Ассоциативное свойство

редактировать
Свойство, позволяющее удалять круглые скобки в последовательности операций

В математике, ассоциативное свойство - это свойство некоторых двоичных операций, что означает, что изменение порядка скобок в выражении не изменит результат. В логике высказываний, ассоциативность - это действительное правило замены для выражений в логических доказательствах.

В выражении, содержащем два или более вхождения в строке одного и того же ассоциативного оператора, порядок, в котором выполняются операции , не имеет значения, если последовательность операндов не изменено. То есть (после переписывания выражения с круглыми скобками и при необходимости в инфиксной нотации) перестановка скобок в таком выражении не изменит его значения. Рассмотрим следующие уравнения:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 {\ displaystyle (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 \,}(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 \,
2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4 = 24. {\ displaystyle 2 \ times (3 \ times 4) = (2 \ times 3) \ times 4 = 24.}2 \ times (3 \ times 4) = (2 \ times 3) \ times 4 = 24.

Даже если скобки были переставлены в каждую строку, значения выражений не изменены. Поскольку это справедливо при выполнении сложения и умножения любых действительных чисел, можно сказать, что «сложение и умножение действительных чисел являются ассоциативными операциями».

Ассоциативность - это не то же самое, что коммутативность, которая определяет, изменяет ли результат порядок двух операндов . Например, порядок не имеет значения при умножении действительных чисел, то есть a × b = b × a, поэтому мы говорим, что умножение действительных чисел - это коммутативная операция.

Ассоциативные операции широко используются в математике; фактически, многие алгебраические структуры (такие как полугруппы и категории ) явно требуют, чтобы их двоичные операции были ассоциативными.

Однако многие важные и интересные операции неассоциативны; некоторые примеры включают вычитание, возведение в степень и векторное векторное произведение. В отличие от теоретических свойств действительных чисел, добавление чисел с плавающей запятой в информатике не является ассоциативным, и выбор способа связывания выражения может существенно повлиять на ошибку округления.

Содержание
  • 1 Определение
  • 2 Обобщенный ассоциативный закон
  • 3 Примеры
  • 4 Логика высказываний
    • 4.1 Правило замены
    • 4.2 Истинные функциональные связки
  • 5 Неассоциативная операция
    • 5.1 Неассоциативность вычисления с плавающей запятой
    • 5.2 Обозначение для неассоциативных операций
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
Определение
Двоичная операция ∗ на множестве S ассоциативна, когда эта диаграмма коммутирует. То есть, когда два пути от S × S × S к S составляют в одну и ту же функцию от S × S × S до S.

Формально, бинарная операция ∗ на множестве S называется ассоциативным, если оно удовлетворяет закону ассоциации :

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) для всех x, y, z в S.

Здесь ∗ используется для замены символа операции, который может быть любым символом и даже отсутствием символа (сопоставление ), как для умножения.

(xy) z = x (yz) = xyz для всех x, y, z в S.

Ассоциативный закон также может быть выражен в функциональной записи следующим образом: f (f (x, y), z) = f (x, f (y, z)).

Обобщенный ассоциативный закон
При отсутствии ассоциативного свойства пять факторов a, b, c, d, e приводят к решетке Тамари четвертого порядка, возможно, с разными продуктами.

Если двоичная операция является ассоциативной, повторное применение операции дает тот же результат независимо от того, как допустимые пары скобок вставлены в выражение. Это называется обобщенным законом ассоциации . Например, произведение четырех элементов может быть записано без изменения порядка факторов пятью возможными способами:

((ab) c) d {\ displaystyle ((ab) c) d}{\ displaystyle ((ab) c) d}
( ab) (cd) {\ displaystyle (ab) (cd)}{\ displaystyle (ab) (cd)}
(a (bc)) d {\ displaystyle (a (bc)) d}{\ displaystyle (a (bc)) d}
a ((bc) d) {\ displaystyle a ((bc) d)}{\ displaystyle a ((bc) d)}
a (b (cd)) {\ displaystyle a (b (cd))}{\ displaystyle a (b (cd))}

Если операция произведения ассоциативна, обобщенный закон ассоциативности гласит, что все эти формулы будут давать тот же результат. Таким образом, если формула с опущенными круглыми скобками уже имеет другое значение (см. Ниже), скобки можно считать ненужными, а «продукт» можно однозначно записать как

a b c d. {\ displaystyle abcd.}{\ displaystyle abcd.}

По мере увеличения количества элементов количество возможных способов вставки скобок быстро растет, но они остаются ненужными для устранения неоднозначности.

Примером, где это не работает, является логическая двусмысленность ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow . Он ассоциативен, поэтому A ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow (B↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow C) эквивалентно (A ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow B)↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow C, но A ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow B↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow C чаще всего означает ( A ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow B и B ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow C), что не эквивалентно.

Примеры
В ассоциативных операциях это (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z) {\ displaystyle (x \ circ y) \ circ z = x \ circ (y \ circ z)}{\ Displaystyle (Икс \ CIRC Y) \ CIRC Z = Икс \ CIRC (Y \ CIRC Z)} . Добавление действительных чисел является ассоциативным.

Некоторые примеры ассоциативных операций включают следующее:

  • объединение трех строк «привет», "", "world"можно вычислить, объединив первые две строки (передав "hello") и добавив третью строку ("world"), либо присоединив ко второму nd третью строку (дающую "world") и объединяющую первую строку ("hello") с результатом. Оба метода дают одинаковый результат; конкатенация строк является ассоциативной (но не коммутативной).
  • В арифметике, сложение и умножение действительных чисел ассоциативный; то есть
(x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z (x y) z = x (y z) = x y z} для всех x, y, z ∈ R. {\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z \ quad \\ (x \, y) z = x (y \, z)) = x \, y \, z \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех}} x, y, z \ in \ mathbb {R }.}\ left. {\ begin {matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z \ quad \\ (x \, y) z = x (y \, z) = x \, y \, z \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех}} x, y, z \ in \ mathbb {R}.
Из-за ассоциативности группирующие скобки можно опустить без двусмысленности.
  • Тривиальная операция x ∗ y = x (то есть результат - первый аргумент, независимо от того, какой второй аргумент) ассоциативный, но не коммутативный. Точно так же тривиальная операция x ∘ y = y (то есть результат - второй аргумент, независимо от того, какой является первый аргумент) ассоциативна, но не коммутативна.
  • Сложение и умножение комплексных чисел и кватернионы ассоциативны. Сложение октонионов также ассоциативно, но умножение октонионов неассоциативно.
  • Действуют функции наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное ассоциативно.
gcd ⁡ (gcd ⁡ (x, y), z) = gcd ⁡ (x, gcd ⁡ (y, z)) = gcd ⁡ (x, y, z) lcm ⁡ (lcm ⁡ (x, y), z) = lcm ⁡ (x, lcm ⁡ (y, z)) = lcm ⁡ (x, y, z)} для всех x, y, z ∈ Z. {\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} \ operatorname {gcd} (\ operatorname {gcd} (x, y), z) = \ operatorname {gcd} (x, \ operatorname {gcd} (y, z)) = \ operatorname {gcd} (x, y, z) \ \ quad \\\ operatorname {lcm} (\ operatorname {lcm} (x, y), z) = \ operatorname {lcm} (x, \ operatorname { lcm} (y, z)) = \ operatorname {lcm} (x, y, z) \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех}} x, y, z \ in \ mathbb {Z}.}\ left. {\ begin { матрица} \ operatorname {gcd} (\ operatorname {gcd} (x, y), z) = \ operatorname {gcd} (x, \ operatorname {gcd} (y, z)) = \ operatorname {gcd} (x, y, z) \ \ quad \\\ operatorname {lcm} (\ operatorname {lcm} (x, y), z) = \ operatorname {lcm} (x, \ operatorname {lcm} (y, z)) = \ имя оператора {lcm} (x, y, z) \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех}} x, y, z \ in \ mathbb {Z}.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C} для всех множеств A, B, C. {\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C) = A \ cap B \ cap C \ quad \\ (A \ cup B) \ чашка C = A \ cup (B \ cup C) = A \ cup B \ cup C \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех наборов}} A, B, C.}\ left. {\ Begin {matrix} (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C) = A \ cap B \ cap C \ quad \\ (A \ cup B) \ cup C = A \ cup (B \ cup C) = A \ cup B \ cup C \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех наборов}} A, B, C.
  • Если M - некоторое множество и S обозначает множество всех функций от M до M, то операция композиции функций на S ассоциативна:
(f ∘ g) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h) = f ∘ g ∘ h для всех f, g, h ∈ S. {\ Displaystyle (е \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h \ qquad {\ t_dv {для всех}} f, g, h \ in S.}(f \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h \ qquad {\ t_dv {для all}} f, g, h \ in S.
  • В более общем плане, учитывая четыре набора M, N, P и Q, где h: M до N, g: N до P и f: P до Q, тогда
(f ∘ g) ∘ h = е ∘ (г ∘ час) знак равно е ∘ г ∘ час {\ displaystyle (f \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h}(е \ CIRC G) \ CIRC H = F \ CIRC (г \ CIRC H) = F \ CIRC G \ CIRC H
, как и раньше. Короче говоря, композиция карт всегда ассоциативна.
  • Рассмотрим набор из трех элементов: A, B и C. Следующая операция:
×ABC
AAAA
BABC
CAAA
ассоциативна. Таким образом, например, A (BC) = (AB) C = A. Эта операция не является коммутативной.
Логика высказываний

