Распределение Лапласа

редактировать

Лаплас
Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$ местоположение (реальное ). $b>0 {\ displaystyle b>0}$ $b>0$ масштаб (реальный)
Поддержка	$R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
PDF	$1 2 b exp ⁡ (- \| x - μ \| b) {\ displaystyle {\ frac {1} {2b}} \ exp \ left (- {\ frac {\| x- \ mu \| } {b}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2b}} \ exp \ left (- {\ frac {\| x- \ mu \|} {b}} \ right)}$
CDF	${1 2 exp ⁡ (x - μ b), если x ≤ μ 1 - 1 2 exp ⁡ (- x - μ b), если x ≥ μ {\ displaystyle {\ begin {case} {\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) {\ text {if}} x \ leq \ mu \\ [8pt] 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) {\ text {if}} x \ geq \ mu \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) {\ text {if}} x \ leq \ mu \\ [8pt] 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) {\ text {if}} x \ geq \ mu \ end {cases}}}$
Квантиль	${μ + b ln ⁡ (2 F), если F ≤ 1 2, μ - b ln ⁡ (2 - 2 F), если F ≥ 1 2 {\ displaystyle {\ begin {case} \ mu + b \ ln \ left (2F \ right) {\ text {if}} F \ leq {\ frac {1} {2}} \\ [8pt] \ mu -b \ ln \ left (2-2F \ right) { \ text {if}} F \ geq {\ frac {1} {2}} \ end {ases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {case} \ mu + b \ ln \ left (2F \ right) {\ text {if}} F \ leq {\ frac {1} {2}} \\ [8pt] \ mu -b \ ln \ left (2-2F \ right) {\ text {if}} F \ geq {\ frac {1} {2}} \ end {cases}}}$
Среднее	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$
Медиана	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$
Mode	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$
Variance	$2 b 2 {\ displaystyle 2b ^ {2}}$ $2b ^ {2}$
MAD	$b {\ displaystyle b}$ $b$
Асимметрия	$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$
Пример. эксцесс	$3 {\ displaystyle 3}$ $3$
Энтропия	$log ⁡ (2 be) {\ displaystyle \ log (2be)}$ ${\ displaystyle \ log (2be)}$
MGF	$exp ⁡ (μ t) 1 - b 2 t 2 для \| т \| < 1 / b {\displaystyle {\frac {\exp(\mu t)}{1-b^{2}t^{2}}}{\text{ for }}\|t\|<1/b}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu t)} { 1-b ^ {2} t ^ {2}}} {\ text {for}} \| t \| <1 / b}$
CF	$ехр ⁡ (μ it) 1 + b 2 t 2 {\ displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu it)} {1 + b ^ {2} t ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu it)} {1 + b ^ {2} t ^ {2}}}}$

In теория вероятностей и статистика, распределение Лапласа - это непрерывное распределение вероятностей, названное в честь Пьера-Симона Лапласа. Его также иногда называют двойным экспоненциальным распределением, потому что его можно рассматривать как два экспоненциального распределения (с дополнительным параметром местоположения), соединенных друг с другом, хотя термин также иногда используется для обозначения распределения Гамбеля. Разница между двумя независимыми одинаково распределенными экспоненциальными случайными величинами регулируется распределением Лапласа, как и броуновское движение, оцениваемое в экспоненциально распределенное случайное время. Приращения движения Лапласа или дисперсионного гамма-процесса, оцененные по временной шкале, также имеют распределение Лапласа.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Функция плотности вероятности
- 1.2 Кумулятивная функция распределения
2 Свойства
- 2.1 Моменты
3 Связанные распределения
- 3.1 Связь с экспоненциальным распределением
- 3.2 Распределения Саргана
4 Статистический вывод
- 4.1 Оценка параметров
5 Возникновение и приложения
6 Вычислительные методы
- 6.1 Получение значений из распределения Лапласа
7 История
8 См. также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определения

Функция плотности вероятности

A случайная величина имеет $Лаплас (μ, b) {\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ распределение, если его функция плотности вероятности равна

f (x ∣ μ, b) = 1 2 b exp ⁡ (- | х - μ | b) {\ displaystyle f (x \ mid \ mu, b) = {\ frac {1} {2b}} \ exp \ left (- {\ frac {| x- \ mu |} {b} } \ right) \, \!}

f (x \ mid \ mu, b) = {\ frac {1} {2b}} \ exp \ left (- {\ гидроразрыв {| x- \ mu |} {b}} \ right) \, \!

