Классификация Вигнера

редактировать

В математике и теоретической физике, Вигнер классификация является классификацией неотрицательной энергии неприводимых унитарных представлений в группе Пуанкара, которые имеют острые массовые собственных. (Поскольку эта группа некомпактна, эти унитарные представления бесконечномерны.) Она была введена Юджином Вигнером для классификации частиц и полей в физике - см. Статью « Физика частиц и теория представлений». Он основан на стабилизирующих подгруппах этой группы, получивших название малых групп Вигнера с различными массовыми состояниями. ${\ Displaystyle ~ (~ E \ geq 0 ~) ~}$ ${\ Displaystyle ~ (~ E \ geq 0 ~) ~}$

В Казимира инварианты группы Пуанкаре являются ( Эйнштейна обозначения ), где Р представляет собой оператор 4-импульса, а также, где W представляет собой псевдовектор Паули-Любанского. Собственные значения этих операторов служат для обозначения представлений. Первый связан с квадратом массы, а второй - со спиральностью или вращением. ${\ Displaystyle ~ C_ {1} = P ^ {\ mu} \, P _ {\ mu} ~,}$ ${\ Displaystyle ~ C_ {1} = P ^ {\ mu} \, P _ {\ mu} ~,}$ ${\ Displaystyle ~ C_ {2} = W ^ {\ alpha} \, W _ {\ alpha} ~,}$ ${\ Displaystyle ~ C_ {2} = W ^ {\ alpha} \, W _ {\ alpha} ~,}$

Таким образом, физически релевантные представления могут быть классифицированы в зависимости от того,

${\ displaystyle ~ mgt; 0 ~;}$ ${\ displaystyle ~ mgt; 0 ~;}$
${\ Displaystyle ~ м = 0 ~}$ ${\ Displaystyle ~ м = 0 ~}$ но или будь ${\ Displaystyle ~ P_ {0}gt; 0 ~; \ quad}$ ${\ Displaystyle ~ P_ {0}gt; 0 ~; \ quad}$
${\ Displaystyle ~ м = 0 ~}$ ${\ Displaystyle ~ м = 0 ~}$ с участием ${\ displaystyle ~ P ^ {\ mu} = 0 ~, {\ text {for}} \ mu = 0,1,2,3 ~.}$ ${\ displaystyle ~ P ^ {\ mu} = 0 ~, {\ text {for}} \ mu = 0,1,2,3 ~.}$

Вигнер обнаружил, что безмассовые частицы принципиально отличаются от массивных частиц.

Для первого случая: Обратите внимание, что подпространство (см обобщенных собственных подпространств неограниченных операторов ), связанное с является представлением из SO (3). ${\ Displaystyle ~ P = (м, 0,0,0) ~}$ ${\ Displaystyle ~ P = (м, 0,0,0) ~}$

В лучевой интерпретации вместо этого можно перейти к Spin (3). Итак, массивные состояния классифицируются с помощью неприводимого унитарного представления Spin (3), которое характеризует их спин и положительную массу m.

Для второго случая: Посмотрите на стабилизатор от; ${\ displaystyle ~ P = (k, 0,0, -k) ~.}$ ${\ displaystyle ~ P = (k, 0,0, -k) ~.}$

Это двойная крышка из SE (2) (см блок представления луча ). У нас есть два случая, в одном из которых арматура описывается целым кратным1/2называется спиральностью, а другой - представлением «непрерывного спина».

Последний случай описывает вакуум. Единственное конечномерное унитарное решение - это тривиальное представление, называемое вакуумом.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Массивные скалярные поля
2 Теория проективных представлений
3 Дальнейшая классификация
4 См. Также
5 ссылки

Массивные скалярные поля

В качестве примера представим себе неприводимое унитарное представление с и Оно соответствует пространству массивных скалярных полей. ${\ displaystyle ~ mgt; 0 ~,}$ ${\ displaystyle ~ mgt; 0 ~,}$ ${\ displaystyle ~ s = 0 ~.}$ ${\ displaystyle ~ s = 0 ~.}$

Пусть M - гиперболоидный лист, определяемый:

{\ displaystyle ~ P_ {0} ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2} ~, \ quad}

{\ displaystyle ~ P_ {0} ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2} ~, \ quad}

{\ displaystyle ~ P_ {0}gt; 0 ~.}

{\ displaystyle ~ P_ {0}gt; 0 ~.}

Метрика Минковского ограничивается римановой метрикой на M, давая M метрическую структуру гиперболического пространства, в частности, это модель гиперболоида гиперболического пространства, см. Геометрию пространства Минковского для доказательства. Группа Пуанкара Р действует на М, потому что (забывание действия перевода подгруппы ℝ ⁴ с добавлением внутри P) он сохраняет Минковское скалярное произведение, и элемент х перевода подгруппа ℝ ⁴ группы Пуанкара действует на умножении на подходящем фазовые умножители, где Эти два действия могут быть умно скомбинированы с использованием индуцированных представлений, чтобы получить действие P, действующее на которое объединяет движения M и умножение фазы. ${\ Displaystyle ~ L ^ {2} (М) ~}$ ${\ Displaystyle ~ L ^ {2} (М) ~}$ ${\ displaystyle ~ \ exp \ left (-i {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {x}} \ right) ~,}$ ${\ displaystyle ~ \ exp \ left (-i {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {x}} \ right) ~,}$ ${\ displaystyle ~ p \ in M ~.}$ ${\ displaystyle ~ p \ in M ~.}$ ${\ Displaystyle ~ L ^ {2} (М) ~,}$ ${\ Displaystyle ~ L ^ {2} (М) ~,}$