Правило замены

В стандартной логике высказываний с функциональной истинностью ассоциация или ассоциативность являются два действительных правила замены. Правила позволяют перемещать круглые скобки в логических выражениях в логических доказательствах. Правила (с использованием обозначения логических связок ):

(P ∨ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∨ R) {\ displaystyle (P \ lor (Q \ lor R))) \ Leftrightarrow ((P \ lor Q) \ lor R)}{\ displaystyle (P \ lor (Q \ lor R)) \ Leftrightarrow ((P \ lor Q) \ lor R)}

и

(P ∧ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∧ R), {\ displaystyle (P \ land (Q \ land R)) \ Leftrightarrow ((P \ land Q) \ land R),}{\ displaystyle (P \ land (Q \ land R)) \ Leftrightarrow ((P \ land Q) \ land R),}

где "⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow " - это металогическое символ, представляющий «может быть заменен в пробе на.»

Функциональные связки истинности

Ассоциативность - это свойство некоторых логических связок функциональных связок истинности логики высказываний. Следующие логические эквиваленты демонстрируют, что ассоциативность является свойством определенных связок. Ниже приведены функциональные истинности тавтологии.

Ассоциативность дизъюнкции :

((P ∨ Q) ∨ R) ↔ (P ∨ (Q ∨ R)) {\ displaystyle ((P \ lor Q) \ lor R) \ leftrightarrow (P \ lor (Q \ lor R))}{\ displaystyle ((P \ lor Q) \ lor R) \ leftrightarrow (P \ lor (Q \ lor R))}
(P ∨ (Q ∨ R)) ↔ ((P ∨ Q) ∨ R) {\ displaystyle (P \ lor (Q \ lor R))) \ leftrightarrow ((P \ lor Q) \ lor R)}{\ displaystyle (P \ lor (Q \ lor R)) \ leftrightarrow ((P \ lor Q) \ lor R)}

Ассоциативность конъюнкции :

((P ∧ Q) ∧ R) ↔ (P ∧ (Q ∧ R)) {\ displaystyle ((P \ земля Q) \ земля R) \ leftrightarrow (P \ земля (Q \ земля R))}{\ displaystyle ((P \ земля Q) \ земля R) \ leftrightarrow (P \ land (Q \ land R))}
(P ∧ (Q ∧ R)) ↔ ((P ∧ Q) ∧ R) {\ displaystyle (P \ земля (Q \ земля R)) \ leftrightarrow ((P \ земля Q) \ земля R)}{\ displaystyle (P \ land (Q \ land R)) \ leftrightarrow ((P \ land Q) \ land R)}