= 1 2 b {exp ⁡ (- μ - xb) if x < μ exp ⁡ ( − x − μ b) if x ≥ μ {\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right){\text{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right){\text{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}

= {\ frac {1} {2b}} \ left \ {{\ b egin {matrix} \ exp \ left (- {\ frac {\ mu -x} {b}} \ right) {\ text {if}} x <\ mu \\ [8pt] \ exp \ left (- { \ frac {x- \ mu} {b}} \ right) {\ text {if}} x \ geq \ mu \ end {matrix}} \ right.

Здесь $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$ - это параметр местоположения и $b>0 {\ displaystyle b>0}$ $b>0$ , которое иногда называют разнообразием, является параметром масштаба. Если $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ и $b = 1 {\ displaystyle b = 1}$ $b = 1$ , положительная полупрямая линия в точности соответствует экспоненциальное распределение с масштабированием 1/2.

Функция плотности вероятности распределения Лапласа также напоминает нормальное распределение ; однако, в то время как нормальное распределение выражается в виде квадрата разницы от среднего $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$ , плотность Лапласа выражается в терминах абсолютной разницы от среднего. Следовательно, распределение Лапласа имеет более толстые хвосты, чем нормальное распределение.

Кумулятивная функция распределения

Распределение Лапласа легко интегрировать (если различают два симметричных случая) благодаря использованию абсолютного значения функция. Его кумулятивная функция распределения выглядит следующим образом:

F (x) = ∫ - ∞ xf (u) du = {1 2 exp ⁡ (x - μ b) if x < μ 1 − 1 2 exp ⁡ ( − x − μ b) if x ≥ μ = 1 2 + 1 2 sgn ⁡ ( x − μ) ( 1 − exp ⁡ ( − | x − μ | b)). {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right){\t_dv{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right){\t_dv{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu)\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}}

\ begin {align} F (x) = \ int _ {- \ infty} ^ x \! \! f (u) \, \ mathrm {d} u = \ begin {cases} \ frac12 \ exp \ left (\ frac {x- \ mu} {b} \ right) \ t_dv {if} x <\ mu \\ 1- \ frac12 \ exp \ left (- \ frac {x- \ mu} {b} \ right) \ t_dv {if} x \ geq \ mu \ end {cases} \\ = \ tfrac {1} {2} + \ tfrac { 1} {2} \ sgn (x- \ mu) \ left (1- \ exp \ left (- \ frac {| x- \ mu |} {b} \ right) \ right). \ end {align}

Обратный кумулятивный Функция распределения задается как

F - 1 (p) = μ - b sign ⁡ (p - 0,5) ln ⁡ (1-2 | p - 0,5 |). {\ displaystyle F ^ {- 1} (p) = \ mu -b \, \ operatorname {sgn} (p-0.5) \, \ ln (1-2 | p-0.5 |).}

F ^ {- 1} (p) = \ mu - b \, \ sgn (п-0,5) \, \ пер (1-2 | р-0,5 |).

Свойства

Моменты

μ r ′ = (1 2) ∑ k = 0 r [r! (г - к)! bk μ (r - k) {1 + (- 1) k}] = mn + 1 2 b (em / b E - n (m / b) - e - m / b E - n (- m / b)) {\ displaystyle \ mu _ {r} '= {\ bigg (} {\ frac {1} {2}} {\ bigg)} \ sum _ {k = 0} ^ {r} {\ bigg [} { \ frac {r!} {(rk)!}} b ^ {k} \ mu ^ {(rk)} \ {1 + (- 1) ^ {k} \} {\ bigg]} = {\ frac { m ^ {n + 1}} {2b}} \ left (e ^ {m / b} E _ {- n} (m / b) -e ^ {- m / b} E _ {- n} (- m / b) \ right)}

\mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg)}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}={\frac {m^{n+1}}{2b}}\left(e^{m/b}E_{-n}(m/b)-e^{-m/b}E_{-n}(-m/b)\right)

где $E n () {\ displaystyle E_ {n} ()}$ ${\ displaystyle E_ {n} ()}$ - обобщенный экспоненциальный интеграл функция $E n (x) = xn - 1 Γ (1 - n, x) {\ displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x)}$ ${\ displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1- n, x)}$ .

