аксиомы Вайтмана

В физике используются аксиомы Вайтмана (также называемые аксиомами Гординга – Вайтмана ), названные в честь Ларса Гординга и Артура Вайтмана, представляют собой попытку математически строгой формулировки квантового теория поля. Артур Вайтман сформулировал аксиомы в начале 1950-х годов, но они были впервые опубликованы только в 1964 году после того, как теория рассеяния Хаага – Рюэля подтвердила их значение.

Аксиомы существуют в контексте конструктивной квантовой теории поля, и они предназначены для обеспечения основы для строгого рассмотрения квантовых полей и строгого обоснования используемых пертурбативных методов. Одна из проблем тысячелетия заключается в реализации аксиом Вайтмана в случае полей Янга – Миллса.

• 1 Обоснование
• 2 Аксиомы
  • 2.1 W0 (допущения релятивистская квантовая механика)
  • 2.2 W1 (предположения о области определения и непрерывности поля)
  • 2.3 W2 (закон преобразования поля)
  • 2.4 W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)
• 3 Последствия аксиомы
• 4 Связь с другими концепциями и концепциями квантовой теории поля
• 5 Существование теорий, удовлетворяющих аксиомам
  • 5.1 Теорема восстановления Остервальдера – Шредера
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература

Одна из основных идей аксиом Вайтмана состоит в том, что существует гильбертово пространство, на которое группа Пуанкаре действует унитарно. Таким образом реализуются концепции энергии, импульса, углового момента и центра масс (соответствующие ускорениям).

Существует также предположение об устойчивости, которое ограничивает спектр четырехимпульса положительным световым конусом (и его границей). Однако этого недостаточно для реализации locality. Для этого в аксиомах Вайтмана есть позиционно-зависимые операторы, называемые квантовыми полями, которые формируют ковариантные представления группы Пуанкаре.

. Поскольку квантовая теория поля страдает от проблем с ультрафиолетом, значение поля в точке не определено четко. Чтобы обойти это, аксиомы Вайтмана вводят идею размытия по тестовой функции, чтобы приручить УФ-расходимости, которые возникают даже в теории свободного поля. Поскольку аксиомы имеют дело с неограниченными операторами, необходимо указать домены операторов.

Аксиомы Вайтмана ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями.

Они также постулируют существование пуанкаре-инвариантного состояния, называемого вакуумом, и требуют его уникальности. Более того, аксиомы предполагают, что вакуум является «циклическим», т. Е. Что набор всех векторов, которые могут быть получены путем вычисления в вакууме элементов состояния полиномиальной алгебры, порожденной операторами размытого поля, является плотным подмножеством всего гильбертова Космос.

Наконец, существует ограничение примитивной причинности, которое гласит, что любой полином в размытых полях может быть произвольно точно аппроксимирован (т.е. является пределом операторов в слабой топологии ) полиномами в размытых полях. поля над тестовыми функциями с носителем в открытом множестве в пространстве Минковского, причинным замыканием которого является все пространство Минковского.

W0 (предположения релятивистской квантовой механики)

Квантовая механика описывается согласно фон Нейману ; в частности, чистые состояния задаются лучами, то есть одномерными подпространствами некоторого сепарабельного комплексного гильбертова пространства. Далее скалярное произведение векторов гильбертова пространства Ψ и Φ будет обозначаться как $⟨\Psi ,\; \Phi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi,\; \backslash \; Phi\; \backslash \; rangle\}$, а норма Ψ будет обозначаться как $\Vert \; \Psi \; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lVert\; \backslash \; Psi\; \backslash \; rVert\}$. Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями [Ψ] и [Φ] может быть определена в терминах ненулевых векторных представителей Ψ и Φ как

$P\; ([\Psi ],\; [\Phi ])\; =\; |\; ⟨\Psi ,\; \Phi ⟩\; |\; 2\; \Vert \; \Psi \; \Vert \; 2\; \Vert \; \Phi \; \Vert \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; ([\backslash \; Psi],\; [\backslash \; Phi])\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi,\; \backslash \; Phi\; \backslash \; rangle\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lVert\; \backslash \; Psi\; \backslash \; rVert\; ^\; \{2\}\; \backslash \; lVert\; \backslash \; Phi\; \backslash \; rVert\; ^\; \{2\}\}\}\}$

и не зависит от того, какие репрезентативные векторы, и Φ, выбраны.

Теория симметрии описана по Вигнеру. Это сделано для того, чтобы воспользоваться успешным описанием релятивистских частиц Юджином Полем Вигнером в его знаменитой статье 1939 года. См. классификацию Вигнера. Вигнер постулировал, что вероятность перехода между состояниями одинакова для всех наблюдателей, связанных преобразованием специальной теории относительности. В более общем плане он считал, что утверждение, что теория инвариантна относительно группы G, должно быть выражено в терминах инвариантности вероятности перехода между любыми двумя лучами. Утверждение постулирует, что группа действует на множестве лучей, то есть на проективном пространстве. Пусть (a, L) - элемент группы Пуанкаре (неоднородной группы Лоренца). Таким образом, a - это реальный четырехмерный вектор Лоренца , представляющий изменение начала координат пространства-времени x ↦ x - a, где x находится в пространстве Минковского M, а L - это преобразование Лоренца, которое можно определить как линейное преобразование четырехмерного пространства-времени, которое сохраняет расстояние Лоренца c²t² - x⋅x каждого вектора (ct, x). Тогда теория инвариантна относительно группы Пуанкаре, если для каждого луча Ψ гильбертова пространства и каждого элемента группы (a, L) задан преобразованный луч (a, L) и вероятность перехода не изменится при преобразовании:

$⟨\Psi \; (a,\; L),\; \Phi \; (a,\; L)⟩\; знак\; равно\; ⟨\Psi ,\; \Phi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi\; (a,\; L),\; \backslash \; Phi\; (a,\; L)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi,\; \backslash \; Phi\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$

Теорема Вигнера гласит, что в этих условиях преобразования в гильбертовом пространстве являются либо линейными, либо антилинейными операторами (если, кроме того, они сохраняют норму, то они унитарные или антиунитарные операторы); оператор симметрии на проективном пространстве лучей может быть поднят до основного гильбертова пространства. Это делается для каждого элемента группы (a, L), и мы получаем семейство унитарных или антиунитарных операторов U (a, L) в нашем гильбертовом пространстве, такое что луч Ψ, преобразованный посредством (a, L), совпадает с луч, содержащий U (a, L) ψ. Если ограничить внимание элементами группы, связанной с тождеством, то антиунитарный случай не возникает.

Пусть (a, L) и (b, M) - два преобразования Пуанкаре, и обозначим их групповое произведение через (a, L). (B, M); из физической интерпретации мы видим, что луч, содержащий U (a, L) [U (b, M) ψ], должен (для любого psi) быть лучом, содержащим U ((a, L). (b, M)) ψ (ассоциативность групповой операции). Возвращаясь от лучей к гильбертову пространству, эти два вектора могут отличаться по фазе (а не по норме, потому что мы выбираем унитарные операторы), которая может зависеть от двух элементов группы (a, L) и (b, M), т.е. у нас есть не представление группы, а скорее проективное представление. Эту фазу не всегда можно отменить, переопределяя каждый U (a), например, для частиц со спином 1/2. Вигнер показал, что лучшее, что можно получить для группы Пуанкаре, это

$U\; (a,\; L)\; U\; (b,\; M)\; =\; \pm \; U\; ((a,\; L).\; (B,\; M))\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (a,\; L)\; U\; (b,\; M)\; =\; \backslash \; pm\; U\; ((a,\; L).\; (B,\; M))\}$

т.е. фаза кратна $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$. Для частиц с целочисленным спином (пионы, фотоны, гравитоны...) можно удалить знак +/- путем дальнейших фазовых переходов, но для представлений полунечетного спина мы не можем, и знак меняется скачкообразно, когда мы движемся по кругу. любую ось на угол 2π. Однако мы можем построить представление накрывающей группы группы Пуанкаре, называемое неоднородной SL (2, C ); в нем есть элементы (a, A), где, как и раньше, a - четырехмерный вектор, но теперь A - это комплексная матрица 2 × 2 с единичным определителем. Мы обозначаем унитарные операторы, которые мы получаем, через U (a, A), и они дают нам непрерывное, унитарное и истинное представление в том смысле, что набор U (a, A) подчиняется групповому закону неоднородных SL (2, C ).