Ассоциативность эквивалентности :

((P ↔ Q) ↔ R) ↔ (P ↔ (Q ↔ R)) {\ Displaystyle ((P \ leftrightarrow Q) \ leftrightarrow R) \ leftrightarrow (P \ leftrightarrow (Q \ leftrightarrow R))}((P \ leftrightarrow Q) \ leftrightarrow R) \ leftrightarr ow (P \ leftrightarrow (Q \ leftrightarrow R))
(P ↔ (Q ↔ R)) ↔ ((P ↔ Q) ↔ R) {\ displaystyle (P \ leftrightarrow (Q \ leftrightarrow R)) \ leftrightarrow ((P \ leftrightarrow Q) \ leftrightarrow R)}(P \ leftrightarrow (Q \ leftrightarrow R)) \ leftrightarrow ((P \ leftrightarrow Q) \ leftrightarrow R)

Совместное отрицание - пример функциональной связки истинности, которая не является ассоциативной.

Неассоциативная операция

Бинарная операция ∗ {\ displaystyle *}* на множестве S, которая не удовлетворяет ассоциативному закону, называется неассоциативный . Символически

(x ∗ y) ∗ z ≠ x ∗ (y ∗ z) для некоторых x, y, z ∈ S. {\ displaystyle (x * y) * z \ neq x * (y * z) \ qquad {\ t_dv {for some}} x, y, z \ in S.}(x * y) * z \ neq x * (y * z) \ qquad {\ t_dv {для некоторых}} x, y, z \ в S.

Для такой операции порядок оценки имеет значение. Например:

(5–3) - 2 ≠ 5 - (3–2) {\ displaystyle (5-3) -2 \, \ neq \, 5- (3-2)}(5-3) -2 \, \ neq \, 5- (3-2)
(4/2) / 2 ≠ 4 / (2/2) {\ displaystyle (4/2) / 2 \, \ neq \, 4 / (2/2)}(4/2) / 2 \, \ NEQ \, 4 / (2/2)
2 (1 2) ≠ (2 1) 2 {\ displaystyle 2 ^ {(1 ^ {2})} \, \ neq \, (2 ^ {1}) ^ {2}}2 ^ {(1 ^ {2})} \, \ neq \, (2 ^ {1}) ^ {2}

Также обратите внимание что бесконечные суммы обычно не ассоциативны, например:

(1 + - 1) + (1 + - 1) + (1 + - 1) + (1 + - 1) + (1 + - 1) + ( 1 + - 1) +… знак равно 0 {\ displaystyle (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1+ -1) + \ dots \, = \, 0}{\ displaystyle (1 + - 1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + \ точки \, = \, 0}

, тогда как

1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) +… = 1 {\ displaystyle 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (-1 + 1) + (- 1 + 1) + \ dots \, = \, 1}{\ displaystyle 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \ точки \, = \, 1}

Изучение неассоциативных структур возникает по причинам, несколько отличным от основного направления классической алгебры. Одна область в неассоциативной алгебре, которая стала очень большой, - это область алгебр Ли. Там ассоциативный закон заменяется тождеством Якоби . Алгебры Ли абстрагируют сущность бесконечно малых преобразований и стали повсеместными в математике.

Существуют и другие специфические типы неассоциативных структур, которые были глубоко изучены; они, как правило, исходят из некоторых конкретных приложений или областей, таких как комбинаторная математика. Другими примерами являются квазигруппа, квазиполе, неассоциативное кольцо, неассоциативная алгебра и коммутативные неассоциативные магмы.

Неассоциативность вычисления с плавающей запятой

В математике сложение и умножение действительных чисел ассоциативно. Напротив, в информатике сложение и умножение чисел с плавающей запятой не ассоциативно, поскольку при объединении значений разного размера возникают ошибки округления.

