Войти
Возможная стохастическая геометрическая модель (логическая модель) для покрытия беспроводной сети и возможности подключения, построенная из дисков случайного размера, размещенных в случайных местах. В математике стохастическая геометрия - это изучение случайных пространственных структур. В основе предмета лежит изучение случайных точечных паттернов. Это приводит к теории пространственных точечных процессов, отсюда и к понятиям кондиционирования ладони, которые распространяются на более абстрактную установку случайных мер.
Существуют различные модели точечных процессов, которые обычно основаны на классическом однородном точечном процессе Пуассона (базовая модель полной пространственной случайности ), но выходят за его рамки, чтобы найти выразительные модели, которые позволяют использовать эффективные статистические методы.
Теория точечных паттернов обеспечивает основной строительный блок для генерации случайных процессов объекта, позволяя создавать сложные случайные пространственные паттерны. Самая простая версия, булева модель, помещает случайный компактный объект в каждую точку точечного процесса Пуассона. Более сложные версии позволяют взаимодействовать по-разному на основе геометрии объектов. Различные направления применения включают: создание моделей для случайных изображений либо в виде объединения множеств объектов, либо в виде шаблонов перекрывающихся объектов; также создание геометрически вдохновленных моделей для лежащего в основе точечного процесса (например, распределение точечного рисунка может быть искажено экспоненциальным фактором, включающим площадь объединения объектов; это связано с моделью статистической механики Уидома – Роулинсона).
Что подразумевается под случайным объектом? Полный ответ на этот вопрос требует теории случайных замкнутых множеств, которая соприкасается с передовыми концепциями теории меры. Ключевая идея состоит в том, чтобы сосредоточиться на вероятностях попадания данного случайного замкнутого набора в указанные тестовые наборы. Возникают вопросы вывода (например, оценить множество, которое включает данный точечный образец) и теории обобщений средств и т. Д. Применительно к случайным множествам. В настоящее время устанавливается связь между этой последней работой и последними достижениями в геометрическом математическом анализе, касающимися общих метрических пространств и их геометрии. Хорошая параметризация конкретных случайных множеств может позволить нам отнести процессы случайных объектов к теории отмеченных точечных процессов; Пары объект-точка рассматриваются как точки в более крупном пространстве продукта, образованном как продукт исходного пространства и пространства параметризации.
Предположим, нас больше интересуют не компактные объекты, а объекты, которые растянуты в пространстве: линии на плоскости или плоскости в 3-м пространстве. Это приводит к рассмотрению линейных процессов и процессов квартир или гиперплоскостей. Для каждого объекта больше не может быть предпочтительного пространственного положения; однако теория может быть отображена обратно в теорию точечных процессов, представляя каждый объект точкой в подходящем пространстве представления. Например, в случае направленных прямых на плоскости можно принять пространство представления за цилиндр. Сложность состоит в том, что тогда евклидовы симметрии движения будут выражаться в пространстве представления несколько необычным образом. Более того, при расчетах необходимо учитывать интересные пространственные искажения (например, отрезки прямых с меньшей вероятностью будут поражены случайными линиями, которым они почти параллельны), и это обеспечивает интересную и важную связь с чрезвычайно важной областью стереологии, которая в некоторых отношениях может рассматриваться как еще одна тема стохастической геометрии. Часто бывает, что вычисления лучше проводить в терминах пучков строк, попадающих в различные тестовые наборы, а не работая в пространстве представления.
Линейные и гиперплоские процессы имеют собственное прямое применение, но также находят применение как один из способов создания мозаик, разделяющих пространство; отсюда, например, можно говорить о мозаике линий Пуассона. Примечательный недавний результат доказывает, что ячейка, лежащая в основе мозаики линии Пуассона, является приблизительно круглой, когда она обусловлена большим размером. Разумеется, мозаики в стохастической геометрии могут быть созданы другими способами, например, с использованием конструкций Вороного и его вариантов, а также путем повторения различных способов построения.
Название, по-видимому, было придумано Дэвидом Кендаллом и Клаусом Крикебергом во время подготовки к июньскому семинару в Обервольфахе 1969 года, хотя предшественники теории уходят гораздо дальше под названием геометрическая вероятность. Термин «стохастическая геометрия» также использовался Фришем и Хаммерсли в 1963 году как одно из двух предложений для названий теории «случайных нерегулярных структур», вдохновленной теорией перколяции.
Это краткое описание сосредоточено на теории стохастической геометрии, которая позволяет взглянуть на структуру предмета. Тем не менее, значительная часть жизни и интереса к этому предмету, а также многие его оригинальные идеи проистекают из очень широкого круга приложений, например: астрономия, пространственно распределенные телекоммуникации, моделирование и анализ беспроводных сетей, моделирование замирания каналов, лесное хозяйство., статистическая теория формы, материаловедение, многомерный анализ, проблемы анализа изображений и стереологии. Есть ссылки на статистическую механику, цепь Маркова Монте-Карло и реализации теории в статистических вычислениях (например, spatstat в R ). В последнее время начинают играть роль детерминантные и постоянные точечные процессы (связанные с теорией случайных матриц).