Из-за смены знака при поворотах на 2π, эрмитовы операторы, преобразующиеся как спин 1/2, 3/2 и т. Д., Не могут быть наблюдаемыми. Это проявляется в виде правила однолистности суперотбора : фазы между состояниями со спином 0, 1, 2 и т. Д. И состояниями со спином 1/2, 3/2 и т. Д. Не наблюдаются. Это правило действует в дополнение к ненаблюдаемости общей фазы вектора состояния. Что касается наблюдаемых и состояний | v), мы получаем представление U (a, L) группы Пуанкаре на целочисленных спиновых подпространствах и U (a, A) неоднородной SL (2, C ) на подпространствах с половинными нечетными целыми числами, которое действует согласно следующей интерпретации:

ансамбль, соответствующий U (a, L) | v), должен интерпретироваться относительно координат $x\; \prime \; =\; L\; -\; 1\; (x\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; L\; ^\; \{-\; 1\}\; (xa)\}$точно в так же, как ансамбль, соответствующий | v), интерпретируется относительно координат x; и аналогично для нечетных подпространств.

Группа пространственно-временных трансляций коммутативна, поэтому операторы могут быть одновременно диагонализованы. Генераторы этих групп дают нам четыре самосопряженных оператора, $P\; 0,\; P\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\},\; P\_\; \{j\}\}$, j = 1, 2, 3, которые трансформируются под однородной группой как четырехвектор, называемый четырехвектором энергии-импульса.

Вторая часть нулевой аксиомы Вайтмана состоит в том, что представление U (a, A) удовлетворяет спектральному условию - одновременный спектр энергии-импульса содержится в прямом конусе:

$P\; 0\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; \backslash \; geq\; 0\}$............... $P\; 0\; 2\; -\; P\; j\; P\; j\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; -P\_\; \{j\}\; P\_\; \{j\}\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Третья часть аксиомы состоит в том, что существует уникальное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, которое инвариантна относительно действия группы Пуанкаре. Это называется вакуумом.

W1 (предположения о области определения и непрерывности поля)

Для каждой тестовой функции f существует набор операторов $A\; 1\; (f),\dots ,\; A\; n\; (\; е)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; (f),\; \backslash \; ldots,\; A\_\; \{n\}\; (f)\}$, которые вместе с их сопряженными элементами определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум. Поля A являются операторными умеренными распределениями. Гильбертово пространство состояний натянуто на полиномы, действующие в вакууме (условие цикличности).

W2 (закон преобразования поля)

Поля ковариантны под действием группы Пуанкаре, и они преобразуются согласно некоторому представлению S группы Группа Лоренца, или SL (2, C ), если спин не целочисленный:

$U\; (a,\; L)\; †\; A\; (x)\; U\; (a,\; L)\; =\; S\; (L)\; А\; (L\; -\; 1\; (х\; -\; а)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (a,\; L)\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; A\; (x)\; U\; (a,\; L)\; =\; S\; (L)\; A\; (L\; ^\; \{-\; 1\}\; (xa)).\}$

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если опоры двух полей пространственно разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.

Цикличность вакуума и уникальность вакуума иногда рассматриваются отдельно. Кроме того, существует свойство асимптотической полноты - гильбертово пространство состояний натянуто на асимптотические пространства $H\; в\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; text\; \{in\}\}\}$и $H\; out\; \{\; \backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; text\; \{out\}\}\}$, появляющийся в матрице столкновения S. Другое важное свойство теории поля - это разрыв массы, который не требуется по аксиомам - спектр энергии-импульса имеет промежуток между нулем и некоторым положительным числом.

Из этих аксиом вытекают некоторые общие теоремы:

• теорема CPT - существует общая симметрия при изменении четности, обращении частицы-античастицы и обращении времени (как выясняется, ни одна из этих симметрий сама по себе не существует)
• Связь между спином и статистическими полями, которые трансформируются в соответствии с полуцелым антикоммутированием спина, а поля с целым спином коммутируют аксиома W3) В этой теореме есть технические подробности. Это можно исправить с помощью преобразований Клейна. См. парастатистика. См. Также призраков в BRST.
• Невозможность сверхсветовой связи - если два наблюдателя пространственно разделены, то действия одного наблюдателя (включая измерения и изменения гамильтониана) не влияют статистику измерений другого наблюдателя.

