Параметр местоположения

редактировать

В статистике параметр местоположения распределения вероятностей является скалярным или векторным значением параметр x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} , который определяет "местоположение "или смещение распределения. В литературе по оценке параметров местоположения распределения вероятностей с таким параметром формально определяются одним из следующих эквивалентных способов:

Прямым примером параметра местоположения является параметр μ {\ displaystyle \ mu}\ mu нормального распределения . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что pdf (функция плотности вероятности) f (x | μ, σ) {\ displaystyle f (x | \ mu, \ sigma)}{\ displaystyle f (x | \ mu, \ sigma)} нормального распределения N (μ, σ 2) {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}{\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2 }) может иметь параметр μ {\ displaystyle \ mu}\ mu , факторизованный и записанный как:

g (y - μ | σ) = 1 σ 2 π e - 1 2 (y σ) 2 {\ displaystyle g (y- \ mu | \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {2} } \ left ({\ frac {y} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}{\ displaystyle g (y- \ mu | \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {y} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}

, таким образом выполняя первое из определений, данных выше.

Приведенное выше определение указывает, что в В одномерном случае, если x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} увеличивается, плотность вероятности или функция масс жестко смещается вправо, сохраняя свою точную форму.

Параметр местоположения также можно найти в семьях, имеющих более одного параметра, например, семейства в масштабе местоположения. В этом случае функция плотности вероятности или функция массы вероятности будет частным случаем более общего вида

fx 0, θ (x) = f θ (x - x 0) {\ displaystyle f_ {x_ {0}, \ theta} (x) = f _ {\ theta} (x-x_ {0})}f _ {{x_ {0}, \ theta}} (x) = f _ {\ theta} (x-x_ {0})

где x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} - параметр местоположения, θ представляет дополнительные параметры, а f θ {\ displaystyle f _ {\ theta}}f _ {\ theta} - функция, параметризованная на дополнительных параметрах.

Содержание

  • 1 Аддитивный шум
  • 2 Доказательства
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки

Аддитивный шум

Альтернативный подход к семействам местоположений - это концепция аддитивный шум. Если x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} является константой, а W - случайным шумом с плотностью вероятности f W (w), {\ displaystyle f_ {W} (w),}f_ {W} (w), , тогда X = x 0 + W {\ displaystyle X = x_ {0} + W}Икс = x_ {0} + W имеет плотность вероятности fx 0 (x) = f W (x - x 0) {\ displaystyle f_ {x_ {0}} (x) = f_ {W} (x-x_ {0})}f _ {{x_ {0}}} (x) = f_ {W} (x-x_ {0}) , поэтому его распределение часть локационной семьи.

Доказательства

Для непрерывного одномерного случая рассмотрим функцию плотности вероятности f (x | θ), x ∈ [a, b] ⊂ R {\ displaystyle f (x | \ theta), x \ in [a, b] \ subset \ mathbb {R}}{\ displaystyle f (x | \ theta), x \ in [a, b] \ subset \ mathbb {R}} , где θ {\ displaystyle \ theta}\ theta - вектор параметров. Параметр местоположения x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} можно добавить, определив:

g (x | θ, x 0) = f (x - x 0 | θ), x ∈ [a - x 0, b - x 0] {\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) = f (x-x_ {0} | \ theta), \; x \ in [a -x_ {0}, b-x_ {0}]}{\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) = f (x-x_ {0} | \ theta), \; x \ in [a-x_ {0}, b-x_ {0}]}

можно доказать, что g {\ displaystyle g}g является pdf проверяя, соблюдает ли он два условия g (x | θ, x 0) ≥ 0 {\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}{\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0} и ∫ - ∞ ∞ g (x | θ, x 0) dx = 1 {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = 1}{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = 1} . g {\ displaystyle g}g интегрируется до 1, потому что:

∫ - ∞ ∞ g (x | θ, x 0) dx = ∫ a - x 0 b - x 0 g (x | θ, Икс 0) dx знак равно ∫ a - Икс 0 б - Икс 0 е (Икс - Икс 0 | θ) dx {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0} } ^ {b-x_ {0}} f (x-x_ {0} | \ theta) dx}{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} f (x-x_ {0} | \ theta) dx}

теперь меняем переменную u = x - x 0 {\ displaystyle u = x-x_ { 0}}{\ displaystyle u = x-x_ {0}} и обновление интервала интегрирования соответственно дает:

∫ abf (u | θ) du = 1 {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (u | \ theta) du = 1}{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (u | \ theta) du = 1}

потому что f (x | θ) {\ displaystyle f (x | \ theta)}{\ displaystyle f (x | \ theta)} - это PDF-файл по гипотезе. g (x | θ, x 0) ≥ 0 {\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}{\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0} следует из g {\ displaystyle g}g использование одного и того же изображения f {\ displaystyle f}f , которое является pdf поэтому его изображение содержится в [0, 1] {\ displaystyle [0,1]}[0,1] .

См. также

Ссылки

  1. ^Такеучи, Кей (1971). «Равномерно асимптотически эффективная оценка параметра местоположения». Журнал Американской статистической ассоциации. 66 (334): 292–301.
  2. ^Хубер, Питер Дж. (1992). «Робастная оценка параметра местоположения». Прорывы в статистике. Springer: 492–518.
  3. ^Стоун, Чарльз Дж. (1975). "Адаптивные оценки максимального правдоподобия параметра местоположения". Летопись статистики. 3 (2): 267–284.
  4. ^Росс, Шелдон (2010). Введение в вероятностные модели. Амстердам Бостон: Academic Press. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC 444116127.
Последняя правка сделана 2021-05-28 05:09:21
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте