\; (k)\; K\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -K\; (k)\; K\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}.\}$

• Математика портал

• Эллиптическая кривая
• Отображение Шварца – Кристоффеля
• Симметричная форма Карлсона
• Эллиптические функции Якоби
• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Тета-функция Якоби
• Тета-функция Рамануджана
• Среднее арифметическое – геометрическое
• Период маятника
• Меридианная дуга

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 17». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.) Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 587. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Byrd, P.F.; Фридман, доктор медицины (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05318-2.
• Карлсон, Б.С. (1995). «Численное вычисление действительных или комплексных эллиптических интегралов». Численные алгоритмы. 10 (1): 13–26. arXiv : math / 9409227. Bibcode : 1995NuAlg..10... 13C. doi : 10.1007 / BF02198293. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Карлсон, Британская Колумбия (2010), «Эллиптический интеграл», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Справочник NIST по математическим функциям, Кембридж University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо G. (1953). Высшие трансцендентные функции. Том II (PDF). McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. MR 0058756. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик, Иосиф Моисеевич ; Геронимус, Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «8.1.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений. от Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, In c. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. CS1 maint: ref = harv (link )
• Greenhill, Alfred George (1892). Применение эллиптического языка функции. Нью-Йорк: Макмиллан. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Хэнкок, Харрис (1910). Лекции по теории эллиптических функций. Нью-Йорк: J. Wiley sons. CS1 maint: ref = harv (link )
• King, Louis V. (1924). О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов. Cambridge University Press. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби ", Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068- 8 CS1 maint: ref = harv (ссылка )

На Викискладе есть материалы, связанные с Эллиптическим интегралом.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Эрик У. Вайсштейн, "Эллиптический интеграл" (Mathworld)
• Код Matlab для вычисления эллиптических интегралов эллиптическим проектом
• Рациональные аппроксимации для полного Эллиптические интегралы (Exstrom Laboratories)
• Краткая история эллиптических интегральных теорем сложения