Артур Вайтман показал, что распределения значений математического ожидания, удовлетворяющие определенному набору свойств, которые следуют из аксиом, достаточны для восстановления теории поля -, включая наличие вакуумного состояния ; он не нашел условия на ожидаемые значения вакуума, гарантирующего уникальность вакуума; это условие, свойство кластера , было позже обнаружено Рес Йостом, Клаусом Хеппом, Дэвидом Руэллем и.

Если теория имеет разрыв между массами, т.е. нет масс между 0 и некоторой константой больше нуля, тогда вакуумное ожидание распределения асимптотически независимы в удаленных областях..

Теорема Хаага гласит, что не может быть картины взаимодействия - что мы не можем использовать пространство Фока невзаимодействующих частиц как гильбертово пространство - в том смысле, что мы бы идентифицировали гильбертовы пространства через полиномы воздействуя на вакуум в определенное время.

Структура Вайтмана не охватывает состояния с бесконечной энергией, такие как состояния с конечной температурой.

В отличие от локальной квантовой теории поля, аксиомы Вайтмана явно ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственно-подобными разделенными полями, вместо вывода причинной структуры в виде теоремы. Если рассматривать обобщение аксиом Вайтмана на измерения, отличные от 4, этот постулат (анти) коммутативности исключает анионов и статистику кос в более низких измерениях.

Постулат Вайтмана об уникальном состоянии вакуума не обязательно делает аксиомы Вайтмана непригодными для случая спонтанного нарушения симметрии, потому что мы всегда можем ограничиться сектором суперселекции.

Цикличность вакуума, требуемая аксиомами Вайтмана, означает, что они описывают только сектор сверхотбора вакуума; опять же, это не большая потеря общности. Однако это предположение не учитывает состояния с конечной энергией, такие как солитоны, которые не могут быть сгенерированы полиномом полей, размазанных тестовыми функциями, потому что солитон, по крайней мере, с теоретической точки зрения поля, является глобальной структурой, включающей топологические граничные условия на бесконечности.

Структура Вайтмана не охватывает теории эффективного поля, потому что нет ограничений на то, насколько мала поддержка тестовой функции. То есть нет шкалы отсечки.

Структура Вайтмана также не охватывает калибровочные теории. Даже в абелевых калибровочных теориях традиционные подходы начинаются с «гильбертова пространства» с неопределенной нормой (следовательно, это не совсем гильбертово пространство, которое требует положительно определенной нормы, но, тем не менее, физики называют его гильбертовым пространством) и физических состояний и физических состояний. операторы принадлежат когомологиям . Очевидно, что это нигде не рассматривается в структуре Вайтмана. (Однако, как показали Швингер, Христос и Ли, Грибов, Цванцигер, Ван Баал и т. Д., Каноническое квантование калибровочных теорий в кулоновской калибровке возможно с обычным гильбертовым пространством, и это может быть способом заставить их подпадать под применимость систематики аксиом.)

Аксиомы Вайтмана могут быть перефразированы в терминах состояния, называемого функционалом Вайтмана на алгебре Борчерса, равным тензорной алгебре пространство тестовых функций.

Можно обобщить аксиомы Вайтмана на измерения, отличные от 4. В измерениях 2 и 3 взаимодействующие (т.е. несвободные) теории, удовлетворяющие аксиомам, имеют был построен.

В настоящее время нет доказательств того, что аксиомы Вайтмана могут быть выполнены для взаимодействующих теорий в размерности 4. В частности, Стандартная модель физики элементарных частиц не имеет математически строгих оснований. Существует приз миллионов долларов за доказательство того, что аксиомы Вайтмана могут быть выполнены для калибровочных теорий с дополнительным требованием разрыва масс.

Теорема восстановления Остервальдера – Шредера

При определенных технических предположениях было показано, что евклидова QFT может быть повернута по Вику в форму Вайтмана. QFT. См. теорему Остервальдера – Шредера. Эта теорема является ключевым инструментом для построения взаимодействующих теорий в размерностях 2 и 3, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана.

• шестая проблема Гильберта
• Локальная квантовая теория поля
• Аксиомы Хаага-Кастлера

• Артур Вайтман, " Шестая проблема Гильберта: Математическое рассмотрение аксиом физики », в сб. Ф.Е. Браудера (ред.): Vol. 28 (часть 1) Proc. Symp. Чистая математика., Амер. Математика. Soc., 1976, стр. 241–268.
• Res Jost, Общая теория квантованных полей, Amer. Математика. Soc., 1965.