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим представление с плавающей запятой с 4-битной мантиссой :. (1.000 2 × 2 + 1.000 2 × 2) + 1.000 2 × 2 = 1.000 2 × 2 + 1.000 2 × 2 = 1.001 2×2. 1.000 2 × 2 + (1.000 2 × 2 + 1.000 2 × 2) = 1.000 2 × 2 + 1.000 2 × 2 = 1.000 2×2

Даже несмотря на то, что большинство компьютеров вычисляют с 24 или 53 бита мантиссы, это важный источник ошибки округления, и такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана, позволяют минимизировать ошибки. Это может быть особенно проблематично при параллельных вычислениях.

Обозначение для неассоциативных операций

В общем, круглые скобки должны использоваться для обозначения порядка оценки, если не- ассоциативная операция встречается в выражении более одного раза (если в нотации порядок не указан другим способом, например 2 3/4 {\ displaystyle {\ dfrac {2} {3/4}}}{\ displaystyle {\ dfrac {2} {3/4}}} ). Однако математики согласны с определенным порядком вычисления для нескольких общих неассоциативных операций. Это просто условное обозначение, позволяющее избегать скобок.

A левоассоциативная операция - это неассоциативная операция, которая обычно вычисляется слева направо, т. Е.

x ∗ y ∗ z = (x ∗ y) ∗ zw ∗ x ∗ y ∗ z = ((w ∗ x) ∗ y) ∗ z и т. д.} для всех w, x, y, z ∈ S {\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} x * y * z = (x * y) * z \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z \ quad \\ {\ t_dv {и т. д.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех}} w, x, y, z \ in S}\ left. {\ Begin {matrix} x * y * z = (x * y) * z \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z \ quad \\ {\ t_dv {etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех} } вес, х, y, z \ в S

в то время как правоассоциативный операция условно вычисляется справа налево:

x ∗ y ∗ z = x ∗ (y ∗ z) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ (x ∗ (y ∗ z)) и т. д.} для всех w Икс, Y, Z ∈ S {\ Displaystyle \ влево. {\ begin {matrix} х * у * Z = х * (у * г) \ qquad \ qquad \ quad \, \\ ш * х * у * г = w * (x * (y * z)) \ quad \\ {\ t_dv {и т. д.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех}} w, x, y, z \ in S}\ left. {\ begin {matrix} x * y * z = x * (y * z) \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = w * (x * (y * z)) \ quad \\ {\ t_dv {etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ t_dv {для всех}} w, x, y, z \ in S

Имеются как левоассоциативные, так и правоассоциативные операции. К левоассоциативным операциям относятся следующие:

  • Вычитание и деление действительных чисел:
x - y - z = (x - y) - z {\ displaystyle xyz = (xy) -z}{\ displaystyle xyz = (xy) -z}
x / y / z = (x / y) / z {\ displaystyle x / y / z = (x / y) / z}{\ displaystyle x / y / z = (x / y) / z}
  • Функция приложения:
(fxy) = ((fx) y) {\ displaystyle (f \, x \, y) = ((f \, x) \, y)}(f \, x \, y) = ((f \, x) \, y)
Это обозначение может быть мотивировано изоморфизмом каррирования.

Правоассоциативные операции включают следующее:

xyz = x (yz) {\ displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}}{\ displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}}
Возведение в степень обычно используется со скобками или правоассоциативно, потому что повторная операция левоассоциативного возведения в степень малоэффективна. Повторяющиеся степени чаще всего переписываются с умножением:
(xy) z = x (yz) {\ displaystyle (x ^ {y}) ^ {z} = x ^ {(yz)}}{\ displaystyle (x ^ {y}) ^ {z} = x ^ {(yz)}}
Отформатировано правильно, надстрочный индекс по своей природе представляет собой набор круглых скобок; например в выражении 2 x + 3 {\ displaystyle 2 ^ {x + 3}}{\ displaystyle 2 ^ {x + 3}} сложение выполняется перед возведением в степень, несмотря на отсутствие явных скобок 2 (x + 3) {\ displaystyle 2 ^ {(x + 3)}}{\ displaystyle 2 ^ {(х + 3)}} обернут вокруг него. Таким образом, с учетом такого выражения, как xyz {\ displaystyle x ^ {y ^ {z}}}x ^ {y ^ z} , полный показатель yz {\ displaystyle y ^ {z}}{\ displaystyle y ^ {z}} базы x {\ displaystyle x}x оценивается первым. Однако в некоторых контекстах, особенно в почерке, разница между xyz = (xy) z {\ displaystyle {x ^ {y}} ^ {z} = (x ^ {y}) ^ {z}}{\ displaystyle {x ^ {y}} ^ {z} = (x ^ {y}) ^ {z}} , xyz = x (yz) {\ displaystyle x ^ {yz} = x ^ {(yz)}}{\ Displaystyle x ^ {yz} = x ^ {(yz)} } и xyz = x (yz) {\ displaystyle x ^ {y ^ { z}} = x ^ {(y ^ {z})}}{\ displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}} может быть трудно увидеть. В таком случае обычно подразумевается право-ассоциативность.
Z → Z → Z = Z → (Z → Z) {\ displaystyle \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} \ rightarrow (\ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z})}\ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} \ rightarrow (\ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z})
x ↦ y ↦ x - y = x ↦ (y ↦ x - y) {\ displaystyle x \ mapsto y \ mapsto xy = x \ mapsto (y \ mapsto xy)}x \ mapsto y \ mapsto xy = x \ mapsto (y \ mapsto xy)
Использование правоассоциативных обозначений для этих операций может быть мотивировано соответствием Карри – Ховарда и каррирование изоморфизм.

Неассоциативные операции, для которых не определен обычный порядок оценки, включают следующее.

  • Возведение в степень действительных чисел в инфиксной записи:
(x ∧ y) ∧ z ≠ x ∧ (y ∧ z) {\ displaystyle (x ^ {\ wedge} y) ^ {\ wedge} z \ neq x ^ {\ wedge} (y ^ {\ wedge} z)}{\ displaystyle (x ^ {\ wedge} y) ^ {\ wedge} z \ neq x ^ {\ wedge} (y ^ {\ wedge } z)}
a ↑↑ (b ↑↑ c) ≠ (a ↑↑ b) ↑↑ c {\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow (b \ uparrow \ uparrow c) \ neq (a \ uparrow \ uparrow b) \ uparrow \ uparrow c}{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow (b \ uparrow \ uparrow c) \ neq (a \ uparrow \ uparrow b) \ uparrow \ uparrow c}
a ↑↑↑ (b ↑↑↑ c) ≠ (a ↑↑↑ b) ↑ ↑↑ c {\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (b \ uparrow \ uparrow \ uparrow c) \ neq (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b) \ uparrow \ uparrow \ uparrow c}{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (b \ uparrow \ uparrow \ uparrow c) \ neq (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b) \ uparrow \ uparrow \ uparrow c}
a → × (b → × c →) ≠ (a → × b →) × c → для некоторых a →, b →, c → ∈ R 3 {\ displaystyle {\ vec {a}} \ times ({\ vec {b}} \ times {\ vec {c}}) \ neq ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ times { \ vec {c}} \ qquad {\ t_dv {для некоторых}} {\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} }{\ vec {a}} \ times ({\ vec {b}} \ times {\ vec {c}}) \ neq ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ times {\ vec {c}} \ qquad {\ t_dv {для некоторых}} {\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}} \ in \ mathbb {R} ^ {3}
  • Взяв попарное среднее действительных чисел:
(x + y) / 2 + z 2 ≠ x + (y + z) / 2 2 для всех x, y, z ∈ R с x ≠ z. {\ displaystyle {(x + y) / 2 + z \ over 2} \ neq {x + (y + z) / 2 \ over 2} \ qquad {\ t_dv {для всех}} x, y, z \ in \ mathbb {R} {\ t_dv {with}} x \ neq z.}{(x + y) / 2 + z \ over 2} \ neq {x + (y + z) / 2 \ over 2} \ qquad {\ t_dv {для all}} x, y, z \ in \ mathbb {R} {\ t_dv {with}} x \ neq z.
См. Также
Найдите ассоциативное свойство в Викисловаре, бесплатном словаре.
Ссылки
Последняя правка сделана 2021-06-12 01:40:00
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте