Компактная открытая топология

редактировать

В Mathematics компактно-открытая топология - это топология, определенная на установить из непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами. Компактно-открытая топология является одной из часто используемых топологий в функциональных пространствах и применяется в теории гомотопий и функциональном анализе. Он был введен Ральфом Фоксом в 1945 году.

Если кодомен из рассматриваемых функций имеет однородную структуру или метрической структуры, то компактно-открытая топология - это «топология равномерной сходимости на компактах ». Иными словами, последовательность функций сходится в компактно-открытой топологии именно тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве области.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Приложения
3 Дифференцируемые функции Фреше
4 Ссылки

Определение

Пусть X и Y - два топологических пространства, и пусть C (X, Y) обозначает множество всех непрерывных отображений между X и Y. Учитывая компактное подмножество K из X и открытое подмножество U из Y, пусть V (K, U) обозначает множество всех функций f ∈ C (X, Y) таких, что f (K) ⊆ U. Тогда совокупность всех таких V (K, U) является подбазой для компактно-открытой топологии на C (X, Y). (Эта коллекция не всегда образует базу для топологии на C (X, Y).)

При работе в категории из компактно генерируется пробелов, это определение обычно модифицируют, ограничивая его суббазой, сформированной из тех K, которые являются образом компактного хаусдорфового пространства. Конечно, если X компактно порождено и хаусдорфово, это определение совпадает с предыдущим. Однако модифицированное определение имеет решающее значение, если кто-то хочет, чтобы удобная категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств была декартово замкнутым, среди других полезных свойств. Путаница между этим определением и приведенным выше вызвана различным использованием слова компактный.

Свойства

Если * - одноточечное пространство, то можно идентифицировать C (*, Y) с Y, и при этом отождествлении компактно-открытая топология согласуется с топологией на Y. В более общем смысле, если X является дискретным пространством, то C (X, Y) можно отождествить с декартовым произведением из | X | копии Y и компактно-открытая топология согласуется с топологией продукта .
. Если Y равно T0, T1, Хаусдорф, обычный или Тихонов, то компактно-открытая топология имеет соответствующую аксиому отделимости .
Если X хаусдорфова и S является подбазой для Y, то набор {V (K, U): U ∈ S, K compact } - это подбаза для компактно-открытой топологии на C (X, Y).
Если Y - это метрическое пространство, (или, в более общем смысле, равномерное пространство ), то компактно-открытая топология равна топологии компактной сходимости. Другими словами, если Y - метрическое пространство, то последовательность {f n} сходится к f в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда для каждого компактного подмножества K в X, {f n } равномерно сходится к f на K. Если X компактно и Y - равномерное пространство, то компактно-открытая топология равна топологии равномерной сходимости.
Если X, Y и Z - топологические пространства, с Y локально компактным Хаусдорфом (или даже просто локально компактным пререгулярным ), то составное отображение C (Y, Z) × C (X, Y) → C (X, Z), задаваемое формулой (f, g) ↦ f ∘ g, является непрерывным (здесь все функциональные пространства заданы компактно-открытой топологией, а C (Y, Z) × C (X, Y) является с учетом топологии произведения ).
Если Y - локально компактное хаусдорфово (или предрегулярное) пространство, то оценочное отображение e: C (Y, Z) × Y → Z, определяемое формулой e (f, x) = f (x) является непрерывным. Это можно рассматривать как частный случай вышеизложенного, где X - одноточечное пространство.
Если X компактно, а Y - метрическое пространство с метрикой d, тогда t Компактно-открытая топология на C (X, Y) метризуема, и ее метрика задается формулой e (f, g) = sup {d (f (x), g (x)): x в X} для f, g в C (X, Y).

Приложения

Компактная открытая топология может использоваться для топологизации следующих наборов:

$Ом (Икс, Икс 0) знак равно {е: I → Икс: е (0) = е (1) = Икс 0} {\ Displaystyle \ Omega (X, x_ {0}) = \ {е: I \ к X : f (0) = f (1) = x_ {0} \}}$ ${\ displaystyle \ Omega (X, x_ {0}) = \ {f: I \ to X: f (0) = е (1) = x_ {0} \}}$ , пространство цикла из $X {\ displaystyle X}$ $X$ при $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ ,
$E (X, x 0, x 1) = {f: I → X: f (0) = x 0 и f (1) = x 1 } {\ displaystyle E (X, x_ {0}, x_ {1}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} {\ text {and}} f (1) = x_ {1} \}}$ ${\ displaystyle E (X, x_ {0}, x_ {1}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} {\ text {и}} е (1) = x_ {1} \}}$ ,
$E (X, x 0) = {е: I → X: f (0) = x 0} {\ displaystyle E (X, x_ {0}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} \}}$ ${\ displaystyle E (X, x_ {0}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} \}}$ .

Кроме того, существует гомотопическая эквивалентность между пространствами $C (Σ X, Y) ≅ C (X, Ом Y) {\ Displaystyle C (\ Sigma X, Y) \ cong C (X, \ Omega Y)}$ ${\ displaystyle C (\ Sigma X, Y) \ cong C (X, \ Omega Y)}$ . Эти топологические пространства, $C (X, Y) {\ displaystyle C (X, Y)}$ ${\ displaystyle C (X, Y)}$ полезны в теории гомотопии, потому что их можно использовать для формирования топологического пространства и модели для гомотопии. тип множества гомотопических классов отображений

π (X, Y) = {[f]: X → Y | f - гомотопический класс}. {\ displaystyle \ pi (X, Y) = \ {[f]: X \ to Y | f {\ text {является гомотопическим классом}} \}.}

{\ displaystyle \ pi (X, Y) = \ {[f]: X \ to Y | f {\ text {является гомотопическим классом}} \}.}

Это потому, что $π (X, Y) {\ displaystyle \ pi (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ pi ( X, Y)}$ - это набор компонентов пути в $C (X, Y) {\ displaystyle C (X, Y)}$ ${\ displaystyle C (X, Y)}$ , то есть существует изоморфизм множеств

π (X, Y) → C (I, C (X, Y)) / ∼ {\ displaystyle \ pi (X, Y) \ to C (I, C (X, Y)) / \ sim}

{\ displaystyle \ pi (X, Y) \ to C (I, C (X, Y)) / \ sim}

, где $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ - гомотопическая эквивалентность.

Дифференцируемые функции Фреше

Пусть X и Y - два банаховых пространства, определенных в одном и том же поле , и пусть C (U, Y) обозначает множество всех m-непрерывно дифференцируемых по Фреше функций из открытого подмножества U ⊆ X в Y. Компактно-открытая топология - это исходная топология, индуцированная полунормами

п К (е) знак равно sup {‖ D jf (x) ‖: x ∈ K, 0 ≤ j ≤ m} {\ displaystyle p_ {K} (f) = \ sup \ left \ {\ left \ | D ^ {j} f (x) \ right \ | \: \ x \ in K, 0 \ leq j \ leq m \ right \}}

{\ Displaystyle p_ {K} (е) = \ sup \ left \ {\ left \ | D ^ {j} f (x) \ right \ | \: \ x \ in K, 0 \ leq j \ leq m \ right \}}

где D f (x) = f (x), для каждого компакта подмножество K ⊆ U.

Ссылки

Dugundji, J. (1966). Топология. Аллин и Бекон. ASIN B000KWE22K.
О.Я. Виро, О.А. Иванов, В. Харламов, Н.Ю. Нецветаев (2007) Учебник по проблемам элементарной топологии.
«Компактно-открытая топология». PlanetMath.
Топология и группоиды Раздел 5.9 Рональд Браун, 2006