Факторная мера момента

В вероятность и статистика, факторная мера момента - это математическая величина, функция или, точнее, мера, которая определяется в отношении математических объектов, известных как точечные процессы, которые являются типами случайных процессов, часто используемых в качестве математических моделей физических явлений, представленных как случайным образом расположенных точек в время, пробел или оба. Моментные меры обобщают идею факториальных моментов, которые полезны для изучения неотрицательных целочисленных -значных случайных величин.

Первый факторный момент мера точечного процесса совпадает с его мерой первого момента или мерой интенсивности, которая дает ожидаемое или среднее количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области пространства. В общем случае, если количество точек в некоторой области рассматривается как случайная величина, то факторная мера момента этой области является факториальным моментом этой случайной величины. Факторные измерения момента полностью характеризуют широкий класс точечных процессов, что означает, что их можно использовать для однозначной идентификации точечных процессов.

Если факторная мера момента абсолютно непрерывна, то в отношении меры Лебега говорят, что она имеет плотность (которая является обобщенной формой производная ), и эта плотность известна под несколькими названиями, такими как факторная плотность момента и плотность продукта, а также плотность совпадений, совместная интенсивность, корреляционная функция. или многомерный частотный спектр. Первый и второй факторные плотности моментов точечного процесса используются в определении парной корреляционной функции, что дает возможность статистически количественно оценить силу взаимодействия или корреляции между точками точки.

Факторные измерения моментов служат полезными инструментами при изучении точечных процессов, а также связанных полей стохастической геометрии и пространственной статистики, которые применяются в различные научные и инженерные дисциплины, такие как биология, гео logy, физика и телекоммуникации.

• 1 Обозначение точечного процесса
• 2 Определения
  • 2.1 n-я факторная мощность точечного процесса
  • 2.2 n-я факторная мера момента
  • 2.3 Первая факторная мера момента
  • 2.4 Вторая факторная мера момента
• 3 Объяснение названия
• 4 Факторная плотность момента
• 5 Парная корреляционная функция
• 6 Примеры
  • 6.1 Точечный процесс Пуассона
• 7 Факторное расширение момента
• 8 См. Также
• 9 Ссылки

Точечные процессы - это математические объекты, которые определены в некотором базовом математическом пространстве. Поскольку эти процессы часто используются для представления совокупностей точек, случайным образом разбросанных в пространстве, времени или и в том, и в другом, базовое пространство обычно d-мерное евклидово пространство, обозначенное здесь R, но они могут быть определенным на более абстрактных математических пространствах.

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, которые отражаются в различных типах нотации точечных процессов. Например, если точка $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного N, то это можно записать как:

$x\; \in \; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\; \backslash \; in\; \{N\},\}$

и представляет точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор. В качестве альтернативы количество точек N, расположенных в некотором наборе Бореля B, часто записывается как:

$N\; (B),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; (B),\}$

который отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.

n-я факторная мощность точечного процесса

Для некоторых положительных целых чисел $n\; =\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\; =\; 1,2,\; \backslash \; ldots\}$, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-й факториал мощность точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$на $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$определяется как:

$N\; (n)\; (B\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; B\; n)\; =\; \sum \; (x\; 1\; \ne \; \cdots \; \ne \; xn)\; \in \; N\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; 1\; B\; i\; (xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; N\}\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{(x\_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; dots\; \backslash \; neq\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; in\; \{N\}\; \}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; \_\; \{B\_\; \{i\}\}\; (x\_\; \{i\})\}$

где $B\; 1,...,\; B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{1\},...,\; B\_\; \{n\}\}$представляет собой набор необязательно непересекающихся борелевских множеств в $R\; d\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$, которые образуют $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-fold декартово произведение наборов, обозначенных:

$B\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; B\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\}.\}$

Символ $1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\}$обозначает индикаторная функция такая, что $1\; B\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; \_\; \{B\_\; \{1\}\}\}$является мерой Дирака для набора $В\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{n\}\}$. суммирование в приведенном выше выражении выполняется по всем $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-кортежам различных точек, включая перестановки, которые могут быть в отличие от определения n-й степени точечного процесса. Символ $\Pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Pi\}$обозначает умножение, в то время как наличие различных точечных обозначений процесса означает, что n-я факториальная степень точечного процесса иногда определяется с использованием других обозначений.

n-я факторная мера момента

n-я мера факторного момента или мера факторного момента n-го порядка определяется как:

$M\; (\; п)\; (В\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; В\; N)\; знак\; равно\; Е\; [N\; (n)\; (В\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; B\; n)],\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})\; =\; E\; [\{N\}\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})],\}$

где E обозначает ожидание (оператор ) точечного процесса N. Другими словами, n-я факториальная мера момента представляет собой математическое ожидание n-й факториальной мощности некоторого точечного процесса.

