Полная пространственная случайность

редактировать

Полная пространственная случайность (CSR ) описывает точечный процесс, при котором точечные события происходят в заданной области исследования совершенно случайным образом. Это синоним однородного пространственного пуассоновского процесса. Такой процесс моделируется с использованием только одного параметра $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , то есть плотности точек в заданной области. Термин полная пространственная случайность обычно используется в прикладной статистике в контексте изучения определенных точечных паттернов, тогда как в большинстве других статистических контекстов он относится к концепции пространственного процесса Пуассона.

Содержание

1 Модель
2 Распределение
3 Приложения
4 Ссылки
5 Дополнительная литература
6 Внешние ссылки

Модель

Данные в виде набора точек, неравномерно распределенных в пределах области пространство, возникают во многих различных контекстах; Примеры включают расположение деревьев в лесу, птичьих гнезд, ядер в тканях, больных людей из группы риска. Мы называем любой такой набор данных пространственным точечным шаблоном и называем местоположения событиями, чтобы отличить их от произвольных точек рассматриваемого региона. Гипотеза полной пространственной случайности для пространственного точечного шаблона утверждает, что количество событий в любой области следует распределению Пуассона с заданным средним числом на однородное подразделение. События паттерна независимо и равномерно распределены в пространстве; Другими словами, события с одинаковой вероятностью произойдут где угодно и не будут взаимодействовать друг с другом.

«Равномерное» используется в смысле следования однородному распределению вероятностей по изучаемому региону, а не в смысле «равномерно» распределенных по изучаемому региону. Между событиями нет взаимодействий, поскольку интенсивность событий не меняется по плоскости. Например, предположение о независимости будет нарушено, если наличие одного события либо поощряет, либо препятствует возникновению других событий в окрестностях.

Распределение

Вероятность нахождения точно $k {\ displaystyle k}$ $k$ точек в пределах области $V {\ displaystyle V}$ $V$ с плотностью событий $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , следовательно:

P (k, ρ, V) = (V ρ) ke - (V ρ) k!. {\ Displaystyle P (к, \ rho, V) = {\ frac {(V \ rho) ^ {k} e ^ {- (V \ rho)}} {k!}}. \, \!}

P (k, \ rho, V) = {\ frac {(V \ rho) ^ {k} e ^ {{- (V \ rho)}}} {k!}}. \, \!

Первый момент, среднее количество точек в области, это просто $ρ V {\ displaystyle \ rho V}$ $\ rho V$ . Это значение интуитивно понятно, так как это параметр скорости Пуассона.

Вероятность обнаружения $N-го {\ displaystyle N ^ {\ mathrm {th}}}$ $N ^ {{{\ mathrm {th}}}}$ соседа любой заданной точки на некотором радиальном расстоянии $r { \ displaystyle r}$ $r$ :

PN (r) = D (N - 1)! λ N р DN - 1 е - λ р D, {\ Displaystyle P_ {N} (r) = {\ frac {D} {(N-1)!}} {\ lambda} ^ {N} r ^ {DN -1} e ^ {- \ lambda r ^ {D}},}

P_ {N} (r) = {\ frac {D} {(N-1)!}} {\ Lambda} ^ {N} r ^ {{DN-1}} e ^ {{- \ lambda r ^ {D}}},

где $D {\ displaystyle D}$ $D$ - количество измерений, $λ {\ displaystyle \ лямбда}$ $\ lambda$ - параметр, зависящий от плотности, определяемый как $λ = ρ π D 2 Γ (D 2 + 1) {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ rho \ pi ^ {\ frac {D} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {D} {2}} + 1)}}}$ $\ lambda = {\ frac {\ rho \ pi ^ {{{\ frac {D} {2}}}} } {\ Gamma ({\ frac {D} {2}} + 1)}}$ и $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ - это гамма-функция, которая, когда ее аргумент является целым числом, является просто функцией факториал.

Ожидаемое значение $P N (r) {\ displaystyle P_ {N} (r)}$ $P_ {N } (r)$ может быть получено с помощью гамма-функции с использованием статистических моментов. Первый момент - это среднее расстояние между случайно распределенными частицами в измерениях $D {\ displaystyle D}$ $D$ .

Приложения

Изучение CSR необходимо для сравнения измеренных точечных данных из экспериментальных источников. Как метод статистического тестирования, тест CSR находит множество применений в социальных науках и в астрономических исследованиях. КСО часто является стандартом, по которому тестируются наборы данных. В общих чертах описан один из подходов к проверке гипотезы CSR:

Используйте статистику, которая является функцией расстояния от каждого события до следующего ближайшего события.
Сначала сосредоточьтесь на конкретное событие и сформулируйте метод проверки того, являются ли событие и следующее ближайшее событие значительно близкими (или далекими).
Затем рассмотрите все события и сформулируйте метод проверки того, находится ли среднее расстояние от каждого события до следующего ближайшее событие является значительно коротким (или длинным).

В случаях, когда аналитическое вычисление тестовой статистики затруднено, используются численные методы, такие как метод Монте-Карло моделирование, путем моделирования случайного процесса большого числа раз.

Ссылки

Дополнительная литература

Diggle, PJ (2003). Статистический анализ пространственных паттернов точек (2-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0340740701.

Внешние ссылки

Улучшение межсобытийных дистанционных тестов случайности в процессах пространственных точек