Связанные распределения

Если $X ∼ Лаплас (μ, b) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle Икс \ сим {\ textrm {Лаплас}} (\ му, b)}$ , то $k X + c ∼ Laplace ( k μ + c, kb) {\ displaystyle kX + c \ sim {\ textrm {Laplace}} (k \ mu + c, kb)}$ ${\ displaystyle kX + c \ sim {\ textrm {Laplace}} (k \ mu + c, kb)}$ .
если $X ∼ Laplace (0, b) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ , затем $| X | ∼ Экспонента (b - 1) {\ displaystyle \ left | X \ right | \ sim {\ textrm {Exponential}} \ left (b ^ {- 1} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left | X \ right | \ sim {\ textrm {Exponential}} \ left (b ^ {- 1} \ right)}$ . (Экспоненциальное распределение )
Если $X, Y ∼ Exponential (λ) {\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ , то $Икс - Y ∼ Лаплас (0, λ - 1) {\ displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} \ left (0, \ lambda ^ {- 1} \ right)}$ ${\ displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} \ left (0, \ lambda ^ {- 1} \ right)}$ ．
Если $X ∼ Лаплас (μ, b) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle Икс \ сим {\ textrm {Лаплас}} (\ му, b)}$ , затем $| X - μ | ∼ Exponential (b - 1) { \ displaystyle \ left | X- \ mu \ right | \ sim {\ textrm {Exponential}} (b ^ {- 1})}$ ${\ displaystyle \ left | X- \ mu \ right | \ sim {\ textrm {Exponential}} (b ^ {- 1})}$ .
Если $X ∼ Laplace (μ, b) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle Икс \ сим {\ textrm {Лаплас}} (\ му, b)}$ затем $X ∼ EPD (μ, b, 1) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {EPD}} (\ mu, b, 1)}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {EPD}} (\ mu, b, 1)}$ . (Экспоненциальное распределение мощности )
Если $X 1,..., X 4 ∼ N (0, 1) {\ displaystyle X_ {1 },..., X_ {4} \ sim {\ textrm {N}} (0,1)}$ ${\ displaystyle X_ {1},..., X_ {4} \ sim {\ textrm {N}} (0,1)}$ (Нормальное распределение ), то $X 1 X 2 - X 3 X 4 ∼ Laplace ( 0, 1) {\ displaystyle X_ {1} X_ {2} -X_ {3} X_ {4} \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ displaystyle X_ {1} X_ {2} -X_ {3} X_ {4} \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ .
Если $X i ∼ Laplace (μ, Ь) {\ Displaystyle X_ {я} \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle X_ {i} \ sim { \ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ , тогда $2 b ∑ i = 1 n | X i - μ | ∼ χ 2 (2 N) {\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle 2} {b}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} | X_ {i} - \ mu | \ sim \ chi ^ {2 } (2n)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle 2} {b}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} | X_ {i} - \ mu | \ sim \ chi ^ {2} (2n)}$ . (Распределение хи-квадрат )
Если $X, Y ∼ Лаплас (μ, b) {\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ , затем $| X - μ | | Y - μ | ∼ F ⁡ (2, 2) {\ displaystyle {\ tfrac {| X- \ mu |} {| Y- \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {| X- \ mu |} {| Y- \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}$ . (F-распределение )
Если $X, Y ∼ U (0, 1) {\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {U}} (0,1)}$ ${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {U}} (0, 1)}$ (Равномерное распределение ), затем $log ⁡ (X / Y) ∼ Laplace (0, 1) {\ displaystyle \ log (X / Y) \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ displaystyle \ log (X / Y) \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ .
Если $X ∼ Exponential (λ) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ и $Y ∼ Бернулли (0,5) {\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Bernoulli}} (0,5)}$ ${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Bernoulli}} (0,5)}$ (Распределение Бернулли ) независимо от $X {\ displaystyle X}$ $X$ , тогда $X (2 Y - 1) ∼ Laplace (0, λ - 1) {\ displaystyle X (2Y-1) \ sim {\ textrm {Laplace}} \ left (0, \ lambda ^ {- 1} \ right)}$ ${\ displaystyle X (2Y-1) \ sim {\ textrm {Лаплас}} \ left (0, \ lambda ^ {- 1} \ right)}$ .
Если $X ∼ Exponential (λ) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ и $Y ∼ Exp onential (ν) {\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ nu)}$ ${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ nu)}$ независимо от $X {\ displaystyle X}$ $X$ , затем $λ Икс - ν Y ∼ Лаплас (0, 1) {\ displaystyle \ lambda X- \ nu Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ displaystyle \ lambda X- \ nu Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ．
Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет распределение Радемахера и $Y ∼ Exponential (λ) {\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ тогда $XY ∼ Laplace (0, 1 / λ) {\ displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$ ${ \ Displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$ .
Если $V ∼ Exponential (1) { \ Displaystyle V \ sim {\ textrm {Exponential}} (1)}$ ${\ displaystyle V \ sim {\ textrm {Exponential}} (1)}$ и $Z ∼ N (0, 1) {\ displaystyle Z \ sim N (0,1)}$ ${\ displaystyle Z \ sim N (0,1)}$ независимо от $V {\ displaystyle V}$ $V$ , тогда $X = μ + b 2 VZ ∼ L aplace (μ, b) {\ displaystyle X = \ mu + b { \ sqrt {2V}} Z \ sim \ mathrm {Laplace} (\ mu, b)}$ $X = \ mu + b \ sqrt {2 V} Z \ sim \ mathrm {Laplace} (\ mu, b)$ .
Если $X ∼ GeometricStable (2, 0, λ, 0) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm { GeometricStable}} (2,0, \ lambda, 0)}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ text rm {GeometricStable}} (2,0, \ lambda, 0)}$ (геометрическое стабильное распределение ), затем $X ∼ Лапласа (0, λ) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, \ lambda)}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, \ lambda)}$ .
Распределение Лапласа является предельным случаем гиперболического распределения.
Если $X | Y ∼ N (μ, Y 2) {\ displaystyle X | Y \ sim {\ textrm {N}} (\ mu, Y ^ {2})}$ ${\ displaystyle X | Y \ sim {\ textrm {N}} (\ му, Y ^ {2})}$ с $Y ∼ Rayleigh (b) {\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Rayleigh}} (b)}$ ${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Rayleigh}} (b)}$ (Распределение Рэлея ), то $X ∼ Laplace (μ, b) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace }} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle Икс \ сим {\ textrm {Лаплас}} (\ му, b)}$ .
Дано целое число $n ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ , если $X 1, X 2 ∼ Γ (1 n, b) {\ displaystyle X_ {1}, X_ {2} \ sim \ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}}, b \ right)}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2} \ sim \ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}}, b \ right)}$ (гамма-распределение, используя $К, θ {\ displaystyle k, \ theta}$ ${\ displaystyle k, \ theta}$ характеристика), тогда $∑ i = 1 n (μ n + X 1 - X 2) ∼ Laplace (μ, b) {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ mu} {n}} + X_ {1} -X_ {2} \ right) \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ mu} {n}} + X_ {1} -X_ {2} \ right) \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ (бесконечная делимость )