n-я факторная мера момента точечного процесса N эквивалентно определяется следующим образом:

$\int \; R\; ndf\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; M\; (n)\; (dx\; 1,\dots ,\; dxn)\; =\; E\; [\sum \; (Икс\; 1\; \ne \; \cdots \; \ne \; xn)\; \in \; N\; f\; (x\; 1,\dots ,\; xn)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{nd\}\}\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; M\; ^\; \{(n)\}\; (dx\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; dx\_\; \{n\})\; =\; E\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{(x\_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; neq\; x\_\; \{\; n\})\; \backslash \; in\; \{N\}\}\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; right],\}$

где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- любое неотрицательная измеримая функция на $R\; nd\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{nd\}\}$, и указанное выше суммирование выполняется по всем $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$кортежи различных точек, включая перестановки. Следовательно, факторная мера момента определяется так, что в наборе произведения нет точек, повторяющихся в отличие от меры момента.

Первая факториальная мера момента

Первая факториальная мера момента $M\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; M\; ^\; \{1\}\}$совпадает с мерой первого момента :

$M\; (1)\; (B)\; =\; M\; 1\; (B)\; =\; E\; [N\; (\; B)],\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{(1)\}\; (B)\; =\; M\; ^\; \{1\}\; (B)\; =\; E\; [\{N\}\; (B)],\}$

где $M\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; M\; ^\; \{1\}\}$известен, среди прочего, как мера интенсивности или средняя мера и интерпретируется как ожидаемое количество точек $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\; \}\}$найдено или находится в наборе $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$

Вторая факторная мера момента

Вторая факторная мера момента для двух борелевских множеств $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$равно:

$M\; (2)\; (A\; \times \; B)\; =\; M\; 2\; (\; A\; \times \; B)\; -\; M\; 1\; (A\; \cap \; B).\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{(2)\}\; (A\; \backslash \; times\; B)\; =\; M\; ^\; \{2\}\; (A\; \backslash \; times\; B)\; -M\; ^\; \{1\}\; (A\; \backslash \; cap\; B).\}$

Для некоторого набора Бореля $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$тезка этого показателя раскрывается, когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\; \backslash ,\}$мера факторного момента сводится к:

$M\; (n)\; (B\; \times \; \cdots \; \times \; B)\; =\; E\; [N\; (B)\; (N\; (B)\; -\; 1)\; \cdots \; (N\; (B)\; -\; n\; +\; 1)\; ],\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{(n)\}\; (B\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B)\; =\; E\; [\{N\}\; (B)\; (\{N\}\; (B)\; -1)\; \backslash \; cdots\; (\{N\}\; (B)\; -n\; +\; 1)],\}$

который является $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\; \backslash ,\}$-th факториальным моментом случайной величины $N\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; (B)\}$.

Если мера факторного момента абсолютно непрерывна, то она имеет плотность (или точнее, производная Радона-Никодима или плотность) по отношению к мере Лебега, и эта плотность известна как факторная плотность момента или плотность произведения, совместная интенсивность, корреляционная функция, или многомерный частотный спектр. Обозначение $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-й факторной плотности момента как $\mu \; (n)\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mu\; ^\; \{(\; n)\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$, он определяется по уравнению:

$M\; (n)\; (B\; 1\; \times \dots \; \times \; B\; n)\; =\; \int \; B\; 1\; \cdots \; \int \; B\; n\; \mu \; (n)\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; dx\; 1\; \cdots \; dxn.\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; ldots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; int\; \_\; \{B\_\; \{n\}\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{(n)\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; dx\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; dx\_\; \{n\}.\}$

Кроме того, это означает следующее выражение

$E\; [\sum \; (x\; 1\; \ne \; \cdots \; \ne \; xn)\; \in \; N\; е\; (x\; 1,\dots ,\; xn)]\; =\; \int \; R\; ndf\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; \mu \; (n)\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; dx\; 1\; \cdots \; dxn,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{(x\_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; neq\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; in\; \{N\}\}\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{nd\}\}\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; mu\; ^\; \{(n)\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}))\; dx\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; dx\_\; \{n\},\}$

где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\}$- любая неотрицательная ограниченная измеримая функция, определенная на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\}$.

В пространственной статистике и стохастической геометрии для измерения статистической корреляции отношения между точками точечного процесса, функция парной корреляции точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{N\}\}$определяется как:

$\rho \; (x\; 1,\; x\; 2)\; знак\; равно\; \mu \; (2)\; (x\; 1,\; x\; 2)\; \mu \; (1)\; (x\; 1)\; \mu \; (1)\; (x\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{(2)\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\}\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{(1)\}\; (x\_\; \{1\})\; \backslash \; mu\; ^\; \{(1)\}\; (x\_\; \{2\})\; \}\},\}$

где точки $x\; 1,\; x\; 2\; \in \; R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; R\; ^\; \{d\}\}$. В общем, $\rho \; (x\; 1,\; x\; 2)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\; \backslash \; geq\; 0\}$, тогда как $\rho \; (x\; 1,\; x\; 2)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\; =\; 1\}$соответствует отсутствию корреляции (между точками) в типичном статистическом смысле.

точечный процесс Пуассона

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$$n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-й факторный момент мера задается выражением:

$M\; (n)\; (B\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; B\; n)\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; [\Lambda \; (B\; я)],\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; [\backslash \; Лямбда\; (B\_\; \{i\})],\}$

где $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$- мера интенсивности или мера первого момента $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$, который для некоторого набора Бореля $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$задается следующим образом:

$\Lambda \; (B)\; =\; M\; 1\; (B)\; =\; E\; [N\; (B)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\; =\; M\; ^\; \{1\}\; (B)\; =\; E\; [\{N\}\; (B)].\}$

Для однородного точечного процесса Пуассона $n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-й факторной мерой момента просто:

$M\; (n)\; (B\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; B\; n)\; =\; \lambda \; n\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; |\; B\; i\; |,\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{n\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; B\_\; \{i\; \}\; |,\}$

где $|\; B\; i\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; |\; B\_\; \{i\}\; |\}$- длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ) $B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{i\}\}$. Кроме того, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-й факторный момент плотности равен:

$\mu \; (n)\; (x\; 1,\dots ,\; x\; n)\; =\; \lambda \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; ^\; \{(n)\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{n\}.\}$

Функция парной корреляции однородного точечного процесса Пуассона просто

$\rho \; (x\; 1,\; x\; 2)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\; =\; 1,\}$

, что отражает отсутствие взаимодействия между точками этого точечного процесса.

Ожидания общих функционалов простых точечных процессов, при определенных математических условиях, имеют (возможно, бесконечные) разложения или ряды состоящий из соответствующих факторных моментных мер. По сравнению с рядом Тейлора, который состоит из серии производных некоторой функции, n-я факториальная мера момента играет роль таковой n-й производной ряда Тейлора. Другими словами, если задан общий функционал f некоторого простого точечного процесса, то эта теорема Тейлора для непуассоновских точечных процессов означает, что существует расширение для математического ожидания функции E, при условии, что какое-то математическое условие выполнено, что обеспечивает сходимость расширения.

• Факторный момент
• Момент
• Момент измерения

1. ^ D. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. I. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2003 г.
2. ^ Баччелли, Франсуа (2009). «Стохастическая геометрия и беспроводные сети: теория тома I» (PDF). Основы и тенденции в сети. 3 (3–4): 249–449. DOI : 10.1561 / 1300000006. ISSN 1554-057X.
3. ^ D. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке и Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения, том 2. Уайли Чичестер, 1995.
4. ^Хью, Дж. Бен, Кришнапур, Манджунатх, Перес, Юваль, Вир {\ 'а} г, Б {\' а} линт (2006). «Детерминантные процессы и независимость». Обзоры вероятностей. 3 : 206–229. arXiv : math / 0503110. doi : 10.1214 / 154957806000000078. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
5. ^К. Ханда. Двухпараметрический {Пуассон-Дирихле} точечный процесс. Bernoulli, 15 (4): 1082–1116, 2009.
6. ^ A. Baddeley, I. B {\ 'a} r {\' a} ny, R. Schneider. Пространственные точечные процессы и их приложения. Стохастическая геометрия: Лекции, прочитанные на летней школе CIME в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г., страницы 1–75, 2007 г.
7. ^ DJ Daley и D. Vere-Jones. Введение в теорию Точечные процессы. Том {II}. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2008 г.
8. ^ Мёллер, Джеспер; Ваагепетерсен, Расмус Пленге (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. Монографии C H / CRC по статистике и прикладной вероятности. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275. doi : 10.1201 / 9780203496930. ISBN 978-1-58488-265-7.
9. ^ Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастический G eometry и беспроводные сети, Том II - Приложения, том 4, № 1-2 Основы и тенденции в сетях. NoW Publishers, 2009.
10. ^Дж. Ф. К. Кингман. Процессы Пуассона, том 3. Oxford University Press, 1992.
11. ^Б. Блащишин. Факториально-моментное разложение для стохастических систем. Stoch. Proc. Appl., 56: 321–335, 1995.
12. ^Д. П. Крезе и В. Шмидт. Анализ легкого трафика для очередей с пространственно распределенными поступлениями. Математика исследования операций, 21 (1): стр. 135–157, 1996.