Это дает действие группы Пуанкаре на пространстве интегрируемых с квадратом функций, определенных на гиперповерхности M в пространстве Минковского. Их можно рассматривать как меры, определенные на пространстве Минковского, которые сосредоточены на множестве M, определенном формулой

{\ displaystyle E ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2} ~, \ quad}

{\ displaystyle E ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2} ~, \ quad}

{\ Displaystyle ~ E ~ \ Equiv ~ P_ {0}gt; 0 ~.}

{\ Displaystyle ~ E ~ \ Equiv ~ P_ {0}gt; 0 ~.}

Преобразование Фурье (по всем четырем переменным) таких мер дает решения с положительной энергией и конечной энергией уравнения Клейна – Гордона, определенного на пространстве Минковского, а именно

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi - \ nabla ^ {2} \ psi + m ^ {2} \ psi = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi - \ nabla ^ {2} \ psi + m ^ {2} \ psi = 0,}

без физических единиц. Таким образом, неприводимое представление группы Пуанкаре реализуется ее действием на подходящее пространство решений линейного волнового уравнения. ${\ Displaystyle ~ мgt; 0, \ quad s = 0 ~}$ ${\ Displaystyle ~ мgt; 0, \ quad s = 0 ~}$

Теория проективных представлений

Физически нас интересуют неприводимые проективные унитарные представления группы Пуанкаре. В конце концов, два вектора в квантовом гильбертовом пространстве, которые отличаются умножением на константу, представляют одно и то же физическое состояние. Таким образом, два унитарных оператора, которые различаются на несколько единиц, имеют одинаковое действие на физические состояния. Следовательно, унитарные операторы, представляющие симметрию Пуанкаре, определены только с точностью до константы - и поэтому закон композиции групп должен выполняться только с точностью до константы.

Согласно теореме Баргмана, каждое проективное унитарное представление группы Пуанкаре соответствует обычному унитарному представлению ее универсальной накрытия, которая является двойной оболочкой. (Теорема Баргмана применима, потому что двойное покрытие группы Пуанкаре не допускает нетривиальных одномерных центральных расширений. )

Переход к двойному покрытию важен, потому что он позволяет использовать случаи спина половинных нечетных чисел. В случае положительной массы, например, маленькая группа - это SU (2), а не SO (3); тогда представления SU (2) включают как целочисленные, так и полунечетно-целые случаи спинов.

Поскольку общий критерий теоремы Баргмана не был известен, когда Вигнер проводил свою классификацию, ему нужно было показать вручную (§ 5 статьи), что фазы могут быть выбраны в операторах так, чтобы они отражали закон композиции в группе, с точностью до знак, который затем учитывается переходом к двойному покрытию группы Пуанкаре.

Дальнейшая классификация

В эту классификацию не вошли тахионные решения, решения без фиксированной массы, инфрачастицы без фиксированной массы и т. Д. Такие решения имеют физическое значение при рассмотрении виртуальных состояний. Знаменитым примером является случай глубоко неупругого рассеяния, в котором виртуальный космический фотон обменивается между входящим лептоном и входящим адроном. Это оправдывает введение поперечно и продольно поляризованных фотонов и связанной с ними концепции поперечных и продольных структурных функций при рассмотрении этих виртуальных состояний как эффективных датчиков внутреннего кваркового и глюонного содержания адронов. С математической точки зрения рассматривается группа SO (2,1) вместо обычной группы SO (3), встречающейся в обычном массивном случае, описанном выше. Это объясняет возникновение двух векторов поперечной поляризации и которые удовлетворяют и в сравнении с обычным случаем свободного бозона, который имеет три векторов поляризации каждые из них, удовлетворяющих ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {\ lambda = 1,2} ~}$ ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {\ lambda = 1,2} ~}$ ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {L} ~}$ ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {L} ~}$ ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {2} = - 1 ~}$ ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {2} = - 1 ~}$ ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {L} ^ {2} = + 1 ~,}$ ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {L} ^ {2} = + 1 ~,}$ ${\ displaystyle ~ Z_ {0} ~}$ ${\ displaystyle ~ Z_ {0} ~}$ ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {\ lambda} {\ text {for}} \ lambda = 1,2,3 ~;}$ ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {\ lambda} {\ text {for}} \ lambda = 1,2,3 ~;}$ ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {2} = - 1 ~.}$ ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {2} = - 1 ~.}$

Смотрите также

использованная литература

Баргманн, В. ; Вигнер, EP (1948). «Теоретико-групповое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 34 (5): 211–223. Полномочный код : 1948PNAS... 34..211B. DOI : 10.1073 / pnas.34.5.211. PMC 1079095. PMID 16578292.

Макки, Джордж (1978). Представления унитарных групп в физике, теории вероятностей и чисел. Серия конспектов лекций по математике. 55. Издательство Бенджамин / Каммингс. ISBN 978-0805367034.

Штернберг, Шломо (1994). «§3.9. Классификация Вигнера». Теория групп и физика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521248709.

Тунг, Ву-Ки (1985). «Глава 10. Представления группы Лоренца и группы Пуанкаре; классификация Вигнера». Теория групп в физике. Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-9971966577.

Вайнберг, С. (2002). [ "Глава 2. Релятивистская квантовая механика" Проверить |chapter-url=значение ( справка ). Квантовая теория полей. Я. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-55001-7.

Вигнер, EP (1939). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца». Анналы математики. 40 (1): 149–204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W. DOI : 10.2307 / 1968551. JSTOR 1968551. Руководство по ремонту 1503456.