Связь с экспоненциальным распределением

Случайная величина Лапласа может быть представлена как разность двух iid экспоненциальных случайных величин. Один из способов показать это - использовать подход характеристической функции. Для любого набора независимых непрерывных случайных величин, для любой линейной комбинации этих переменных его характеристическая функция (которая однозначно определяет распределение) может быть получена путем умножения соответствующих характеристических функций.

Рассмотрим две случайные величины i.i.d $X, Y ∼ Exponential (λ) {\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Exponential}} (\ lambda)}$ . Характеристические функции для $X, - Y {\ displaystyle X, -Y}$ ${\ displaystyle X, -Y}$ равны

λ - it + λ, λ it + λ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} { -it + \ lambda}}, \ quad {\ frac {\ lambda} {it + \ lambda}}}

\ frac {\ lambda} {- я t + \ lambda}, \ quad \ frac {\ lambda} {я t + \ lambda}

соответственно. При умножении этих характеристических функций (эквивалентных характеристической функции суммы случайных величин $X + (- Y) {\ displaystyle X + (- Y)}$ ${\ displaystyle X + (- Y)}$ ) результат будет

λ 2 (- it + λ) (it + λ) = λ 2 t 2 + λ 2. {\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {2}} {(- it + \ lambda) (it + \ lambda)}} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {t ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}

{\ frac {\ lambda ^ {2}} {( -it + \ lambda) (it + \ lambda)}} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {t ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.

Это то же самое, что и характеристическая функция для $Z ∼ Laplace (0, 1 / λ) {\ displaystyle Z \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$ ${\ displaystyle Z \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$ , что равно

1 1 + t 2 λ 2. {\ displaystyle {\ frac {1} {1 + {\ frac {t ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}}}}.}

{\ frac {1} {1 + {\ frac {t ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}}}}.

Распределения Саргана

Распределения Саргана система распределений, ядром которой является распределение Лапласа. A $p {\ displaystyle p}$ $p$ распределение Саргана -го порядка имеет плотность

fp (x) = 1 2 exp ⁡ (- α | x |) 1 + ∑ j = 1 p β j α j | х | J 1 + ∑ J знак равно 1 п J! β J, {\ displaystyle f_ {p} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ exp (- \ alpha | x |) {\ frac {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p} \ beta _ {j} \ alpha ^ {j} | x | ^ {j}} {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p} j! \ beta _ {j}} },}

f_p (x) = \ tfrac {1} {2} \ exp (- \ alpha | x |) \ frac {\ displaystyle 1 + \ sum_ {j = 1} ^ p \ beta_j \ alpha ^ j | x | ^ j} {\ displaystyle 1+ \ sum_ {j = 1} ^ pj! \ beta_j},

для параметров $α ≥ 0, β j ≥ 0 {\ displaystyle \ alpha \ geq 0, \ beta _ {j} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geq 0, \ beta _ {j} \ geq 0}$ . Результаты распределения Лапласа для $p = 0 {\ displaystyle p = 0}$ $p = 0$ .

Статистический вывод

Оценка параметров

При $N {\ displaystyle N}$ $N$ независимые и одинаково распределенные выборки $x 1, x 2,..., x N {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2},..., x_ {N}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2},..., x_ {N}}$ , оценка максимального правдоподобия $μ ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mu}}}$ ${\ hat {\ mu}}$ из $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$ - это выборка медиана, а максимальное правдоподобие оценка $b ^ {\ displaystyle {\ hat {b}}}$ $\ шляпа {b}$ of $b {\ displaystyle b}$ $b$ - среднее абсолютное отклонение от медианы

b ^ = 1 N ∑ i = 1 N | х i - μ ^ | {\ displaystyle {\ hat {b}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - {\ hat {\ mu}} |}

\ hat {b} = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1 } ^ {N} | x_i - \ hat {\ mu} |

(выявляя связь между распределением Лапласа и наименьшими абсолютными отклонениями ).

Возникновение и приложения

Распределение Лапласа использовалось в распознавании речи для моделирования априорных значений по коэффициентам DFT и в сжатии изображений JPEG для моделирования коэффициентов AC, сгенерированных с помощью DCT.

Добавление шума, полученного из распределения Лапласа с параметром масштабирования, соответствующим чувствительности функции, к выходным данным запроса статистической базы данных является наиболее распространенным средством обеспечения дифференциальной конфиденциальности в статистических базах данных..

Подгонка распределения Лапласа к максимальным однодневным осадкам

В регрессионном анализе оценка наименьших абсолютных отклонений возникает как оценка максимального правдоподобия, если ошибки имеют распределение Лапласа.
Лассо можно рассматривать как байесовскую регрессию с априорным лапласианом.
В гидрологии распределение Лапласа применяется к экстремальным явлениям например, максимальное годовое количество осадков за один день и сток рек. Синяя картинка, сделанная с помощью CumFreq, иллюстрирует пример подгонки распределения Лапласа к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, демонстрируя также 90% доверительный пояс на основе бинома . распределение. Данные об осадках представлены позициями как часть кумулятивного частотного анализа.

Распределение Лапласа, являющееся составным или двойным распределением, применимо в ситуациях, когда более низкие значения возникают при других внешних условиях, чем более высокие, так что они следуют другому шаблону.

Вычислительные методы

Генерация значений из распределения Лапласа

Учитывая случайная величина $U {\ displaystyle U}$ $U$ , полученная из равномерного распределения в интервале $(- 1/2, 1/2) {\ displaystyle \ left ( -1 / 2,1 / 2 \ справа)}$ ${\ displaystyle \ left (-1 / 2,1 / 2 \ right)}$ , случайная величина

X = μ - b sign ⁡ (U) ln ⁡ (1-2 | U |) {\ displaystyle X = \ mu -b \, \ operatorname {sgn} (U) \, \ ln (1-2 | U |)}

X = \ mu - b \, \ sgn (U) \, \ ln (1-2 | U |)

имеет распределение Лапласа с параметрами $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ m u$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ . Это следует из приведенной выше обратной кумулятивной функции распределения.

A $Лаплас (0, b) {\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ ${ \ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ также может быть сгенерирован как разность двух iid $Экспоненциальная (1 / b) {\ displaystyle {\ textrm {Exponential}} (1 / b)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Exponential}} ( 1 / b)}$ случайные величины. Эквивалентно $Лаплас (0, 1) {\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ также может быть сгенерирован как логарифм отношения две iid равномерные случайные величины.

История

Это распределение часто называют первым законом ошибок Лапласа. Он опубликовал ее в 1774 году, когда заметил, что частота ошибки может быть выражена как экспоненциальная функция ее величины, если не учитывать ее знак.

Кейнс опубликовал статью в 1911 году, основанную на его более раннем тезисе, в котором он показал что распределение Лапласа минимизировало абсолютное отклонение от медианы.

См. также

Многомерное распределение Лапласа
мера Бесова, обобщение распределения Лапласа на функциональные пространства
Распределение Коши, также называемое «распределением Лоренца» (преобразование Фурье Лапласа)
Характеристическая функция (теория вероятностей)
Распределение Лог-Лапласа

Ссылки

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]